高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)14函数奇偶性的判断、证明与应用(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)14函数奇偶性的判断、证明与应用(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了定义法，性质法，分类讨论法，配凑法，比较函数值的大小等内容，欢迎下载使用。

考法一：函数奇偶性的判定与证明
1.定义法
判断函数的奇偶性时，必须先判断函数定义域是否关于原点对称.若对称，再验证
=±或其等价形式±=0是否成立.具体做法如下
第一步，确定函数的定义域.
第二步，判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数，若对称，进行第三步.
第三步，判断与的关系，并确定结论.
若=，则该函数是偶函数；
若=-，则该函数是奇函数；
若≠且≠-，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数；
若=且=-，则该函数既是奇函数也是偶函数.
2.性质法
(1)如果一个函数可以写成两个常见函数的和、差、积、商形式，那么可以根据这两个函数的奇偶性直接判断出这个函数的奇偶性.
(2)复合函数的奇偶性原理:有偶则偶，同奇为奇.
3.分类讨论法
判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点通过分类讨论进行判断.
4.配凑法
判断或证明抽象函数的奇偶性，需要利用已知条件找准方向，巧妙赋值，配凑出f(-x)与f(x)的关系，再利用奇函数、偶函数的定义加以判断.
考法二：函数的奇偶性的应用
1.求函数值
利用函数的奇偶性求函数值时，要注意:若函数是奇函数，则=-；若函数是偶函数，则==.
2.求函数解析式
利用函数的奇偶性求函数解析式的步骤
(1)将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围.
(2)将转化后的自变量代入已知解析式.
(3)利用函数的奇偶性求出解析式.
3.求参数
在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足=-或偶函数满足=列等式，根据等式两侧对应项相等确定参数的值.
4.求不等式的解集
已知函数的奇偶性以及它的部分图象求解有关不等式的解集时，可以根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，画出函数的图象，结合图象求解相关不等式的解集.
5.比较函数值的大小
根据函数奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为与的相等或相反关系，体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.
探究一：利用函数奇偶性求函数解析式
已知是奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
利用函数为奇函数求在上的解析式即可。
【变式练习】
1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
2．定义在上的奇函数，当时，，则在时的( )
A．B．C．D．
探究二：利用函数奇偶性求参数
若函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．1
思路分析：
根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案。
【变式练习】
1．已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知定义在R上的偶函数．若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．9B．5C．25D．
探究三：利用函数奇偶性解不等式
已知，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
由函数为偶函数可得，再由函数单调性建立不等式求解即可。
【变式练习】
1．已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
2．若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
探究四：利用函数奇偶性比较大小
定义在上的偶函数满足：对任意的有则（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：
由题意可知在递减，结合偶函数，即可得到结果。
【变式练习】
1．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．下列函数是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．，
2．已知对任意都有，且与都是奇函数，则在上有（ ）
A．最大值B．最小值
C．最大值D．最小值
3．下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
5．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数是奇函数B．函数的值域是
C．函数在R上是增函数D．方程有实根
6．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ）
A．B．C．D．
7．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数是偶函数，且函数的图像关于点对称，当时，，则（ ）
A．B．C．0D．2
二、填空题
9．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则______．
10．函数是定义在上的奇函数，，当时，，不等式的解集为__________.
11．已知偶函数的定义域为，且图象是连续不断的，若，，当时，有，则满足不等式的实数a的取值范围是________．
12．若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为__________
13．定义在R上的函数是减函数，的图象关于成中心对称，若s，t满足不等式，则当时，的取值范围是______.
14．已知函数．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是________．
三、解答题
15．已知是奇函数，且.
(1)求实数的值．
(2)判断函数在上的单调性，并加以证明．
(3)求的最大值．
16．函数，
(1)若在上是奇函数，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）
17．设函数，．
(1)某同学认为，无论实数a取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．
(2)若是偶函数，求实数a的值．
(3)在（2）的情况下，恒成立，求实数m的取值范围．
18．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
19．设函数，，令函数．
(1)若函数为偶函数，求实数a的值；
(2)若，求函数在区间上的最大值；
(3)试判断：是否存在实数a，b，使得当时，恒成立，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)求证：在上是减函数；
(3)若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
常考题型14 函数奇偶性的判断、证明与应用
考法一：函数奇偶性的判定与证明
1.定义法
判断函数的奇偶性时，必须先判断函数定义域是否关于原点对称.若对称，再验证
=±或其等价形式±=0是否成立.具体做法如下
第一步，确定函数的定义域.
第二步，判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数，若对称，进行第三步.
第三步，判断与的关系，并确定结论.
若=，则该函数是偶函数；
若=-，则该函数是奇函数；
若≠且≠-，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数；
若=且=-，则该函数既是奇函数也是偶函数.
2.性质法
(1)如果一个函数可以写成两个常见函数的和、差、积、商形式，那么可以根据这两个函数的奇偶性直接判断出这个函数的奇偶性.
(2)复合函数的奇偶性原理:有偶则偶，同奇为奇.
3.分类讨论法
判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点通过分类讨论进行判断.
4.配凑法
判断或证明抽象函数的奇偶性，需要利用已知条件找准方向，巧妙赋值，配凑出f(-x)与f(x)的关系，再利用奇函数、偶函数的定义加以判断.
考法二：函数的奇偶性的应用
1.求函数值
利用函数的奇偶性求函数值时，要注意:若函数是奇函数，则=-；若函数是偶函数，则==.
2.求函数解析式
利用函数的奇偶性求函数解析式的步骤
(1)将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围.
(2)将转化后的自变量代入已知解析式.
(3)利用函数的奇偶性求出解析式.
3.求参数
在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足=-或偶函数满足=列等式，根据等式两侧对应项相等确定参数的值.
4.求不等式的解集
已知函数的奇偶性以及它的部分图象求解有关不等式的解集时，可以根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，画出函数的图象，结合图象求解相关不等式的解集.
5.比较函数值的大小
根据函数奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为与的相等或相反关系，体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.
探究一：利用函数奇偶性求函数解析式
已知是奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
利用函数为奇函数求在上的解析式即可。
【解析】在上有，
∴，又是奇函数，
∴，故.
故选：C.
答案：C
【变式练习】
1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，
即，解得，
当时，，当时，，
则，
因为是奇函数，
所以．
故选：．
2．定义在上的奇函数，当时，，则在时的( )
A．B．C．D．
答案：C
【解析】令，则，又当时，，
所以，
又为奇函数，则，
所以.
故选：C．
探究二：利用函数奇偶性求参数
若函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．1
思路分析：
根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案。
【解析】由函数为奇函数，可得，
所以，
所以，化简得恒成立，
所以，即,
经验证，定义域关于原点对称，且满足，故；
故选:A．
答案：A
【变式练习】
1．已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】解：由题得.
因为在上单调递减，并且，
所以，所以或.
故选：D
2．已知定义在R上的偶函数．若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．9B．5C．25D．
答案：B
【解析】因是R上的偶函数，则，即恒成立，
平方整理得：4x(m-1)=0，则有m=1，此时，由正实数a，b满足得，
，当且仅当，即时取“=”，
所以，当时，的最小值为5.
故选：B
探究三：利用函数奇偶性解不等式
已知，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
思路分析：
由函数为偶函数可得，再由函数单调性建立不等式求解即可。
【解析】因为的定义域为,关于原点对称，且，
所以是偶函数，
故由可得，
当时，是增函数，
所以，解得，
故选：B
答案：B
【变式练习】
1．已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因为定义在上的偶函数，则，即是R上的偶函数，
又在上单调递增，则在上单调递减，
，
即，因此，，平方整理得：，解得，
所以原不等式的解集是.
故选：B
2．若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】因为定义在上的偶函数在区间上单调递增，且.
当时，由可得，即，
所以，，解得，此时；
当时，由可得，即，
所以，，解得或，此时.
综上所述，满足不等式的的取值范围是.
故选：D.
探究四：利用函数奇偶性比较大小
定义在上的偶函数满足：对任意的有则（ ）
A．B．
C．D．
思路分析：
由题意可知在递减，结合偶函数，即可得到结果。
【解析】因为满足，对任意的有，
所以在上单调递减
且为偶函数，则
由可得，即
故选:A
答案：A
【变式练习】
1．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由题意可知，故函数是周期函数，且周期为，
则，，，
因为奇函数在区间上是增函数，则该函数在区间上也为增函数，
故函数在区间上为增函数，所以，即.
故选：D.
2．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】为奇函数，
∴，
又∵
∴，，，
又∵，且函数在区间上是增函数，
∴，
∴，，
故选：A.
一、单选题
1．下列函数是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．，
答案：B
【解析】对于A，的定义域为，所以，
所以是奇函数，所以A不正确；
对于B，的定义域为，所以，
所以是偶函数，所以B正确；
对于C，的定义域为，所以，
所以不是偶函数，所以C不正确；
对于D，的定义域为，定义域不关于原点对称，
所以不是偶函数，所以D不正确；
故选：B.
2．已知对任意都有，且与都是奇函数，则在上有（ ）
A．最大值B．最小值
C．最大值D．最小值
答案：D
【解析】令，
因为，与都是奇函数，所以是奇函数，则的图象关于原点对称．
对任意都有，即有最大值，则有最大值，
所以时有最小值，
而的图象是由的图象向上平移个单位得到，
所以在有最小值，
故选：D．
3．下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：对于A：定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误；
对于B：定义域为，则，即为偶函数，故B错误；
对于C：定义域为，则，故为奇函数，故C正确；
对于D：定义域为，则，所以为偶函数，故D错误；
故选：C
4．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为函数是奇函数，所以，
因为，所以，
当时，；
因为当时，，所以
所以.
故选：D.
5．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数是奇函数B．函数的值域是
C．函数在R上是增函数D．方程有实根
答案：D
【解析】对于A，，故是偶函数，，不是奇函数，故A错误，
对于B，当时，，由对勾函数性质知，
而是偶函数，的值域是，故B错误，
对于C，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增，
而是偶函数，故在上单调递减，故C错误，
对于D，当时，，即，解得，故D正确，
故选：D
6．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】图象向右平移2个单位，可得的图象，且是奇函数，
的图象关于点成中心对称，，
图象向右平移1个单位，可得的图象，且是偶函数，
的图象关于直线成轴对称，
由对称性，对称轴直线关于成中心对称的直线为，
对称中心关于直线成轴对称的点为，即.
故选：A.
7．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由题意知，在上单调递减且；由可得或，
则或，解得或.
故选：C.
8．已知函数是偶函数，且函数的图像关于点对称，当时，，则（ ）
A．B．C．0D．2
答案：A
【解析】根据题意，函数是偶函数，则函数的对称轴为，
则有，又由函数的图像关于点成中心对称，
则，则有，则，
则有，则函数是周期为8的周期函数，
则
故选：A．
二、填空题
9．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则______．
答案：0
【解析】解：因为为偶函数，
所以＝，即＝，
所以函数关于对称，所以＝，
又因为为奇函数，
所以＝－，
所以函数关于(1,0)对称，＝－＝－，
即＝－，
所以＝－，＝－＝，
即＝，
所以的周期为4，
在＝－中令 ，得，所以 ，即，
又因为，所以，即，所以，
所以当时，，
所以，
所以，
，
，
，
所以则0.
故答案为：0.
10．函数是定义在上的奇函数，，当时，，不等式的解集为__________.
答案：
【解析】解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
因为当时，，
所以，解得，
所以当时，，
当时，
所以由二次函数的性质得时，函数单调递减，在上单调递减
易知
当时，原不等式，解得；
当时，无实数解；
当，无实数解；
当，即时，原不等式，解得；
当，即时，，，满足题意；
当，即时，，，不满足题意.
综上，原不等式的解集为：
故答案为：
11．已知偶函数的定义域为，且图象是连续不断的，若，，当时，有，则满足不等式的实数a的取值范围是________．
答案：
【解析】令，又因为为偶函数，所以为偶函数，
又，，当时，有，故在上为减函数，所以在上单调递增，
不等式等价于，
即，所以，解得，即
所以实数a的取值范围是
故答案为：．
12．若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为__________
答案：
【解析】设，
∵对任意的两个正数，都有，即，
∴在上单调递减，又是定义在上的奇函数，
∴是定义在上的偶函数，
由得，即，
∴，又，
故的解集为.
故答案为：.
13．定义在R上的函数是减函数，的图象关于成中心对称，若s，t满足不等式，则当时，的取值范围是______.
答案：
【解析】因为的图象关于中心对称，所以的图象关于中心对称，
所以为奇函数，所以由得，
又因为函数是R上的减函数，
所以，化简得.
又，所以，
所以，而，故.
故答案为：.
14．已知函数．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是________．
答案：
【解析】函数，若存在使得不等式成立，
令，
，
所以，为奇函数．
不等式，即，
即，
所以，
因为在上为增函数，在上为增函数，
所以在上为增函数，
由奇函数的性质可得在上为增函数，所以不等式等价于，分离参数可得，
令，，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
（1），（4），所以，，
所以由题意可得，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题
15．已知是奇函数，且.
(1)求实数的值．
(2)判断函数在上的单调性，并加以证明．
(3)求的最大值．
答案：(1)，；
(2)在上为减函数，证明见解析；
(3)．
【解析】（1）是奇函数，．
，，，
又，
解得：.
所以.
（2）在上为减函数，
证明如下：由（1）知，
令，则的单调性和的单调性相反，
设，
则，
，，，
，即，
在上为增函数，
则在上为减函数；
（3）由（1）（2）结合计算可知：
在上递减，在上递增，
在上递增，在上递减．
又当时，，且，
．
16．函数，
(1)若在上是奇函数，求的值；
(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）
答案：(1)0
(2)最大值8，最小值0
(3)
【解析】（1）因为在上是奇函数，
所以恒成立，即恒成立.
所以恒成立，
所以.
（2）当时，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的值得范围为，其中时，，
函数在上单调递增，
所以函数在上的值域为，其中当时，；
所以当时，，当时，.
（3）
因为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在上单调递增，
当时，
当时，令，可得
因为当，时，函数既有最大值又有最小值，
所以.
17．设函数，．
(1)某同学认为，无论实数a取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．
(2)若是偶函数，求实数a的值．
(3)在（2）的情况下，恒成立，求实数m的取值范围．
答案：(1)该同学的观点正确，理由见解析
(2)0
(3)
【解析】（1）该同学的观点正确，理由如下：，．
若为奇函数，则有，∴．
显然无实数解，∴不可能是奇函数．
（2）若为偶函数，则有，
∴，即．∴，
此时，是偶函数．∴实数a的值为0．
（3）由（2）知，其图象如图所示：
由图象，知，∴，解得．
∴实数m的取值范围为．
18．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
(1)求当x＞0时，函数的解析式；
(2)解不等式．
答案：(1)
(2)
【解析】（1）由为奇函数，得．当x＞0时，，
故，
故当x＞0时，．
（2）由，得，
故或．
如图所示，画出函数的图象．

由图易得的解集为（0，2），的解集为，
故不等式的解集为．
19．设函数，，令函数．
(1)若函数为偶函数，求实数a的值；
(2)若，求函数在区间上的最大值；
(3)试判断：是否存在实数a，b，使得当时，恒成立，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)答案见解析
(3)
【解析】（1）解：因为为偶函数，
则，即，
所以对任意恒成立，所以；
（2）解：当时，，对称轴为，
设函数在区间上的最大值为，
又，，，
所以；
（3）解：由题意可得，，又，
对称轴为，
当，时，恒成立，等价于，
当，即时，函数在区间，上单调递增，
所以有，
因为且，
所以，与矛盾；
当，即时，在区间，上单调递减，
所以有，
因为，
所以，
故，与矛盾；
当，即时，
则有，
由①可得，结合②可得，
由①③可得，，又，
所以，即，
再结合①，则有，
解得，此时存在满足条件，
综上所述，的取值范围为，此时．
20．定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)求证：在上是减函数；
(3)若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．
答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3).
【解析】（1）令，，得，所以．令，得，即，所以函数是奇函数．
（2）设，则，所以．
因为，，，所以，即，所以．
又，所以，所以，
所以，即．所以在上是减函数．
（3）由（2）知函数在上是减函数，
所以当时，函数的最大值为，
所以对任意，恒成立等价于对任意恒成立，即对任意恒成立．
设，是关于a的一次函数，，
要使对任意恒成立，
所以，即，解得或，
所以实数t的取值范围是．
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称