第19讲 重难点07全等三角形中“倍长中线”模型-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义

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倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。
三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
图一
图二
图三
【考点剖析】
例1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．
方法1：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴AC=BE，∠E=∠2
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2[来源:Z。xx。k.Cm]
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
方法2：
如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E
∵BE∥AC
∴∠E=∠2
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（AAS）
∴BE=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
【变式1】如图1，已知中，是边上的中线．
求证：．
证明：如图2，延长至，使，
∵是边上的中线∴
在和中
∴∴
在中，
∴．
【变式2】如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．
（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．
（2）求证：△ACD≌△EBD．
（3）求证：AB+AC >2AD．
（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．
解：（1）如图，
（2）证明：如图，
∵AD为BC边上的中线
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（SAS）
（3）证明：如图，
∵△BDE≌△CDA
∴BE=AC
∵DE=AD
∴AE=2 AD
在△ABE中，AB+BE>AE
∴AB+AC>2AD
（4）在△ABE中，
ABBE由（3）得 AE=2AD，BE=AC
∵AC=3，AB=5
∴53∴2<2AD<8
∴1[来源:学&科&网Z&X&X&K
【变式3】如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．
证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF
∴CF=2CD
∵CD是△ABC的中线
∴BD=AD
在△BDF和△ADC中
∴△BDF≌△ADC（SAS）
∴BF=AC，∠1=∠F
∵CB是△AEC的中线
∴BE=AB
∵AC=AB
∴BE=BF
∵∠1=∠F
∴BF∥AC
∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°
又∵AC=AB
∴∠1+∠2=∠5
又∵∠4+∠5=180°
∴∠4=∠5+∠6
即∠CBE=∠CBF
在△CBE和△CBF中
∴△CBE≌△CBF（SAS）
∴CE=CF，∠2=∠3
∴CE=2CD
CB平分∠DCE
例2.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．
求证：∠AEF=∠EAF．
证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM
∵D是BC边的中点
∴BD=CD
在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB（SAS）
∴∠1=∠M，AC=MB
∵BE=AC
∴BE=MB
∴∠M=∠3
∴∠1=∠3
∵∠3=∠2
∴∠1=∠2
即∠AEF=∠EAF
【变式1】如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．
求证：AD为△ABC的角平分线．
证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM
∵点E是BC的中点
∴BE=CE
在△CFE和△BME中
∴△CFE≌△BME（SAS）
∴CF=BM，∠F=∠M
∵BG=CF
∴BG=BM
∴∠1=∠M
∴∠1=∠F
∵AD∥EF
∴∠3=∠F，∠1=∠2
∴∠2=∠3
即AD为△ABC的角平分线
例3.如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
【详解】
（1）如图所示：
（2）如图，
判断：
证明如下：
延长至点，使得，连接
在和中，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵AD平分∠BAC
∴
在和中，
∵
∴
∴
又∵
∴
【变式】阅读理解：
（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．
（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．
解答：（1）如图1延长到点，使得，再连接，
∵AD为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△ EDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠EDB，
AD=ED，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=EB=6，
，
∵，
∴，
∴，
（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，
由D为BC中点，BD=CD，
在△FDC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠FDC=∠GDB，
FD=GD，
∴△FCD≌△GBD（SAS），
∴FC=GB，
∵，DF=DG，
∴EF=EG，
在△BEG中EG（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，
由是边上的中点，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠GDB，
AD=GD，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴AC=GB，∠DAC=∠G，
∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠BED=∠G=∠CAD．
【过关检测】
一．选择题（共6小题）
1．（2022秋•天门期中）AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，中线AD的取值范围是（ ）
A．8＜AD＜12B．4＜AD＜20C．2＜AD＜10D．4＜AD＜6
【分析】求中线AD的取值范围可延长AD至点E，使AD＝DE，得出△ACD≌△EBD，进而在△ABE中利用三角形三边关系求解．
【解答】解：画出图形如右所示，
延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD＝CD，
又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE
∴△ACD≌△EBD，
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，12﹣8＜AE＜12+8，
∴4＜AE＜20，
∴2＜AD＜10．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系，要注意掌握出现中点的辅助线一般应延长中线所在的直线构造全等三角形，这是一种非常重要的方法．
2．（2022秋•临洮县期中）如图所示，△ABC中，AB＝5，AC＝9，则BC边上的中线AD的取值范围是（ ）
A．4＜AD＜14B．0＜AD＜14C．2＜AD＜7D．5＜AD＜9
【分析】此题通过辅助线，即倍长中线．巧妙构造全等三角形，把要求的线段和已知的线段转换到一个三角形中，根据三角形的三边关系进行分析求解．
【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，
∵点D是中点，
∴BD＝CD，
又∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD≌△EDC（SAS），
∴CE＝AB，
根据三角形的三边关系，得：（AC﹣CE）＜AE＜（AC+CE），
即4＜AE＜14，
而AD＝AE，
∴2＜AD＜7．
故选：C．
【点评】本题通过作辅助线，构造全等三角形，把AB转移为CE，再利用三角形中三边的关系求解．
3．（2022秋•义乌市校级月考）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝4，AC＝2，则AD的取值范围是（ ）
A．1＜AD＜3B．2＜AD＜4C．2＜AD＜6D．2＜AD＜3
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB，
∵AB＝4，AC＝2，
∴4﹣2＜AE＜4+2，即2＜AE＜6，
∴1＜AD＜3．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延长，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
4．（2022秋•如皋市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（ ）
A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7
【分析】延长AD到点E，使DE＝AD，连接EC，根据三角形的中线定义可得CD＝BD，然后利用SAS证明△ADB≌△△EDC，从而可得AB＝EC＝6，最后在△ACE中，利用三角形的三边关系进行计算即可解答．
【解答】解：延长AD到点E，使DE＝AD，连接EC，
∵AD是边BC上的中线，
∴CD＝BD，
∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ADB≌△△EDC（SAS），
∴AB＝EC＝6，
在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，
∴2＜2AD＜14，
∴1＜AD＜7，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（2022秋•灵山县期中）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜8B．1＜AD＜4C．2＜AD＜5D．4≤AD≤8
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，先证△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB＝5，
在△ACE中，由三角形的三边关系得：CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
即2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质等知识；遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
6．（2022秋•朝阳区校级期中）老师布置的作业中有这么一道题：
甲同学认为AB，AC，AD这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为可以从点C作平行线，构造辅助线，利用全等的知识解决．你认为正确的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．乙和丙
【分析】延长AD到E使得AD＝ED＝4，利用倍长中线模型证明△ABD≌△ECD（SAS）得到AB＝EC，再由三角形三边的关系即可判断乙同学的说法；过C作CE∥AB交AD的延长线于E，证明△ABD≌△ECD（AAS），得AB＝EC，AD＝ED＝4，再由三角形三边的关系即可判断丙同学的说法．
【解答】解：如图，延长AD到E，使得ED＝AD＝4，
则AE＝2AD＝8，
延长AD到E使得AD＝ED＝4，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝EC，
在△ACE中，AE﹣AC＜EC＜AE+AC，
即8﹣3＜EC＜8+3，
∴5＜EC＜11，
∴5＜AB＜11，
∴AB的长不可能是5；
过C作CE∥AB交AD的延长线于E，
则∠BAD＝∠E，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB＝EC，AD＝ED＝4，
∴AE＝2AD＝8，
在△ACE中，AE﹣AC＜EC＜AE+AC，
即8﹣3＜EC＜8+3，
∴5＜EC＜11，
∴5＜AB＜11，
∴AB的长不可能是5；
综上所述，甲说法错误，乙和丙说法正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形三边的关系等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
7．（2022秋•青田县期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是 2＜AD＜8 ．
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；
【解答】（1）解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图1所示
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为2＜AD＜8．
【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
8．（2022秋•大连月考）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为 1＜AD＜7 ．
【分析】延长AD到E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB，
∵AB＝6，AC＝8，
∴8﹣6＜AE＜8+6，
即2＜AE＜14，
1＜AD＜7．
故答案为：1＜AD＜7．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
9．（2022秋•鄞州区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连结DC，作DM⊥DC交AC于点M．若AB＝10，AM＝2，则CM＝ ．
【分析】延长MD至点E，使DE＝DM，连结BE，CE．证明△AMD≌△BED（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBE＝∠A，证明△CMD≌△CED（SAS），得出CE＝CM，设CM＝x，则CE＝x，AC＝2+x，由勾股定理得出x2﹣2＝102﹣（x+2）2，解方程求出x的值即可得出答案．
【解答】解：延长MD至点E，使DE＝DM，连结BE，CE．
∵D为AB的中点，
∴AD＝DB，
在△AMD和△BED中，
，
∴△AMD≌△BED（SAS），
∴∠DBE＝∠A，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠DBE+∠ABC＝90°，
在△CMD和△CED中，
，
∴△CMD≌△CED（SAS），
∴CE＝CM，
设CM＝x，则CE＝x，AC＝2+x，
在Rt△CBE中，BC2＝CE2﹣BE2＝x2﹣22，
在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣（x+2）2，
∴x2﹣22＝102﹣（x+2）2，
解得x＝﹣1（负值舍去）．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明△AMD≌△BED是解题的关键．
10．（2022秋•东宝区校级月考）在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD的取值范围是 1＜AD＜5 ．
【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC＝BE＝8，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．
三．解答题（共14小题）
11．（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）由已知得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜AE＜6+4，AD为AE的一半，即可得出答案；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，也可证得△ABE≌△GCE，从而可得AB＝CG，即可得到结论．
【解答】解：（1）1＜AD＜5．
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
证明：（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：
BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF．
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中，
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
12．（2021秋•南充期末）如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，E为AD延长线上一点，且DF＝DE．
求证：BE∥CF．
【分析】证明△BDE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出∠BED＝∠CFD，由平行线的判定可得出结论．
【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴∠BED＝∠CFD，
∴BE∥CF．
【点评】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质，证明△BDE≌△CDF是解题的关键．
13．（2022秋•中山市期末）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，当点D为BC中点时，求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】（1）根据角平分线的作法，即可得出答案；
（2）延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，判断出△BDE≌△CDA（SAS），得出BE＝AC，∠E＝∠CAD，进而得出AB＝AC，即可得出结论．
【解答】（1）解：如图所示，AD就是∠BAC的角平分线；
（2）证明：如图，
延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵∠BDE＝∠CDA，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC，∠E＝∠CAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠E＝∠BAD，
∴AB＝BE，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，利用倍长中线法作出辅助线是解本题的关键．
14．（2022秋•朝阳区校级月考）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．
【分析】证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
【解答】证明：方法一：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．
∴∠F＝∠CGE＝90°．
又∵∠BEF＝∠CEG，BE＝CE，
∴△BFE≌△CGE．
∴BF＝CG．
在△ABF和△DCG中，∵∠F＝∠DGC＝90°，∠BAE＝∠CDE，BF＝CG，
∴△ABF≌△DCG．
∴AB＝CD．
方法二：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
∴∠F＝∠BAE．
又∵∠ABE＝∠D，
∴∠F＝∠D．
∴CF＝CD．
∵∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠FEC，BE＝CE，
∴△ABE≌△FCE．
∴AB＝CF．
∴AB＝CD．
方法三：延长DE至点F，使EF＝DE．
又∵BE＝CE，∠BEF＝∠CED，
∴△BEF≌△CED．
∴BF＝CD，∠D＝∠F．
又∵∠BAE＝∠D，
∴∠BAE＝∠F．
∴AB＝BF．
∴AB＝CD．
【点评】主要考查辅助线的添加及全等三角形的判定方法的掌握，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
15．（2022秋•梅里斯区期末）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．
求证：AB＝CD．
分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．
①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．
（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．
【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，先判断出BE＝CE，进而判断出△BEF≌△CED，得出BF＝CD，∠F＝∠CDE，再判断出AB＝BF，即可得出结论；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，先判断出BE＝CE，进而判断出△BEF≌△CEG，得出BF＝CG，再判断出△BAF≌△CDG，即可得出结论；
（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，先判断出BE＝CE，进而判断出△BAE≌△CME（AAS），得出CM＝AB，∠BAE＝∠M，即可得出结论．
【解答】证明：（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（SAS），
∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，
∵∠BAE＝∠CDE，
∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF，
∴AB＝CD；
②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，
∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（AAS），
∴BF＝CG，
在△BAF和△CDG中，
，
∴△BAF≌△CDG（AAS），
∴AB＝CD；
（2）如图3，
过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，
则∠BAE＝∠EMC，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
在△BAE和△CME中，
，
∴△BAE≌△CME（AAS），
∴CM＝AB，∠BAE＝∠M，
∵∠BAE＝∠EDC，
∴∠M＝∠EDC，
∴CM＝CD，
∴AB＝CD．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
16．（2022秋•常德期末）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝13，AC＝9，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 2＜AD＜11 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE＝∠AFE．若AE＝4，EC＝3，求线段BF的长．
（3）【拓展提升】如图3，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．
【分析】（1）先判断出△ADC≌△EDB（SAS），得出BE＝AC＝9，最后用三角形的三边关系计算；
（2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，根据全等三角形的性质解答；
（3）延长ED到点G，使GD＝ED，连接CG、GF、EF，先证明△CDG≌△BDE，得CG＝BE，根据三角形的三边关系得CG+CF＞GF，则BE+CF＞GF，由DF垂直平分EG得GF＝EF，所以BE+CF＞EF．
【解答】（1）解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝9，
∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴4＜AE＜22
∴2＜AD＜11，
故答案为：2＜AD＜11．
（2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2，
∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝EF＝4，
∴AC＝AE+CE＝7，
∴BM＝AC＝7，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF＝7；
（3）证明：如图3，延长ED到点G，使GD＝ED，连接CG、GF，
∵D是BC边上的中点，
∴CD＝BD，
在△CDG和△BDE中，
，
∴△CDG≌△BDE（SAS），
∴CG＝BE，
∵CG+CF＞GF，
∴BE+CF＞GF，
∵DE⊥DF，GD＝ED，
∴DF垂直平分EG，
∴GF＝EF，
∴BE+CF＞EF．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17．（2022秋•句容市月考）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接CE．
①证明△ABD≌△ECD；
②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是 1＜x＜4 ；
（2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF．
【分析】（1）①根据三角形的中线得出BD＝CD，再由对顶角相等得出∠ADB＝∠CDE，即可得出结论；
②先由△ABD≌△ECD，得出CE＝5，再由ED＝AD，得出AE＝2AD＝2x，最后用三角形的三边关系，即可求出答案；
（2）先根据SAS判断出△DEF≌△DEH，得出EH＝EF，再根据SAS判断出△BDH≌△CDF，得出CF＝BH，即可求出答案．
【解答】（1）①证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADB和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS）；
②解：由①知，△ABD≌△ECD，
∴CE＝AB，
∵AB＝5，
∴CE＝5，
∵ED＝AD，AD＝x，
∴AE＝2AD＝2x，
在△ACE中，AC＝3，
根据三角形的三边关系得，5﹣3＜2x＜5+3，
∴1＜x＜4，
故答案为：1＜x＜4；
（2）证明：如图2，延长FD，截取DH＝DF，连接BH，EH，
∵DH＝DF，DE⊥DF，
即∠EDF＝∠EDH＝90°，DE＝DE，
∴△DEF≌△DEH（SAS），
∴EH＝EF，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
∵DH＝DF，∠BDH＝∠CDF，
∴△BDH≌△CDF（SAS），
∴CF＝BH，
∵BE+BH＞EH，
∴BE+CF＞EF．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，用倍长中线法构造全等三角形是解本题的关键．
18．（2021秋•沙坪坝区校级期末）△ABC中，AB＝AC，以BC为边，在BC右侧作等边△BCD．
（1）如图1，连接AD与BC交于点P，，BD＝2，求△ABD的面积；
（2）如图2，E为DC延长线上一点，连接AE、BE，G为AC的中点，连接BG、EG，AE＝DE，证明：BG⊥EG．
【分析】（1）利用已知条件得到AD是线段BC的垂直平分线，利用等腰三角形的三线合一和勾股定理分别求出AP，PD的长，再利用三角形的面积公式即可求解；
（2）连接AD，利用（1）中的方法求得∠CDA＝30°，延长BF至点F，使FG＝BG，连接AF，FE，利用倍长中线的方法得到△BGC≌△FGA，BC＝AF，∠CBG＝∠AFG，AF∥CB；再证明△AFE≌△DBE得到FE＝BE，利用等腰三角形的三线合一即可得出结论．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD是线段BC的垂直平分线．
∴AP⊥BC，BP＝PC．
∵BD＝2，BD＝BC，
∴BP＝PC＝1．
∴AP＝＝2．
∵DP⊥BC，
∴DP＝＝．
∴AD＝AP+PD＝3．
∴△ABD的面积＝×AD•BP＝×3×1＝．
（2）证明：连接AD，如图，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD是线段BC的垂直平分线．
∴DH⊥BC．
∵△BCD是等边三角形，
∴∠CDA＝∠BDC＝×60°＝30°．
∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠CDA＝30°．
延长BF至点F，使FG＝BG，连接AF，FE，
在△BGC和△FGA中，
，
∴△BGC≌△FGA（SAS）．
∴BC＝AF，∠CBG＝∠AFG．
∴AF∥CB．
∵AD⊥BC，
∴FA⊥AD．
∴∠FAD＝90°．
∴∠FAE＝∠FAD﹣∠FAE＝60°．
∵BC＝AF，BD＝BC，
∴AF＝BD．
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（SAS）．
∴FE＝BE．
∵FG＝BG，
∴BG⊥EG．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，延长BF至点F，使FG＝BG，连接AF，FE，构造全等三角形是利用线段中点解答问题常用的辅助线．
19．（2022秋•厦门月考）（1）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
（2）受到（1）启发，请你证明下面的问题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF.
【分析】（1）延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，根据三角形的中线定义可得BD＝DC，从而利用SAS可证△ADC≌△EDB，然后利用全等三角形的性质可得BE＝AC＝3，最后在△ABC中，利用三角形的三边关系进行计算即可解答；
（2）延长FD到点G，使GD＝DF，连接BG，EG，根据线段中点的定义可得BD＝DC，从而利用SAS可证△BDG≌△CDF，然后利用全等三角形的性质可得BG＝CF，再利用线段垂直平分线的性质可得EG＝EF，最后在△BEG中，利用三角形的三边关系进行计算即可解答．
【解答】解：（1）延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝DC，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝3，
在△ABC中，AB＝5，
∴5﹣3＜AE＜5+3，
∴2＜AE＜8，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4；
（2）延长FD到点G，使GD＝DF，连接BG，EG，
∵D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∵∠BDG＝∠CDF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF，
∵DE⊥DF，
∴ED是GF的垂直平分线，
∴EG＝EF，
在△BEG中，BE+BG＞EG，
∴BE+CF＞EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（2022秋•南沙区校级期末）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为腰向△ABC外作等腰三角形ABM和等腰三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝120°，∠NBC＝60°，连接MN．
（1）请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
（2）延长DB交MN于点F，求∠MFB的度数．
【分析】（1）延长BD至E，使DE＝BD，连接AE，则BE＝2BD，证明△ADE≌△CDB（SAS），得出∠DAE＝∠DCB，进而判断出AE＝BN，∠MBN＝∠BAE，进而判断出△ABE≌△BMN（SAS），得出BE＝MN，即可得出结论；
（2）结合（1）△ABE≌△BMN，可得∠ABE＝∠BMN，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：（1）MN＝2BD，理由如下：
如图，延长BD至E使DE＝BD，连接AE，
∵点D是AC的中点，
∴CD＝AD，
在△CBD和△AED中，
，
∴△CBD≌△AED（SAS），
∴BC＝AE，∠DAE＝∠DCB，
∵BC＝BN，
∴AE＝BN，
∵∠ABM＝120°，∠NBC＝60°，
∴∠MBN+∠ABC＝180°，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠MBN＝∠BAC+∠ACB＝∠BAC+∠DAE＝∠BAE，
∵AB＝BM，
∴△ABE≌△BMN（SAS），
∴BE＝MN，
∴MN＝2BD．
（2）延长DB交MN于点F，
∵△ABE≌△BMN，
∴∠ABE＝∠BMN，
∵∠ABM＝120°，
∴∠ABE+∠MBF＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BMF+∠MBF＝60°，
∴∠MFB＝180°﹣60°＝120°．
【点评】此题主要考查了倍长中线法，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，利用倍长中线法作出辅助线是解本题的关键．
21．（2022秋•桐柏县期中）（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．
可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 1.5＜AD＜6.5 ；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，得到△ACD≌△EBD，根据全等三角形的性质得到BE＝AC，根据三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长AB至点H，使BH＝DF，连接CH，证出∠HBC＝∠D，证明△HBC≌△FDC，得出CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，证出∠ECH＝50°＝∠ECF，再证明△HCE≌△FCE，得出EH＝EF，即可得出结论．
【解答】（1）解：如图①，将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，则△ACD≌△EBD，
∴AD＝DE，BE＝AC＝5，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即3＜AE＜13，
故答案为：1.5＜AE＜6.5；
（2）证明：如图②，延长FD至N，使DN＝DF，连接BN、EN，
在△FDC和△NDB中，
，
∴△FDC≌△NDB（SAS）
∴BN＝FC，
∵DF＝DN，DE⊥DF，
∴EF＝EN，
在△EBN中，BE+BN＞EN，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：BE+DF＝EF，
理由如下：如图③，延长AB至点H，使BH＝DF，连接CH，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠HBC+∠ABC＝180°，
∴∠HBC＝∠D，
在△HBC和△FDC中，
，
∴△HBC≌△FDC（SAS）
∴CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，
∵∠BCD＝100°，∠ECF＝50°，
∴∠BCE+∠FCD＝50°，
∴∠ECH＝50°＝∠ECF，
在△HCE和△FCE中，
，
∴△HCE≌△FCE（SAS）
∴EH＝EF，
∴BE+DF＝EF．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解决问题的关键．
22．（2022秋•宝应县校级月考）（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．
中线AD的取值范围是 2＜AD＜8 ；
（2）问题解决：
如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）延长AD至E，使DE＝AD，由SAS证明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取值范围；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，证出∠NBC＝∠D，由SAS证明△NBC≌△FDC，得出CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，证出∠ECN＝70°＝∠ECF，再由SAS证明△NCE≌△FCE，得出EN＝EF，即可得出结论．
【解答】（1）解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为：2＜AD＜8；
（2）证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示：
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：BE+DF＝EF；理由如下：
延长AB至点N，使BN＝DF，连接CN，如图3所示：
∵∠ABC+∠D＝180°，∠NBC+∠ABC＝180°，
∴∠NBC＝∠D，
在△NBC和△FDC中，，
∴△NBC≌△FDC（SAS），
∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，
∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，
∴∠BCE+∠FCD＝70°，
∴∠ECN＝70°＝∠ECF，
在△NCE和△FCE中，，
∴△NCE≌△FCE（SAS），
∴EN＝EF，
∵BE+BN＝EN，
∴BE+DF＝EF．
【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
23．（2022秋•平舆县期末）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 B ．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是 C ．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【分析】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选C．
（3）证明：
延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF．
【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
24．（2022秋•桐柏县期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
（1）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是 1＜AD＜5 ．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知AB∥CF，点E是BC的中点，点D在线段AE上，∠EDF＝∠BAE，若AB＝5，CF＝2，直接写出线段DF的长．
【分析】（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC＝BE＝8，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．
（2）结论：AD＝AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB＝CF，再证明DA＝DF即可解决问题．
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明AB＝DF+CF，可得结论．
【解答】解：（1）延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5．
（2）结论：AD＝AB+DC．
理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FEC（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴DC+AB＝AD．
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AB∥CF，
∴∠BAE＝∠G，
在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC（AAS），
∴AB＝GC，
∵∠EDF＝∠BAE，
∴∠FDG＝∠G，
∴FD＝FG，
∴AB＝DF+CF，
∵AB＝5，CF＝2，
∴DF＝AB﹣CF＝3．
【点评】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC＝3，AD＝4．则AB的长不可能是（ ）
A.5 B.7 C.8 D.9