【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第11章解三角形单元综合测试卷(原卷版+解析)

这是一份【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第11章解三角形单元综合测试卷(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，若，则b等于（ ）
A．B．C．D．
2．地发生地震时，相距km的两地都能感受到，已知地位于A地的正东方向上，地位于B地的东偏南方向上，且地距离两地分别为km和km，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．在中，如果，那么的长为（ ）
A．72B．C．D．30
4．一条河流从某城市中穿过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点，，并测得，选取对岸一目标点并测得，，，则该段河流的宽度为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则角为（ ）
A．B．C．或D．或
6．在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
7．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（ ）
A．14B．16C．24D．25
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设的内角A，，的对边分别为，，若，，则角A可能为（ ）
A．B．C．D．
10．下列命题错误的是（ ）
A．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比
B．在中，若，则
C．在的三边三角共6个量中，知道任意三个，均可求出剩余三个
D．当时，为锐角三角形；当时，为直角三角形；当时，为钝角三角形
11．下列说法中正确的有（ ）
A．在中，
B．在中，若，则
C．在中，若，则；若，则
D．在中，
12．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知，且，则（ ）
A．B．角的取值范围是
C．的取值范围是D．的取值范围是
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某人在C点测得某直塔在南偏西，塔顶A的仰角为，此人沿南偏东方向前进到D，测得塔顶A的仰角为，D，C与塔底O在同一水平面上，则塔高为______________．
14．在中，，，，则______．
15．已知是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围是_________．（结果用区间表示）
16．在中，的平分线交AC于点D，，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知的周长为，且.
(1)求边的长；
(2)若的面积为，求角的度数.
18．（12分）
已知的内角，，的对边分别为，，，，，.
(1)求角；
(2)求的面积.
19．（12分）
已知四边形中，，，，，．
(1)求；
(2)求．
20．（12分）
设向量，在三角形中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且．
(1)求角C；
(2)若，边长，求三角形的周长l的值．
21．（12分）
如图，在点处有一座灯塔，是一条直的海岸线，已知，，从灯塔处射出的灯光照到线段上的线段，、是线段（含端点）上的动点，在转动灯光的过程中，始终保持不变.
(1)当时，求被灯光照到的区域的面积；
(2)求海岸线上被照到的线段长的最小值.
22．（12分）
已知函数．
(1)若，且，求；
(2)若为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求面积的取值范围．
第11章 解三角形单元综合测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，若，则b等于（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】在中，因为，
所以，
所以
，
由得．
故选：C
2．地发生地震时，相距km的两地都能感受到，已知地位于A地的正东方向上，地位于B地的东偏南方向上，且地距离两地分别为km和km，则的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
由题设，
所以km.
故选：A
3．在中，如果，那么的长为（ ）
A．72B．C．D．30
答案：D
【解析】在中，因为，
所以，
又，
所以．
故选：D.
4．一条河流从某城市中穿过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点，，并测得，选取对岸一目标点并测得，，，则该段河流的宽度为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】在中，由正弦定理得，
所以，
如图所示过点向做垂线交与：
所以该段河流的宽度.
故选：A.
5．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则角为（ ）
A．B．C．或D．或
答案：A
【解析】在中，由正弦定理可得，，整理得，
，
因为，所以，即，
所以．
故选：A．
6．在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
答案：A
【解析】向量，共线，
．
由正弦定理得：．
．
，
所以
则．
，即．
同理由，共线，可得．
形状为等边三角形．
故选：A．
7．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，，故三角形外接圆直径为，
故
，
因为三角形为锐角三角形，故，故，
故，故，
故，
故选：D
8．在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（ ）
A．14B．16C．24D．25
答案：B
【解析】因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．
设内角，，所对的边分别为，，．
因为，所以，所以．
因为，
所以．
设内切圆与边切于点，与边切于点，与边切于点，
由可求得，（舍）
所以，，则．
由三角形内切圆的性质可知
所以，，所以．
所以．
又因为，
所以，即，
整理得．
因为，所以，当且仅当时，取得最小值．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设的内角A，，的对边分别为，，若，，则角A可能为（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】正弦定理得，又，，
，，则，，故或，
或
故选：BD．
10．下列命题错误的是（ ）
A．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比
B．在中，若，则
C．在的三边三角共6个量中，知道任意三个，均可求出剩余三个
D．当时，为锐角三角形；当时，为直角三角形；当时，为钝角三角形
答案：ACD
【解析】对于A，等腰直角三角形的三边比为，而三个内角的比为，所以A错误，
对于B，在中，当时，由正弦定理可得，因为在三角形中大边对大角，所以，所以B正确，
对于C，在中，若三个角确定，则这样的三角形三边无法确定，这样的三角形有无数个，所以C错误，
对于D，在中，时，由余弦定理可知角为锐角，而角的大小无法判断，所以三角形的形状无法判断，所以D错误，
故选：ACD
11．下列说法中正确的有（ ）
A．在中，
B．在中，若，则
C．在中，若，则；若，则
D．在中，
答案：ACD
【解析】设外接圆的半径为R，由正弦定理得．
对于A，，正确；
对于B，由二倍角公式得，
则，即，
整理得，即，
则或，所以或，错误；
对于C，（大边对大角），正确；
对于D，，正确．
故选：ACD.
12．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知，且，则（ ）
A．B．角的取值范围是
C．的取值范围是D．的取值范围是
答案：AD
【解析】因为，所以，
，，则，所以或．
因为，所以，所以，则，故A正确；
因为，所以．
因为是锐角三角形，所以，即，解得，
所以，则，故B错误，D正确；
因为，所以，所以，则C错误．
故选：AD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某人在C点测得某直塔在南偏西，塔顶A的仰角为，此人沿南偏东方向前进到D，测得塔顶A的仰角为，D，C与塔底O在同一水平面上，则塔高为______________．
答案：
【解析】由题意作出图形，如下图所示，设塔高为，在中，，
则，在中，，则，
在中，，
由余弦定理得，
即，
整理得，解得或（舍去）．
故答案为：10m.
14．在中，，，，则______．
答案：3
【解析】由余弦定理可得，，
即，解得或(舍去).
故答案为：3
15．已知是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围是_________．（结果用区间表示）
答案：（5，7）
【解析】因为是钝角三角形，最大边为，所以角为钝角，
在中，由余弦定理可得：
，可得，
又因为，所以，
所以最大边的取值范围是：，
故答案为：.
16．在中，的平分线交AC于点D，，，则的最小值为______．
答案：16
【解析】设，因为，，，所以，即，
所以，因为根据基本不等式有， ，
所以，当且仅当时等号成立.
故答案为：16．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知的周长为，且.
(1)求边的长；
(2)若的面积为，求角的度数.
【解析】（1）由正弦定理知，
，
，
的周长为，
，
．
（2）的面积，
，
由（1）知，，，
由余弦定理知，
，
．
18．（12分）
已知的内角，，的对边分别为，，，，，.
(1)求角；
(2)求的面积.
【解析】（1）因为，
所以由余弦定理可知：；
（2）由正弦定理可知：，
，，
.
19．（12分）
已知四边形中，，，，，．
(1)求；
(2)求．
【解析】（1）在中，由正弦定理可知，
即，解得.
（2）由，故，
在中，由余弦定理得，
即，
所以.
20．（12分）
设向量，在三角形中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且．
(1)求角C；
(2)若，边长，求三角形的周长l的值．
【解析】（1）由已知可得，所以，所以．
（2）由题意可知，可得，所以，
由余弦定理可知，
则，即，故周长为．
21．（12分）
如图，在点处有一座灯塔，是一条直的海岸线，已知，，从灯塔处射出的灯光照到线段上的线段，、是线段（含端点）上的动点，在转动灯光的过程中，始终保持不变.
(1)当时，求被灯光照到的区域的面积；
(2)求海岸线上被照到的线段长的最小值.
【解析】（1）在中，，
由正弦定理，得，所以，
在中，，
由正弦定理，得，所以，
所以；
（2）设A到EF的距离为，
由，得，
所以EF的最小值即为面积的最小值，
设，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
，
当且仅当时，取“”，
当面积最小时，由，得，
所以线段的最小值为.
22．（12分）
已知函数．
(1)若，且，求；
(2)若为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求面积的取值范围．
【解析】（1），
因为，所以，即，
因为，所以，则，
（2）由可得，即，
又即所以B=，
则，可得，，
由正弦定理，
则
所以，．