2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)5.1导数的概念及其意义(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)5.1导数的概念及其意义(精讲)(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了定义，平均变化率的几何意义等内容，欢迎下载使用。

第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求物体运动的平均速度及瞬时速度
角度1：平均速度
角度2：瞬时速度
重点题型二：求解曲线在某点处的切线斜率
重点题型三：函数的平均变化率和瞬时变化率
重点题型四：导数定义的理解与应用
重点题型五：导数几何意义的应用
角度1：求切线方程（在型，过型）
角度2：根据切线斜率求切点坐标
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：函数的平均变化率
1、定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为
2、求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即.
3、平均变化率的几何意义
平均变化率如图：表示直线的斜率。
知识点二：函数在处的导数（瞬时变化率）
1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
2、定义法求导数步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
知识点三：导数的几何意义
如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率
知识点四：曲线的切线问题
1、在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2、过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·全国·高二课时练习）某物体的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（ ）
A．0m/sB．1m/sC．2m/sD．3m/s
2．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，若，则__________.
3．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为，则实数m的值为__________．
4．(2023·河南·郑州四中高三阶段练习（文））如图，已知直线l是曲线在处的切线，则的值为___________．
5．(2023·全国·高二单元测试）试求过点且与曲线相切的直线的斜率．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求物体运动的平均速度及瞬时速度
角度1：平均速度
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离（米）与时间（秒）的关系为，则该物体在运动前2秒的平均速度为（ ）
A．18米/秒B．13米/秒C．9米/秒D．米/秒
例题2．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ）
A．2B．1C．D．
例题3．(2023·全国·高二课时练习）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离(单位：)与时间(单位：s)之间的函数关系为，则：
（1）前内球的平均速度为________m/s；
（2）在这段时间内球的平均速度为________m/s.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高二期末）已知自由落体的物体的运动方程为，求：
(1)物体在到这段时间内的平均速度；
角度2：瞬时速度
典型例题
例题1．(2023·西藏·拉萨中学高二阶段练习（理））某物体做直线运动，其运动规律是（时间的单位：，位移的单位：），则它在4s末的瞬时速度为（ ）.
A．m/sB．m/sC．m/sD．m/s
例题2．(2023·湖南·高二课时练习）将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第时，原油的温度（单位：℃）为.计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
例题3．(2023·江苏·高二课时练习）已知函数．
(1)函数在区间，，上的平均变化率各是多少？
(2)函数在处的瞬时变化率是多少？
同类题型归类练
1．(2023·北京大兴·高二期中）一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高二课时练习）若一物体运动方程如下（位移单位：，时间单位：
求：
(1)物体在内的平均速度；
(2)物体的初速度；
(3)物体在时的瞬时速度.
重点题型二：求解曲线在某点处的切线斜率（倾斜角）
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
例题2．(2023·河南开封·高二期末（文））设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
例题3．(2023·全国·高二课时练习）设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．10B．3C．6D．8
例题4．(2023·湖南·高二课时练习）设是曲线上一点，求曲线在点处切线的斜率.
同类题型归类练
1．(2023·山东·文登新一中高二期中）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．2
2．(2023·全国·高二课时练习）曲线在点处的斜率为（ ）
A．B．C．2D．4
3．(2023·全国·高二课时练习）设，若，则（ ）.
A．2B．-2C．3D．不确定
重点题型三：平均变化率和瞬时变化率
典型例题
例题1．(2023·北京丰台·高二期中）当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A．1.21B．0.21C．2.1D．12.1
例题2．(2023·全国·高二课时练习）函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
例题3．(2023·山东·巨野县实验中学高二阶段练习）若函数，当时，平均变化率为2，则等于（ ）
A．B．2C．3D．1
例题4．(2023·广东·南海中学高二期中）设，则（ ）
A．B．C．4D．8
同类题型归类练
1．(2023·北京·北理工附中高二阶段练习）已知函数，则在以和为端点闭区间上的平均变化率为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高二课时练习）函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·全国·高二课时练习）一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则时的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二期中（理））函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ）
A．B．1C．2D．
重点题型四：导数定义的理解与应用
典型例题
例题1．(2023·北京市房山区房山中学高二期中）函数的图象如图所示，则 与的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．(2023·全国·高二课时练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题3．(2023·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（ ）
A．B．
C．D．
同类题型归类练
1．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））已知函数的图像如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·江苏·高二课时练习）如图，求，并估计．
重点题型五：导数几何意义的应用
角度1：求切线方程（在型，过型）
典型例题
例题1．(2023·江苏南通·高二阶段练习）已知函数图像上两点、.
(1)若割线的斜率不大于，求的范围；
(2)用导数的定义求函数在处的导数，并求在点处的切线方程．
例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知曲线．求：
（1）曲线上横坐标为1的点处的切线方程；
例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若函数的图象为曲线，过点作曲线的切线，求切线的方程．
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二专题练习）已知曲线C：y＝x3＋.求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．
2．(2023·全国·高二课时练习）试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率以及切线方程．
3．(2023·全国·高二课时练习）求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程.
4．(2023·全国·高二课时练习）求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程.
5．(2023·全国·高二专题练习）试求过点且与曲线相切的直线方程．
角度2：根据切线斜率求切点坐标
典型例题
例题1．（多选）(2023·全国·高二专题练习）（多选）已知曲线在点处的切线平行于直线，那么点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
同类题型归类练
2．(2023·全国·高二课时练习）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为______．
5.1导数的概念及其意义（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求物体运动的平均速度及瞬时速度
角度1：平均速度
角度2：瞬时速度
重点题型二：求解曲线在某点处的切线斜率
重点题型三：函数的平均变化率和瞬时变化率
重点题型四：导数定义的理解与应用
重点题型五：导数几何意义的应用
角度1：求切线方程（在型，过型）
角度2：根据切线斜率求切点坐标
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：函数的平均变化率
1、定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为
2、求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即.
3、平均变化率的几何意义
平均变化率如图：表示直线的斜率。
知识点二：函数在处的导数（瞬时变化率）
1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
2、定义法求导数步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
知识点三：导数的几何意义
如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率
知识点四：曲线的切线问题
1、在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2、过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．(2023·全国·高二课时练习）某物体的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（ ）
A．0m/sB．1m/sC．2m/sD．3m/s
答案：D
【详解】该物体在时间段上的平均速度为，当无限趋近于0时，无限趋近于3，即该物体在s时的瞬时速度为3m/s．
故选：D
2．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，若，则__________.
答案：
【详解】依题意，.
故答案为：
3．(2023·全国·高二课时练习）已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为，则实数m的值为__________．
答案：
【详解】解：根据题意，函数在区间上的平均变化率为：


解得：
故答案为：2.
4．(2023·河南·郑州四中高三阶段练习（文））如图，已知直线l是曲线在处的切线，则的值为___________．
答案：
【详解】由已知，所以．
故答案为：．
5．(2023·全国·高二单元测试）试求过点且与曲线相切的直线的斜率．
答案：或6
【详解】设切点坐标为，则有．
因为，所以．
切线方程为，将点代入，得，
所以，得或．
当时，；当时，．
所以所求直线的斜率为或6．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：求物体运动的平均速度及瞬时速度
角度1：平均速度
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离（米）与时间（秒）的关系为，则该物体在运动前2秒的平均速度为（ ）
A．18米/秒B．13米/秒C．9米/秒D．米/秒
答案：C
【详解】∵，
∴该物体在运动前2秒的平均速度为（米/秒）．
故选：C．
例题2．(2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ）
A．2B．1C．D．
答案：A
【详解】，，
因为物体在这段时间内的平均速度为，
所以，解得，
故选：A
例题3．(2023·全国·高二课时练习）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离(单位：)与时间(单位：s)之间的函数关系为，则：
（1）前内球的平均速度为________m/s；
（2）在这段时间内球的平均速度为________m/s.
答案： 8 12
【详解】第一空：由题设知，Δt＝3 s，Δh＝h(3)－h(0)＝24(m)，
即平均速度为v＝＝＝8(m/s).
第二空：由题设知，Δt＝3－2＝1(s)，Δh＝h(3)－h(2)＝12(m)，
即平均速度为v＝＝12(m/s).
故答案为：8；12.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二课时练习）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】由题意得，，由题图易知，
∴，
故选：C.
2．(2023·全国·高二期末）已知自由落体的物体的运动方程为，求：
(1)物体在到这段时间内的平均速度；
答案：(1)
(1)解：物体在到这段时间内路程的增量，因此，物体在这段时间内的平均速度
角度2：瞬时速度
典型例题
例题1．(2023·西藏·拉萨中学高二阶段练习（理））某物体做直线运动，其运动规律是（时间的单位：，位移的单位：），则它在4s末的瞬时速度为（ ）.
A．m/sB．m/sC．m/sD．m/s
答案：B
【详解】∵，
，
∴.
故选：B.
例题2．(2023·湖南·高二课时练习）将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第时，原油的温度（单位：℃）为.计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
答案：答案见解析
【详解】在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为：
，
其意义表示当x＝2 h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，在第2 h附近，原油温度大约以的速率下降.
在第6 h时，原油温度的瞬时变化率为：
，
其意义表示当x＝6 h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，在第6 h附近，原油温度大约以的速率上升.
例题3．(2023·江苏·高二课时练习）已知函数．
(1)函数在区间，，上的平均变化率各是多少？
(2)函数在处的瞬时变化率是多少？
答案：(1)，，；
(2)
(1)
解：因为，
所以， ，，，
该函数在区间上的平均变化率为，
在区间上的平均变化率为，
在区间上的平均变化率为
(2)
解：函数在处的瞬时变化率为
同类题型归类练
1．(2023·北京大兴·高二期中）一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【详解】由题意可知时小球的瞬时速度为.
故选：B.
2．(2023·全国·高二课时练习）若一物体运动方程如下（位移单位：，时间单位：
求：
(1)物体在内的平均速度；
(2)物体的初速度；
(3)物体在时的瞬时速度.
答案：(1)
(2)
(3)
（1）解：由已知在时，其时间变化量为，
其位移变化量为，
故所求平均速度为；
（2）解：求物体的初速度，即求物体在时的瞬时速度.
因为物体在附近位移的平均变化率为
所以物体在处位移的瞬时变化率为，
即物体的初速度.
（3）解：因为物体在附近位移的平均变化率为
，
故物体在时的瞬时速度为，即物体在时的瞬时速度为．
重点题型二：求解曲线在某点处的切线斜率（倾斜角）
典型例题
例题1．(2023·全国·高二课时练习）曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】∵，
∴．又切线的倾斜角的范围为，
∴所求倾斜角为．
故选：C
例题2．(2023·河南开封·高二期末（文））设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】因为，
所以，则曲线在点处的切线斜率为，
故所求切线的倾斜角为.
故选：C
例题3．(2023·全国·高二课时练习）设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．10B．3C．6D．8
答案：A
【详解】因为，所以，
即，
因此曲线在点处的切线的斜率为.
故选：A.
例题4．(2023·湖南·高二课时练习）设是曲线上一点，求曲线在点处切线的斜率.
答案：
【详解】，
，
当无限趋近于0时，无限趋近于
所以曲线在点P处切线的斜率.
同类题型归类练
1．(2023·山东·文登新一中高二期中）设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．2
答案：A
【详解】解：因为存在导函数且满足，
所以，即曲线上的点处的切线的斜率为，
故选：A.
2．(2023·全国·高二课时练习）曲线在点处的斜率为（ ）
A．B．C．2D．4
答案：A
【详解】因为，
所以.
故选：A.
3．(2023·全国·高二课时练习）设，若，则（ ）.
A．2B．-2C．3D．不确定
答案：A
【详解】因为，所以.
故选：A.
重点题型三：平均变化率和瞬时变化率
典型例题
例题1．(2023·北京丰台·高二期中）当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A．1.21B．0.21C．2.1D．12.1
答案：C
【详解】△，
△．
所以函数的平均变化率为．
故选：C
例题2．(2023·全国·高二课时练习）函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
答案：A
【详解】，
.
由题意，知，所以.
故选：A.
例题3．(2023·山东·巨野县实验中学高二阶段练习）若函数，当时，平均变化率为2，则等于（ ）
A．B．2C．3D．1
答案：D
【详解】由题得，
所以
故选：D.
例题4．(2023·广东·南海中学高二期中）设，则（ ）
A．B．C．4D．8
答案：C
【详解】
故选：C
同类题型归类练
1．(2023·北京·北理工附中高二阶段练习）已知函数，则在以和为端点闭区间上的平均变化率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【详解】，,
该函数在区间，上的平均变化率为:
,
故选：．
2．(2023·全国·高二课时练习）函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【详解】函数在区间上的平均变化率等于
故选：C
3．(2023·全国·高二课时练习）一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则时的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【详解】∵，
∴
故选：D
4．(2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二期中（理））函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ）
A．B．1C．2D．
答案：B
【详解】函数在区间上的平均变化率等于，
在时的瞬时变化率为，
所以，解得.
故选：B
重点题型四：导数定义的理解与应用
典型例题
例题1．(2023·北京市房山区房山中学高二期中）函数的图象如图所示，则 与的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：A
【详解】解：由图可知，且；
故选：A
例题2．(2023·全国·高二课时练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：B
【详解】由图象可知在上单调递增
故，即
故选：B
例题3．(2023·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【详解】由f(x)的图象可知，函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快，由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，故符合题意的只有选项A.
故选：A.
同类题型归类练
1．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（文））已知函数的图像如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【详解】由题图可知函数的图像在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数，所以.
的斜率为，其比在处的切线的斜率小，但比在处的切线的斜率大，所以.
故选:B
2．(2023·江苏·高二课时练习）如图，求，并估计．
答案：，
【详解】解：由题意得，解得，所以，则，由图可估计为函数在处的切线，所以；
重点题型五：导数几何意义的应用
角度1：求切线方程（在型，过型）
典型例题
例题1．(2023·江苏南通·高二阶段练习）已知函数图像上两点、.
(1)若割线的斜率不大于，求的范围；
(2)用导数的定义求函数在处的导数，并求在点处的切线方程．
答案：(1)
(2)
(1)解：，
因为割线AB的斜率不大于，
所以，解得，
又，
所以的范围为；
(2)解：，
又，
所以点A处的切线方程为，
即.
例题2．(2023·全国·高二课时练习）已知曲线．求：
（1）曲线上横坐标为1的点处的切线方程；
答案：（1）；
【详解】（1）将代入曲线的方程，得
切点为
过点的切线方程为，
即；
例题3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若函数的图象为曲线，过点作曲线的切线，求切线的方程．
答案：（1） y＝3x－2；（2）y＝0或y＝3x－2.
【详解】解：（1）由导函数的概念，得
＝
＝
＝
＝
＝ [3x(x＋Δx)＋(Δx)2]
＝3x2，
又＝3，，
所以函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2；
（2）设切点为，则由第一问得切线的斜率为k＝，
切线方程为，即.
因为切线过点P(，0)，
所以，
解得x0＝0或x0＝1，
从而切线方程为y＝0或y＝3x－2.
同类题型归类练
1．(2023·全国·高二专题练习）已知曲线C：y＝x3＋.求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．
答案：4x－y－4＝0
【详解】将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)．
因为y＝x3＋，
所以
∴
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
2．(2023·全国·高二课时练习）试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率以及切线方程．
答案：当斜率为时切线方程为；斜率为时切线方程为.
【详解】设切点为，则.
因为，所以
故切线方程为：，
故，整理得到：，
解得或，
当时，斜率为且切线方程为：即；
当时，斜率为且切线方程为：即；
3．(2023·全国·高二课时练习）求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程.
答案：y＝2.
【详解】由＝＝Δx，
可得切线的斜率为k＝Δx＝0.
所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2.
4．(2023·全国·高二课时练习）求抛物线f(x)＝x2－x在点(2，2)处的切线方程.
答案：3x－y－4＝0.
【详解】因为＝3＋Δx
所以切线的斜率k＝＝ (3＋Δx)＝3.
则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.
5．(2023·全国·高二专题练习）试求过点且与曲线相切的直线方程．
答案：和．
【详解】解：因为，
则，因此．
设过点的直线与曲线相切于点，
根据导数的几何意义知，曲线在点P处的切线的斜率为①，
过点M和点P的切线的斜率②，
由①-②得，解得或，所以或，
因此过点且与曲线相切的直线有两条，方程分别为和，即和．
角度2：根据切线斜率求切点坐标
典型例题
例题1．（多选）(2023·全国·高二专题练习）（多选）已知曲线在点处的切线平行于直线，那么点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【详解】设，
则
，
令，即，解得，
又，
所以P点坐标为或．
故选：BC．
同类题型归类练
2．(2023·全国·高二课时练习）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为______．
答案：或
【详解】易知曲线在点P处的切线的斜率为，设，
因为，
当时，，
所以，则点P的坐标为或．
故答案为：或.