2023-2024学年江苏省南通市如皋中学高一（下）调研数学试卷（一）（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市如皋中学高一（下）调研数学试卷（一）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若α=6，则角α的终边在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知复数z=(1+i1−i)2025，则z−的虚部为( )
A. −1B. −iC. 1D. i
3.设角θ的终边经过点P(4a,−3a)(a≠0)，则sin(π2+θ)+sin(3π+θ)所有可能的值为( )
A. ±75B. ±15C. 75D. 15
4.在锐角△ABC中，AD为BC边上的高，tanC=2tanB，AD=xAB+yAC，则x−y的值为( )
A. −12B. 12C. −13D. 13
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA= 217，(a+b−c)(a+b+c)=ab，则tanB的值为( )
A. 37B. 35C. 57D. 3 35
6.在平行四边形ABCD中，∠BAD=2π3，AB=2，F为CD的中点，BC=3BE，且AE⋅AF=83，则|AD|为( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
7.函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示.若将函数f(x)图象上所有点向右平移θ个单位，所得函数图象关于y轴对称，则θ的值可能为( )
A. π6
B. 512π
C. π2
D. 56π
8.已知函数f(x)= 3sin2ωx+2cs2ωx(ω>0)的定义域为[0,π]，在定义域内存在唯一x0，使得f(x0)=3，则ω的取值范围为( )
A. [112,1312]B. [112,1312)C. [16,76)D. [16,76]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量e1，e2不共线，且OA=2λe1+e2，OB=−2e1+3e2，OC=e1+λe2，若A，B，C三点共线，则实数λ的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有( )
A. 若A>C，则sinA>sinC
B. 若△ABC为锐角三角形，则sinAC. 若△ABC为斜三角形，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
D. 若asinA=bcsB=ccsC，则三角形ABC为等腰直角三角形
11.若5cs2α=tan(π4+α)，则tanα的值可能为( )
A. −1B. 1C. 2D. 12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用一根长度为1的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为______．
13.已知向量a=(1,sin(π12+x))，b=(sin(5π12−x),1)，函数f(x)=a⋅b，若∀x∈[−π,512π]，f(x)+a≥0恒成立，则实数a的取值范围为______．
14.锐角△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足csCc=csB−csCc−b，则ac的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知sinα+2csαsinα−csα=4．
(1)求tan2α及sinαcsα的值；
(2)若π<α<2π，0<β<π，csβ=−45，求sin(α−β)．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=sin(2x−π6)+2cs2x(x∈R)．
(1)求f(x)的对称中心及单调递减区间；
(2)将f(x)图象上所有点的横坐标变成原来2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)，若α∈(−π3,π3)，且g(α)=85，求csα．
17.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+B2=csinA．
(1)求C；
(2)若△ABC面积为10 3，tanA=4 3，求AB边上中线的长度．
18.(本小题17分)
如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的两点，AB=3，AD=2．
(1)若DP=λDC，CQ=λCB，0≤λ≤1，求AP⋅AQ的范围；
(2)若∠PAQ=π4，求AP⋅AQ的最小值；
(3)若DP=2PC，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得∠THQ最大.若存在，求BH的长；若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
在凸四边形ABCD中，DC=2AD．
(1)若A，B，C，D四点共圆，∠ADC=2π3，AC= 7，AB=BC+AD．
①求四边形ABCD的面积；
②求AB⋅AD的值；
(2)若DA⊥AB，∠ADC=∠BCD，∠BDC=π6，求BCAD的值．
参考答案
1.D
2.A
3.A
4.C
5.B
6.B
7.B
8.C
9.AC
10.ACD
11.ACD
12.2
13.[ 2,+∞)
14.( 2, 3)
15.解：(1)因为sinα+2csαsinα−csα=4，所以tanα+2tanα−1=4，解得tanα=2，
所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×21−22=−43，
sinαcsα=sinαcsαsin2α+cs2α=tanαtan2α+1=222+1=25．
(2)因为π<α<2π，tanα=2，所以π<α<3π2，
又tanα=sinαcsα=2sin2α+cs2α=1，解得sinα=−2 55csα=− 55或sinα=2 55csα= 55(舍去)，
又0<β<π，csβ=−45，所以sinβ= 1−cs2β=35，
所以sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ=−2 55×(−45)−(− 55)×35=11 525．
16.解：(1)f(x)=sin(2x−π6)+2cs2x= 32sin2x−12cs2x+1+cs2x
= 32sin2x+12cs2x+1=sin(2x+π6)+1，
令2x+π6=kπ(k∈Z)，解得x=−π12+k2π(k∈Z)，
令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2(k∈Z)，解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z)，
故f(x)的对称中心为(−π12+k2π,1)(k∈Z)，
单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z)；
(2)由题意可得g(x)=sin(x+π6)+1，
由g(α)=85，即sin(α+π6)+1=85，即sin(α+π6)=35，
由α∈(−π3,π3)，故α+π6∈(−π6,π2)，
由sin(α+π6)=35>0，故α+π6∈(0,π2)，
即cs(α+π6)= 1−(35)2=45，
则csα=cs(α+π6−π6)= 32cs(α+π6)+12sin(α+π6)
= 32×45+12×35=3+4 310．
17.解：(1)因为asinA+B2=csinA，
由正弦定理得sinAsinA+B2=sinCsinA，
因为A∈(0,π)，可得sinA>0，
又因为A+B2=π2−C2，可得sin(A+B2)=csC2，
所以sinA+B2=csC2=sinC=2sinC2csC2，
即csC2=2sinC2csC2，
又因为C2∈(0,π2)，可得csC2>0，
所以sinC2=12，所以C2=π6，故C=π3；
(2)由(1)知，C=π3，由△ABC面积为10 3，
可得12absinC= 34ab=10 3，解得ab=40，
又因为tanA=4 3，可得sinA=4 37,csA=17，
所以sinB=sin(2π3−A)= 32csA+12sinA=5 314，
又由正弦定理asinA=bsinB，可得a4 37=b5 314，解得5a=8b，
联立方程组ab=405a=8b，解得a=8，b=5，
如图所示，设边AB的中点为D，延长CD到点E，使得|CD|=|DE|，

可知AEBC为平行四边形，在△ACE中，|AC|=5，|AE|=|BC|=8且∠CAE=2π3，
由余弦定理得|CE|2=|AC|2+|AE|2−2|AC||AE|cs2π3=52+82−2×5×8×(−12)=129，
所以AB上的中线长为|CE|2= 1292．
18.解：(1)因为AB=3，AD=2，所以|DP|=λ|DC|=3λ，|CQ|=λ|CB|=2λ，
则|BQ|=2−2λ，
所以AP⋅AQ=(AD+DP)⋅(AB+BQ)=AD⋅AB+AD⋅BQ+DP⋅AB+DP⋅BQ
=0+2(2−2λ)+3λ×3+0=5λ+4，
因为0≤λ≤1，所以AP⋅AQ∈[4,9]；
(2)如图所示，以A点为坐标原点，AB为x轴，建立直角坐标系，

设∠QAB=α∈[0,π4]，0≤tanα≤23，
则Q(3,3tanα)，P(2tan(π4−α),2)，
所以AP⋅AQ=6tan(π4−α)+6tanα=6×1−tanα1+tanα+6tanα
=121+tanα+6tanα−6=6(21+tanα+tanα+1)−12
≥12 21+tanα⋅(tanα+1)−12=12 2−12，
当且仅当21+tanα=tanα+1，即tanα= 2−1时，等号成立，
所以AP⋅AQ的最小值为12 2−12；
(3)如图所示，以A点为坐标原点，AB为x轴，建立直角坐标系，
由题意可得P(2,2)，Q(3,1)，TC=12AD=1，Q(3,1)即T(3,3)，
假设存在点H，使得∠THQ最大，由∠THQ∈[0,π2)，即有tan∠THQ最大，
设BH=a，当a=0时，角度为0，此时∠THQ不可能最大，故a≠0，
则tan∠THQ=tan(∠THB−∠QHB)=tan∠THB−tan∠QHB1+tan∠THB⋅tan∠QHB=TBBH−QBBH1+TBBH⋅QBBH=BH⋅(TB−QB)BH2+TB⋅QB
=a⋅(3−1)a2+3×1=2aa2+3=2a+3a≤22 a⋅3a= 33，
当且仅当a=3a，即a= 3时，等号成立，
即存在，且BH= 3．

19.解：(1)①因为A，B，C，D四点共圆且∠ADC=2π3，所以∠ABC+∠ADC=π，可得∠ABC=π3，

在△ADC中，由余弦定理AC2=DA2+DC2−2DA⋅DCcs∠ADC，
结合DC=2AD，可得7=DA2+4DA2−2DA×2DA×(−12)，解得DA=1(负值舍去)，所以DC=2AD=2，
则S△ADC=12DA⋅DCsin∠ADC=12×1×2× 32= 32，
在△ABC中由余弦定理AC2=BA2+BC2−2BA⋅BCcs∠ABC，
将AB=BC+AD=BC+1代入，可得7=(BC+1)2+BC2−2(BC+1)×BC×12，解得BC=2(BC=−3不符合题意，舍去)，
所以AB=BC+1=3，可得S△ABC=12BA⋅BCsin∠ABC=12×3×2× 32=3 32，
因此，SABCD=S△ADC+S△ABC= 32+3 32=2 3；
②根据①的结论，在△ABC中，由余弦定理BC2=BA2+AC2−2BA⋅ACcs∠BAC，
即22=32+( 7)2−2×3× 7cs∠BAC，解得则cs∠BAC=2 77，
所以sin∠BAC= 1−cs2∠BAC= 217，
在△ADC中，根据余弦定理，得DC2=DA2+AC2−2DA⋅ACcs∠DAC，
即22=12+( 7)2−2×1× 7cs∠DAC，解得则cs∠DAC=2 77，可知∠DAC=∠BAC，
所以cs∠DAB=cs2∠DAC=2cs2∠DAC−1=2×(2 77)2−1=17，
可得AB⋅AD=|AB|⋅|AD|cs∠BAD=1×3×17=37．
(2)设∠ADB=θ(0<θ<π2)，AD=x(x>0)，则CD=2x，
则csθ=xBD，∠ADC=∠BCD=θ+π6，结合∠BDC=π6，可得∠DBC=π−π6−(θ+π6)=2π3−θ，

在△BCD中，根据正弦定理得BDsin∠DCB=DCsin∠DBC，即xcsθsin(θ+π6)=2xsin(2π3−θ)，
∴sin(2π3−θ)=2csθ⋅sin(θ+π6)，化简得sin(θ+π3)= 3csθ⋅sinθ+cs2θ，
∴sin(θ+π3)= 32sin2θ+12cs2θ+12=sin(2θ+π6)+12=sin(2θ+2π3−π2)+12=−cs(2θ+2π3)+12=2sin2(θ+π3)−12，
故2sin2(θ+π3)−sin(θ+π3)−12=0，结合sin(θ+π3)>0，解得sin(θ+π3)=1+ 54，
因此在△DBC中，BC=DCsinπ6sin(2π3−θ)=xsin(θ+π3)=x1+ 54=( 5−1)x，解得BCx=BCAD= 5−1．