【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第13讲余弦定理(原卷版+解析)

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1、掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的方法.
例1． 会利用余弦定理解决解三角形问题.
【考点目录】
考点一：余弦定理及辨析
考点二：余弦定理解三角形
考点三：余弦定理边角互化的应用
【基础知识】
知识点一、余弦定理
三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：
余弦定理的变形公式：
知识点二、利用余弦定理解三角形
利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；
②已知三角形的三条边，求其三个角．
知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
【考点剖析】
考点一：余弦定理及辨析
例2．(2023·全国·高一）已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ ）
A．B．C．D．
例3．(2023·全国·高一课时练习）某同学要用三条长度分别为3,5,7的线段画出一个三角形，则他将．
A．画不出任何满足要求的三角形B．画出一个锐角三角形
C．画出一个直角三角形D．画出一个钝角三角形
例4．(2023·全国·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形
B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形
C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题
D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例
考点二：余弦定理解三角形
例5．(2023·全国·高一课时练习）在中，，则的值为（ ）
A．B．－ C．－ D．
例6．(2023·全国·高一课时练习）在中，角所对的边分别是，若，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
例7．(2023·全国·高一单元测试）在中，若，则的最大内角为（ ）
A．B．C．D．
例8．(2023·江苏·高一开学考试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
考点三：余弦定理边角互化的应用
例9．(2023·四川·遂宁中学高一期末（理））在△ABC中，若，则∠A的大小是______．
例10．(2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC是________三角形．
例11．(2023·全国·高一课时练习）的三个内角，，的对边分别是，，，且，求证：.
例12．(2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin Asin B＝cs2．求角A和角B的大小．
【真题演练】
1．（2023·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
2．(2023·福建·高考真题（理））在中，角，，的对边分别为，b，，若，则角的值为（ ）．
A．B．
C．或D．或
3．(2023·广东·高考真题（文））设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则
A．B．C．D．
4．(2023·广东·高考真题（文））如图：在矩形中，，，垂足为，则______．
5．(2023·北京·高考真题（理））在△ABC中，若a＝2,b＋c＝7,，则b=_________________
6．(2023·江西·高考真题（理））在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
7．（2023·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·全国·高一课时练习）在中，若，则该三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．不能确定
2．(2023·全国·高一单元测试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B等于（ ）
A．B．C．或D．或
3．(2023·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高一课时练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（ ）
A．B．C．2D．3
5．(2023·全国·高一课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
6．(2023·全国·高一课时练习）在ABC中，，，a，b是方程的两个根，且，则边AB的长为（ ）
A．10B．C．D．5
7．(2023·全国·高一课时练习）在钝角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则边c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·全国·高一课时练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，角C的平分线交AB于点D，且，，则c的值为（ ）
A．3B．C．D．
二、多选题
9．(2023·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习）在中，，则可以是（ ）
A．B．C．D．
10．(2023·全国·高一课时练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A．在中，若，则C是锐角
B．在中，若，则
C．在中，若，则一定是直角三角形
D．任何三角形的三边之比不可能是
11．(2023·全国·高一课时练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ）
A．B．C．D．
12．(2023·江苏扬州·高一期末）如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（ ）．
A．B．
C．D．与夹角的余弦值为
三、填空题
13．(2023·上海·华东师范大学附属东昌中学高一期末）在中，角､､所对边分别是､､，若，则___________.
14．(2023·上海市控江中学高一期末）在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，若，则角的大小是______.
15．(2023·浙江大学附属中学高一期中）已知△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若，，，则________．
16．(2023·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习）中，，则最大值______．
四、解答题
17．(2023·新疆石河子一中高一阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，.
(1)求；
(2)求的值.
18．(2023·全国·高一课时练习）已知在中，角所对的边分别为，且，，，解此三角形.
19．(2023·重庆市第七中学校高一期末）中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，，为边上的中点，求的长．
20．(2023·吉林·长春外国语学校高一期末）在中，角所对的边分别为，，
(1)求角的大小；
(2)若边，为边的中点，求线段长．
21．(2023·辽宁丹东·高一期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求；
(2)若，求边中线的最大值.
22．(2023·四川宜宾·高一期末）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．
(1)求角C；
(2)若D为边AC上一点，BD＝7，a＝8，b＝10，求的值．
第13讲 余弦定理
【学习目标】
1、掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的方法.
例1． 会利用余弦定理解决解三角形问题.
【考点目录】
考点一：余弦定理及辨析
考点二：余弦定理解三角形
考点三：余弦定理边角互化的应用
【基础知识】
知识点一、余弦定理
三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即：
余弦定理的变形公式：
知识点二、利用余弦定理解三角形
利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；
②已知三角形的三条边，求其三个角．
知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
【考点剖析】
考点一：余弦定理及辨析
例2．(2023·全国·高一）已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设角对应的边为，
当是最大边时，，所以，
当不是最大边时，，所以，
所以的取值范围是，
故选：C.
例3．(2023·全国·高一课时练习）某同学要用三条长度分别为3,5,7的线段画出一个三角形，则他将．
A．画不出任何满足要求的三角形B．画出一个锐角三角形
C．画出一个直角三角形D．画出一个钝角三角形
答案：D
【解析】令长度较长的边对应的角为
则
画出一个钝角三角形
故选
例4．(2023·全国·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．在三角形中，已知两边及其一边的对角，不能用余弦定理求解三角形
B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形
C．利用余弦定理，可以解决已知三角形三边求角的问题
D．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例
答案：A
【解析】在三角形中，已知两边及其一边的对角，可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，A错；
正弦定理和余弦定理都反映了任意三角形中边角的关系，它们适用于任意三角形，B正确；
余弦定理可以直接解决已知三边求角，已知两边及其夹角求第三边的问题，C正确；
当夹角为90°时，余弦定理就变成了勾股定理．D正确．
故选：A．
考点二：余弦定理解三角形
例5．(2023·全国·高一课时练习）在中，，则的值为（ ）
A．B．－ C．－ D．
答案：C
【解析】因为，
所以设，
由余弦定理可得.
故选：C.
例6．(2023·全国·高一课时练习）在中，角所对的边分别是，若，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，
所以由余弦定理可得，
因为，
所以，
故选：D.
例7．(2023·全国·高一单元测试）在中，若，则的最大内角为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】令，则，
所以，所以A最大，
所以，
因为
所以．
故选：C
例8．(2023·江苏·高一开学考试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
答案：B
【解析】由余弦定理可得，
又因为，
所以.
因为，
所以.
故选：B
考点三：余弦定理边角互化的应用
例9．(2023·四川·遂宁中学高一期末（理））在△ABC中，若，则∠A的大小是______．
答案：
【解析】因为，整理可得，
所以，
因为，
所以．
故答案为：．
例10．(2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC是________三角形．
答案：直角
【解析】由，
得＋＋，化简得，
所以C＝90°，所以△ABC是直角三角形．
故答案为：直角
例11．(2023·全国·高一课时练习）的三个内角，，的对边分别是，，，且，求证：.
【解析】证明：由余弦定理得，
，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，即，∴.
若，则，与矛盾，
所以角只能是锐角，
∴，又∵，，
∴.
例12．(2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，
sin Asin B＝cs2．求角A和角B的大小．
【解析】因为a2－(b－c)2＝(2－)bc，
所以，
由余弦定理可知：，
因为，所以，
因为sin Asin B＝cs2，
所以，
因为，所以，
于是有
，
因为，所以，所以，
即A＝；B＝.
【真题演练】
1．（2023·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
答案：D
【解析】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
2．(2023·福建·高考真题（理））在中，角，，的对边分别为，b，，若，则角的值为（ ）．
A．B．
C．或D．或
答案：D
【解析】，
，即，
且有意义即，
，
在中，为或，
故选：．
3．(2023·广东·高考真题（文））设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B．
考点：余弦定理．
4．(2023·广东·高考真题（文））如图：在矩形中，，，垂足为，则______．
答案：
【解析】在矩形中，由，可知
从而，
.
故答案为：
5．(2023·北京·高考真题（理））在△ABC中，若a＝2,b＋c＝7,，则b=_________________
答案：4
【解析】（1）因为，所以，
即，
解得，又，
所以；
（2）因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，
故，
即是直角三角形．
6．(2023·江西·高考真题（理））在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
【解析】
（1）∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴．
（2）由余弦定理可知，
代入可得，
当且仅当时取等号，
∴，又，
∴的取值范围是．
7．（2023·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
答案：
【解析】由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·全国·高一课时练习）在中，若，则该三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．不能确定
答案：A
【解析】因为，
所以由余弦定理得，
所以，所以，
因为，所以，
所以为等腰三角形，
故选：A
2．(2023·全国·高一单元测试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B等于（ ）
A．B．C．或D．或
答案：B
【解析】因为，
所以，
又，
所以．
故选：B
3．(2023·全国·高一课时练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，所以．
故选：B
4．(2023·全国·高一课时练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（ ）
A．B．C．2D．3
答案：D
【解析】根据余弦定理得，即，亦即，解得或（舍去）.
故选：D.
5．(2023·全国·高一课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
答案：A
【解析】∵，
∴，
由余弦定理可得：，
整理可得：，①
∵，
∴，②
由①②得，
∴该三角形是直角三角形.
故选：A
6．(2023·全国·高一课时练习）在ABC中，，，a，b是方程的两个根，且，则边AB的长为（ ）
A．10B．C．D．5
答案：B
【解析】由题意得
∵，
∴，
∴.
故选：B
7．(2023·全国·高一课时练习）在钝角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则边c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】①当C是钝角时，，则.
又，则，
所以c的取值范围是；
②当B是钝角时，，则由余弦定理可得：，
则，即，解得.
又，因此.
综上，c的取值范围是.
故选：C.
8．(2023·全国·高一课时练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，角C的平分线交AB于点D，且，，则c的值为（ ）
A．3B．C．D．
答案：C
【解析】在△BCD中，，
即，
在△DCA中，
即，
由，解得.
故选:C.
二、多选题
9．(2023·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习）在中，，则可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：ABC
【解析】在中，设内角、、的对边分别为、、，
因为，可得，则，
，.
故选：ABC.
10．(2023·全国·高一课时练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A．在中，若，则C是锐角
B．在中，若，则
C．在中，若，则一定是直角三角形
D．任何三角形的三边之比不可能是
答案：ACD
【解析】对于A，由及余弦定理可得，又，所以，所以C是锐角，故A正确；
对于B，由及余弦定理可得，又，所以，所以A是锐角，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，
所以，则，所以一定是直角三角形，故C正确；
对于D，若三角形三边之比是，不妨设三边分别为，则两短边之和为，不满足三角形两边之和大于第三边，故任何三角形的三边之比不可能是，故D正确．
故选：ACD．
11．(2023·全国·高一课时练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】根据余弦定理可知，代入，可得，即，
因为，所以或，
故选：BD.
12．(2023·江苏扬州·高一期末）如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（ ）．
A．B．
C．D．与夹角的余弦值为
答案：AC
【解析】对A，，故A正确；
对B，设，则由A，，故，因为三点共线，故，解得，故，故，所以，即，故B错误；
对C，由余弦定理，，由B有，故，即，所以，故C正确；
对D，在中，，，故，故D错误；
故选：AC
三、填空题
13．(2023·上海·华东师范大学附属东昌中学高一期末）在中，角､､所对边分别是､､，若，则___________.
答案：
【解析】，
，
，.
故答案为：.
14．(2023·上海市控江中学高一期末）在三角形中，内角、、所对的边分别为、、，若，则角的大小是______.
答案：.
【解析】由，得
，
由余弦定理得，
因为，
所以，
故答案为：.
15．(2023·浙江大学附属中学高一期中）已知△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若，，，则________．
答案：
【解析】在△ABC中，AB=3，AC=1，，
余弦定理可得，即.
在△ADC中，设BD=m ，则 .
余弦定理可得
即…①.
在△ABD中，余弦定理可得.
即: …②，
由①②求解得:
故答案为：
16．(2023·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习）中，，则最大值______．
答案：
【解析】设，，，由余弦定理：，
所以，设，则，
代入上式得，方程有解，所以，故，
当时，此时，，符合题意，因此最大值为.
故答案为：.
四、解答题
17．(2023·新疆石河子一中高一阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，.
(1)求；
(2)求的值.
【解析】（1）∵，，
∴，
由，解得或（舍去），
∴，
∴.
（2）由余弦定理可得，
∴，
∴.
18．(2023·全国·高一课时练习）已知在中，角所对的边分别为，且，，，解此三角形.
【解析】在中，，，，
由余弦定理得，
可得，
所以，解得或.
①当时，，所以，；
②当时，由余弦定理得，
因为，
所以，所以.
19．(2023·重庆市第七中学校高一期末）中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，，为边上的中点，求的长．
【解析】(1)，
因为，所以；
(2)因为，，，
所以有，（舍去），
，
解得：.
20．(2023·吉林·长春外国语学校高一期末）在中，角所对的边分别为，，
(1)求角的大小；
(2)若边，为边的中点，求线段长．
【解析】(1)因为,
所以,
所以，
，
，
所以，
因为，所以角为锐角，
所以，
所以，得，
因为，
所以
(2)在中，由余弦定理得
，
所以，
因为为边的中点，所以，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得
，
因为，
所以
21．(2023·辽宁丹东·高一期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求；
(2)若，求边中线的最大值.
【解析】（1）因为，所以，
即，
又，
所以，，
所以.
（2）在中由余弦定理，即，
又，所以，当且仅当时等号成立，
又，
所以
，
所以，当且仅当时等号成立，
所以边的中线的最大值为；
22．(2023·四川宜宾·高一期末）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．
(1)求角C；
(2)若D为边AC上一点，BD＝7，a＝8，b＝10，求的值．
【解析】(1)将两边平方得：，
整理得，解得，而，
所以.
(2)在中，由余弦定理得：，即，
整理得，解得或，而，
当时，，，当时，，，
所以的值是或1.