【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第10讲两角和与差的三角函数(原卷版+解析)

这是一份【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第10讲两角和与差的三角函数(原卷版+解析)，共35页。

1、能够推导两角差的余弦公式。
2、能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式。
3、能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明。
【考点目录】
考点一：两角和与差的正（余）弦公式
考点二：两角和与差的正切公式
考点三：给角求值
考点四：给值求值
考点五：给值求角
考点六：利用两角和与差的余弦进行证明
【基础知识】
知识点一：两角和的余弦函数
两角和的余弦公式：
知识点诠释：
（1）公式中的都是任意角；
（2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；
（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．
（4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反．
知识点二：两角和与差的正弦函数
两角和正弦函数
在公式中用代替，就得到：
两角差的正弦函数
知识点诠释：
（1）公式中的都是任意角；
（2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；
（3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如
当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；
（4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：
这也体现了数学中的整体原则．
（5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同．
知识点三：两角和与差的正切函数
知识点诠释：
（1）公式成立的条件是：，或，其中；
（2）公式的变形：
（3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．
（4）公式对分配律不成立，即．
知识点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系
（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键．
（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开．
2、重视角的变换
三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：
；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等．
【考点剖析】
考点一：两角和与差的正（余）弦公式
例1．(2023·浙江省杭州第九中学高一期末）（ ）
A．B．C．D．
例2．(2023·江西九江·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例3．(2023·山东临沂·高一期末）（ ）
A．B．C．D．
考点二：两角和与差的正切公式
例4．(2023·甘肃兰州·高一期末）（ ）
A．B．1C．D．
例5．(2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）的值为（ ）
A．B．C．D．
考点三：给角求值
例6．(2023·全国·高一课时练习）的值为（ ）
A．0B．C．D．
例7．(2023·全国·高一课时练习）计算：（ ）
A．B．C．D．
考点四：给值求值
例8．(2023·全国·高一课时练习）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
例9．(2023·全国·高一课时练习）已知，，且，，则（ ）
A．1B．0C．-1D．
考点五：给值求角
例10．(2023·北京市第五中学高一阶段练习）若，，且，是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．或D．或
例11．(2023·江苏·金沙中学高一期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
考点六：利用两角和与差的余弦进行证明
例12．(2023·上海·高一课时练习）阅读材料:根据两角和与差的正弦公式，有:，
，由得，令,,有，，代入得.
(1)利用上述结论，试求的值；
(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:.
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·北京市第五中学高一阶段练习）若，，且，是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．或D．或
3．(2023·江西九江·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）已知，则________．
5．(2023·湖北·郧阳中学高一阶段练习）若为偶函数，则__________.
6．(2023·上海市金山中学高一期末）已知角终边上一点，则值为_____．
7．(2023·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高一期末）已知、，，，则______．
8．(2023·安徽合肥·高一期末）求解下列问题：
(1)已知，为第二象限角，求和的值；
(2)已知，，，为锐角，求的值.
9．(2023·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）已知，.
(1)求；
(2)若角的终边落在点，求的值.
10．(2023·上海·格致中学高一期中）已知，，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A．1B．-1C．D．
2．(2023·全国·高一课时练习）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A．B．1C．D．2
3．(2023·全国·高一课时练习）锐角满足，那么（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·全国·高一课时练习）若，则（ ）
A．B．0C．1D．
5．(2023·全国·高一课时练习）（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·内蒙古·满洲里市第一中学高一期末）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，则的值为（ ）
A．或0B．0C．D．
8．(2023·四川成都·高一期末（文））已知都是锐角，若，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·江苏·沛县教师发展中心高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，若点、的坐标分别为和，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·辽宁·高一期中）若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
11．(2023·江苏·星海实验中学高一期中）已知、、，且，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．、可能是方程的两根
D．
12．(2023·江西省万载中学高一阶段练习）已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则可以为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．(2023·天津南开·高一期末）的值是_____.
14．(2023·全国·高一课时练习）已知，则_______________．
15．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，，则_______.
16．(2023·全国·高一课时练习）
=_________.
四、解答题
17．(2023·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）（1）已知都是锐角，，求；
（2）已知，求.
18．(2023·四川内江·高一期末（文））已知，，且，，求：
(1)；
(2).
19．(2023·全国·高一课时练习）已知是一元二次方程的两个根，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
20．(2023·全国·高一课时练习）已知，求的值.
21．(2023·四川·遂宁中学高一期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以轴非负半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆O分别交于A，B两点，轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知点B的横坐标是.
(1)求的值；
(2)求的值.
第10讲 两角和与差的三角函数
【学习目标】
1、能够推导两角差的余弦公式。
2、能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式。
3、能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明。
【考点目录】
考点一：两角和与差的正（余）弦公式
考点二：两角和与差的正切公式
考点三：给角求值
考点四：给值求值
考点五：给值求角
考点六：利用两角和与差的余弦进行证明
【基础知识】
知识点一：两角和的余弦函数
两角和的余弦公式：
知识点诠释：
（1）公式中的都是任意角；
（2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；
（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．
（4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反．
知识点二：两角和与差的正弦函数
两角和正弦函数
在公式中用代替，就得到：
两角差的正弦函数
知识点诠释：
（1）公式中的都是任意角；
（2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；
（3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如
当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；
（4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：
这也体现了数学中的整体原则．
（5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同．
知识点三：两角和与差的正切函数
知识点诠释：
（1）公式成立的条件是：，或，其中；
（2）公式的变形：
（3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．
（4）公式对分配律不成立，即．
知识点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系
（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键．
（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开．
2、重视角的变换
三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：
；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等．
【考点剖析】
考点一：两角和与差的正（余）弦公式
例1．(2023·浙江省杭州第九中学高一期末）（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
.
故选：C
例2．(2023·江西九江·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，所以（1），
因为，所以（2），
（1）+（2）得，
∴.
故选：A．
例3．(2023·山东临沂·高一期末）（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】；
；
原式
.
故选：C
考点二：两角和与差的正切公式
例4．(2023·甘肃兰州·高一期末）（ ）
A．B．1C．D．
答案：C
【解析】.
故选：C.
例5．(2023·吉林·东北师大附中高一阶段练习）的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】，
，.
故选：B.
考点三：给角求值
例6．(2023·全国·高一课时练习）的值为（ ）
A．0B．C．D．
答案：D
【解析】①
②
得：
．
故选：D
例7．(2023·全国·高一课时练习）计算：（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】原式
.
故选：C.
考点四：给值求值
例8．(2023·全国·高一课时练习）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，所以，
于是，
从而．
故选：B
例9．(2023·全国·高一课时练习）已知，，且，，则（ ）
A．1B．0C．-1D．
答案：B
【解析】因为，,
所以，,
因为，所以,
因为，所以,
所以
,
故选：B
考点五：给值求角
例10．(2023·北京市第五中学高一阶段练习）若，，且，是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．或D．或
答案：B
【解析】、是方程的两个根，
，，
，，即、,，
则，
则，
故选：B．
例11．(2023·江苏·金沙中学高一期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为 ，
，
而，，所以，，，，所以．
故选：D．
考点六：利用两角和与差的余弦进行证明
例12．(2023·上海·高一课时练习）阅读材料:根据两角和与差的正弦公式，有:，
，由得，令,,有，，代入得.
(1)利用上述结论，试求的值；
(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:.
【解析】（1）；
（2）因为……①， ……②，
由①②得 ……③，
令， ，有，，代入③得 .
【真题演练】
1．(2023·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
故选：C.
2．(2023·北京市第五中学高一阶段练习）若，，且，是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．或D．或
答案：B
【解析】、是方程的两个根，
，，
，，即、,，
则，
则，
故选：B．
3．(2023·江西九江·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，所以（1），
因为，所以（2），
（1）+（2）得，
∴.
故选：A．
4．(2023·上海·华东师范大学第三附属中学高一阶段练习）已知，则________．
答案：
【解析】，即，
所以.
故答案为：
5．(2023·湖北·郧阳中学高一阶段练习）若为偶函数，则__________.
答案：
【解析】，
只要就为偶函数，
，
又，故.
故答案为：.
6．(2023·上海市金山中学高一期末）已知角终边上一点，则值为_____．
答案：
【解析】因为角终边上一点，
所以，
所以.
故答案为：.
7．(2023·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高一期末）已知、，，，则______．
答案：
【解析】、，，，
则，
故答案为：.
8．(2023·安徽合肥·高一期末）求解下列问题：
(1)已知，为第二象限角，求和的值；
(2)已知，，，为锐角，求的值.
【解析】（1）由于，为第二象限角，
所以，
所以.
（2）由于，为锐角，所以，
由于，，
所以，
所以
.
9．(2023·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）已知，.
(1)求；
(2)若角的终边落在点，求的值.
【解析】（1），，且，，
，则，，
．
，.
（2）角的终边落在点，则
则.
10．(2023·上海·格致中学高一期中）已知，，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】（1）因为，
所以．
（2）因为，所以，
又因为，所以，，
所以，
又，所以由，解得，
所以，
又，，故，
所以．
【过关检测】
一、单选题
1．(2023·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A．1B．-1C．D．
答案：A
【解析】因为，，
所以
.
故选：A.
2．(2023·全国·高一课时练习）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A．B．1C．D．2
答案：C
【解析】∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴．
则．
故选：C．
3．(2023·全国·高一课时练习）锐角满足，那么（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】∵锐角满足，
∴，则．
∵，
∴，
∴，
故选：C
4．(2023·全国·高一课时练习）若，则（ ）
A．B．0C．1D．
答案：B
【解析】∵，
∴或，
∴，，
∴．
故选：B
5．(2023·全国·高一课时练习）（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由，
原式．
故选：B
6．(2023·内蒙古·满洲里市第一中学高一期末）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为，，
所以
.
故选：B
7．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，则的值为（ ）
A．或0B．0C．D．
答案：D
【解析】∵，∴，
∵，，
∴，.
则或0.
∵，∴.
故选：D
8．(2023·四川成都·高一期末（文））已知都是锐角，若，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为为锐角，，
所以，
因为都是锐角，所以，
因为，
所以，
所以
，
故选：B
二、多选题
9．(2023·江苏·沛县教师发展中心高一阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，若点、的坐标分别为和，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AD
【解析】由三角函数定义可得，，，，A对B错；
，
，C错D对.
故选：AD.
10．(2023·辽宁·高一期中）若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
答案：AC
【解析】由题意得，
所以，
所以的值可能为，．
故选：AC
11．(2023·江苏·星海实验中学高一期中）已知、、，且，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．、可能是方程的两根
D．
答案：AD
【解析】对于A选项，由已知可得，解得，则，A对；
对于B选项，因为，则，
所以，，B错；
对于C选项，对于方程，，
若、可能是方程的两根，
由韦达定理可得，，
所以，，
因为、、，则，从而，与题设矛盾，C错；
对于D选项，因为，
所以，，
由B选项可知，
所以，
，D对.
故选：AD.
12．(2023·江西省万载中学高一阶段练习）已知为第一象限角，为第三象限角，且，，则可以为（ ）
A．B．C．D．
答案：CD
【解析】因为为第一象限角，
所以，，
因为，所以，
所以是第二象限角，所以，
为第三象限角，
所以，，
因为，所以是第二象限角或第三象限角，
当是第二象限角时，，
此时
，
当是第三象限角时，，
此时
，
故选：CD.
三、填空题
13．(2023·天津南开·高一期末）的值是_____.
答案：
【解析】.
故答案为：.
14．(2023·全国·高一课时练习）已知，则_______________．
答案：
【解析】因为，，
所以，，
即，，
两式相加得，所以．
故答案为：
15．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，，则_______.
答案：
【解析】∵，，
∴.
∵，∴.
∵，∴，
∴.∵，∴.
故答案为： .
16．(2023·全国·高一课时练习）
=_________.
答案：
【解析】
,
故答案为：
四、解答题
17．(2023·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）（1）已知都是锐角，，求；
（2）已知，求.
【解析】（1）因为，都是锐角，，，
所以，，
所以；
（2）因为，
所以，
当时，，
当时，，
所以.
18．(2023·四川内江·高一期末（文））已知，，且，，求：
(1)；
(2).
【解析】(1)∵，，
∴，，又，
∴；
(2)∵，，
∴，又，
∴，又，
∴.
19．(2023·全国·高一课时练习）已知是一元二次方程的两个根，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】（1）解方程得．
因为，
所以，
则．
（2）．
因为，
所以，
从而．
20．(2023·全国·高一课时练习）已知，求的值.
【解析】因为，
所以
即.①
同理可得:. ②
由得，
即，
所以.
由得，
即，
，
即.
21．(2023·四川·遂宁中学高一期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点在坐标原点，以轴非负半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆O分别交于A，B两点，轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知点B的横坐标是.
(1)求的值；
(2)求的值.
【解析】（1）由题意知，，点，则有，解得，
又为锐角，则，
因钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是，则，
所以.
（2）由（1）知，，
则，
从而
，
因为为锐角，，则有，即，又，因此，
所以.