2023-2024学年福建省漳州实验高级中学高一（下）质检数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省漳州实验高级中学高一（下）质检数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法中正确的是( )
A. 单位向量都相等
B. 若a,b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b
C. 对于任意向量a,b，必有|a+b|≤|a|+|b|
D. 平行向量不一定是共线向量
2.已知复数z=4+3i1−i，其中i为虚数单位，则z+z−=( )
A. iB. 7iC. 7D. 1
3.在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2 3，则角B的值为( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
4.已知向量|a|= 3,|b|= 6，若a,b间的夹角为3π4，则|2a−b|=( )
A. 30B. 61C. 78D. 85
5.O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP=OA+λ(AB+AC)，λ>0，则直线AP一定通过△ABC的( )
A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心
6.某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为( )
A. 10 6米B. 20 3米C. 20 33米D. 20 63米
7.如图，M为△ABC的外接圆的圆心，AB=4，AC=6，N为边BC的中点，则AN⋅AM=( )
A. 5
B. 10
C. 13
D. 26
8.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S= 14[a2c2−(a2+c2−b22)2]，若a2sinC=2sinA，(a+c)2=6+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为( )
A. 3B. 32C. 12D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是( )
A. i+i2+i3+i4=0
B. 复数−2−i的虚部为−i
C. 若复数ω=−12+ 32i，则ω2+ω+1=0
D. |z1⋅z2|=|z1||z2|
10.下列说法正确的有( )
A. 在△ABC中，BC⋅CA<0，则△ABC为锐角三角形
B. 已知O为△ABC的内心，且A=30°，B=60°，则OA+ 3OB+2OC=0
C. 已知非零向量a，b满足：a⋅b=a2，4c=2a+b，则b⋅c|b||c|的最小值为12
D. 已知a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是(−∞,−53)
11.对于△ABC，下列说法正确的是( )
A. 若A=45°,a=2,b=2 2，则△ABC只有一解
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC一定为等腰三角形
C. 若a+b<2c，则0D. 若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC一定为锐角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z满足|z|=1，则|z+3−4i|(i为虚数单位)的最大值为______．
13.已知向量a,b夹角为π3,|a|=2，对任意t∈R，有|a+tb|≥|a−b|恒成立，若x为实数，则|xa−3b|的最小值是______．
14.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，让八边形ABCDEFGH内角和为1080°，若AE=λAC+μAF(λ,μ∈R)，则λ+μ的值为______；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则AP⋅AB的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知向量a=(2,1)，b=(1,2)，c=(3,λ)．
(1)若c/​/a，求|c|的值；
(2)若(ka+b)⊥a，求k的值．
16.(本小题15分)
已知复数z1=a+2+(a−1)i，z2=2+(3a+1)i，a∈R．
(1)若复数z1−z2在复平面内的对应点落在第二象限，求实数a的取值范围；
(2)若虚数z1是方程x2−8x+m=0的一个根，求实数m的值．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bcsA+ 3bsinA=a+c．
(1)求B；
(2)若△ABC的中线BD长为2 3，求△ABC面积的最大值．
18.(本小题15分)
某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东30°方向20nmile处的D点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所.早上5点15分位于A哨所正西方向20nmile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西30°方向60nmile处的E点，并识别出其为走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30nmile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为30nmile/ℎ.(假设所有船只均保持匀速直线航行)
(1)求走私船的速度大小；
(2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间．
19.(本小题17分)
如图，在凸四边形ABCD中，AB=1,BC= 3,AC⊥DC,CD= 3AC.设∠ABC=θ．
(1)若θ=30°，求AD的长．
(2)当θ多大时，BD的长度最大，并求BD的最大值．
参考答案
1C
2D
3A
4A
5C
6D
7C
8B
9ACD
10BD
11AD
126
133 32
14 2 [−2 2,4+2 2]
15解：(1)由c/​/a得2λ=3，解得λ=32，
故|c|= 32+(32)2=3 52；
(2)由已知ka+b=k(2,1)+(1,2)=(2k+1,k+2)，
又(ka+b)⊥a，
∴(2k+1)×2+1×(k+2)=0，解得k=−45．
16解：(1)复数z1=a+2+(a−1)i，z2=2+(3a+1)i，
则z1−z2=a−(2a+2)i，
复数z1−z2在复平面内的对应点落在第二象限，
则a<0−(2a+2)>0，解得a<−1，
故实数a的取值范围为(−∞,−1)．
(2)虚数z1是方程x2−8x+m=0的一个根，
则z1−也是方程x2−8x+m=0的一个根，
故a+2+(a−1)i+a+2−(a−1)i=8(a+2)2+(a−1)2=m，解得a=2，m=17．
17解：(1)因为bcsA+ 3bsinA=a+c，由正弦定理可得sinBcsA+ 3sinBsinA=sinA+sinC，
在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，sinA≠0，
可得 3sinB−csB=2sin(B−π6)=1，所以sin(B−π6)=12
即B−π6=π6或5π6，而B∈(0,π)，
解得B=π3；
(2)因为△ABC的中线BD长为2 3，B=π3，
可得BD=12(BA+BC)，
可得|BD|2=14(BA2+BC2+2BA⋅BC)=14(c2+a2+2accsB)=14(a2+c2+ac)
即12≥14(2ac+ac)，可得ac≤16，当且仅当a=c=4时取等号，
所以△ABC面积的S=12acsinB≤12×16× 32=4 3，
所以△ABC面积的最大值4 3．
18解：(1)某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东30°方向20nmile处的D点出现可疑船只，
∵D点位于A哨所北偏东30°方向20nmile处，
∴∠BAD=90°+30°=120°，AD=20，
∵AB=20，
∴BD= AD2+AB2−2AD⋅ABcs120°=20 3，
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°，
∵E点位于B哨所北偏西30°方向60nmile处，
∴∠DBE=90°−30°+30°=90°，
∴DE= BD2+BE2=40 3，
∴ν走私船=40 34=10 3nmile/ℎ，
∴走私船的速度大小为10 3nmile/ℎ；
(2)早上5点15分位于A哨所正西方向20nmile的B哨所发现了该可疑船只位于B哨所北偏西30°方向60nmile处的E点，
设在F点处截获走私船，截获走私船所需时间为t，
∵BE=60，BC=30，∠CBE=60°，
∴CE= BE2+BC2−2BE⋅BCcs60°=30 3，
∵BE2=BC2+CE2，∴∠BCE=90°，∠BEC=30°，
∴∠CEF=120°，
∵走私船速度为10 3nmile/ℎ，缉私船速度为30nmile/ℎ，
∴EF=10 3t , CF=30t，
在△CEF中，根据余弦定理，
CF2=CE2+EF2−2CE⋅EFcs120°，
900t2=2700+300t2−2×30 3×10 3 tcs120°，
化简得2t2−3t−9=0，
∴t=−32(舍去)，或t=3，
此时CE=EF=30 3，
∴∠ECF=30°，
∴缉私船沿北偏西30°方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船．
19解：(1)在△ABC中，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs∠ABC，
∴AC2=1+3−2 3cs30°=1，
∴AC=1，在△ACD中，AD2=AC2+DC2=4AC2=4，∴AD=2；
(2)设AC=x，CD= 3x，
在△ABC中，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs∠ABC，
x2=4−2 3csθ，
∵ACsinθ=ABsin∠ACB=1sin∠ACB，
∴sin∠ACB=sinθx，
在△BCD中，BD2=( 3)2+( 3x)2−2 3⋅ 3xcs(π2+∠ACB)
=3+3x2+6xsin∠ACB=3+12−6 3csθ+6xsinθx
=15−6 3csθ+6sinθ=15+12sin(θ−π3)，
∵θ∈(0,π)，∴θ−π3∈(−π3,2π3)，
当θ−π3=π2，θ=5π6时，BD取到最大值3 3．