广东省广州市南海中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题(原卷版+解析)

这是一份广东省广州市南海中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：120分钟满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在空间直角坐标系，点关于xOy平面的对称点B的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
2. 已知向量，单位向量满足，则，的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，空间四边形中，，点M在上，且，N为中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. 若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（ ）
A. 平行B. 垂直C. 相交不垂直D. 重合
5. 方程表示的曲线是（ ）．
A. B.
C. D.
6. 经过圆的圆心C，且与直线2x+3y-4=0平行的直线方程为（ ）
A. 2x+3y+3=0B. 2x+3y-3=0C. 2x+3y+2=0D. 3x-2y-2=0
7. 椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（ ）
A. B. 4C. 6D. 18
8. 椭圆上任一点到点的距离的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ）
A ，，B. ，，
C ，，D. ，，
10. 使方程表示圆实数a的可能取值为（ ）
A. B. 0C. D.
11. 已知圆的一般方程为，则（ ）
A. 圆的圆心为
B. 圆经过原点
C. 圆的半径为25
D. 圆被轴截得的弦长为8
12. 已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 向量，，若与共线，则实数x与y的和为______．
14. 直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为___________
15. 已知一直线的倾斜角为，且，则该直线的斜率的取值范围是______．
16. 已知是椭圆的右焦点，且过点，则椭圆的离心率为______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知圆过点，，.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
18. 己知直线l过定点．
（1）当直线l的倾斜角是直线的倾斜角的二倍时，求直线l方程．
（2）当直线l与x轴正半轴交于A点、y轴正半轴交于B点，且的面积为12时，求直线l的方程．
19. 如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面夹角的余弦值.
20 已知圆，点．
（1）过作圆的切线，求切线方程；
（2）过作直线与圆交于，两点，且，求直线的方程
21. 如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．
（1）求证：平面平面；
（2）点在线段上运动，且，若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的值．
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，M是一个动点，且直线AM，BM的斜率之积是，记M的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）若过点且不与x轴重合直线l与E交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为（与Q不重合），直线与x轴交于点G，求点G的坐标．
广州市南海中学2022学年第一学期
高二级中段考试卷数学
（时间：120分钟满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在空间直角坐标系，点关于xOy平面的对称点B的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
答案：C
【解析】
分析：由空间直角坐标中的点关于面对称求对称点坐标.
详解】由与关于xOy平面对称，且，
所以.
故选：C
2. 已知向量，单位向量满足，则，的夹角为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
【解析】
分析：将模平方后可求数量积，从而可求夹角的大小.
【详解】因为，故，
因此，故即，
故即，故，
而，故，
故选：C.
3. 如图所示，空间四边形中，，点M在上，且，N为中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：B
【解析】
分析：结合空间向量的线性运算即可求出结果.
【详解】,
故选：B.
4. 若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（ ）
A. 平行B. 垂直C. 相交不垂直D. 重合
答案：B
【解析】
分析：根据直线斜率公式，结合两直线位置关系与斜率的关系进行判断即可.
【详解】因为直线经过点，，
所以直线的斜率为：，
又因为，
所以两直线垂直，
故选：B
5. 方程表示的曲线是（ ）．
A. B.
C. D.
答案：A
【解析】
分析：整理得，再根据圆的方程即可得答案.
【详解】解：对两边平方整理得，
所以，方程表示圆心为坐标原点，半径为的圆在轴及下方的部分，A选项满足.
故选：A
6. 经过圆的圆心C，且与直线2x+3y-4=0平行的直线方程为（ ）
A. 2x+3y+3=0B. 2x+3y-3=0C. 2x+3y+2=0D. 3x-2y-2=0
答案：A
【解析】
分析：由圆的方程确定圆心坐标，根据直线平行确定所求直线的斜率，再应用点斜式求直线方程.
【详解】由题设，圆心为，且所求直线的斜率为，
所以直线方程为，整理得.
故选：A
7. 椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（ ）
A. B. 4C. 6D. 18
答案：C
【解析】
分析：依题意求出，再根据椭圆定义判断即可.
【详解】解：对于椭圆，即，所以，则，
即椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和为；
故选：C
8. 椭圆上任一点到点的距离的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
答案：B
【解析】
分析：
设点的坐标为，结合两点间的距离公式，化简得到，即可求解.
【详解】设点的坐标为，其中，
由，可得，
又由，
当时，取得最小值，最小值为.
故选：B.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知，，是不共面三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
答案：BC
【解析】
分析：根据空间向量的基本定理，整理方程组，可得答案.
【详解】对于A，设，令，则，则，则向量共面，故A错误；
对于B，设，令，则，则方程组无解，则向量不共面，故B正确；
对于C，设，令，由，，不共面，则方程不成立，即向量不共面，故C正确；
对于D，设，令，则，则，则向量共面，故D错误；
故选：BC.
10. 使方程表示圆的实数a的可能取值为（ ）
A B. 0C. D.
答案：BC
【解析】
分析：配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a的取值范围.
【详解】，配方得：
，
要想表示圆，则，
解得：，
故选：BC
11. 已知圆的一般方程为，则（ ）
A. 圆的圆心为
B. 圆经过原点
C. 圆的半径为25
D. 圆被轴截得的弦长为8
答案：ABD
【解析】
分析：将圆的一般方程化为标准方程即可判断ABC，再利用弦长公式即可判断D.
【详解】由已知，圆的标准方程为，
所以圆心为，故A正确；
满足圆的方程，故B正确；
圆的半径为5，故C错误；
圆心到x轴的距离为3
圆被轴截得的弦长为，故D正确.
故选：ABD
12. 已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为（ ）
A. B. C. D.
答案：BD
【解析】
分析：由题意得到，再根据,求出，分焦点在x轴和y轴上写出标准方程即可
【详解】解：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以，解得，
又，
所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；
当椭圆的焦㤐在y轴上时，椭圆的标准方程为，
故选：BD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 向量，，若与共线，则实数x与y的和为______．
答案：
【解析】
分析：先由向量平行，得到利用系数对应相等构建关系，即可求出，即得结果
【详解】解：因为与共线，所以存在使得，
因为，，所以，解得，
所以，
故答案为：
14. 直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为___________
答案：##
【解析】
分析：结合题意建立空间直角坐标系，分别求得，的坐标表示，进而利用空间向量数量积运算即可求得与所成角的余弦值.
【详解】由题意，易知面，，故建立空间直角坐标系，如图，
不妨设，则，，，，
则，故，，
设的夹角为，所以.
故答案为：.
15. 已知一直线的倾斜角为，且，则该直线的斜率的取值范围是______．
答案：
【解析】
分析：由倾斜角和斜率的关系进行求解.
【详解】因为直线的倾斜角为，且，
当时，；
当时，；
即该直线的斜率的取值范围是.
故答案为：.
16. 已知是椭圆的右焦点，且过点，则椭圆的离心率为______.
答案：
【解析】
分析：
由右焦点及椭圆所过点坐标列出关于的方程组，解得得离心率．
【详解】由题意，解得，又，∴离心率为．
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知圆过点，，.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
答案：（1）；
（2）或.
【解析】
分析：（1）设圆的方程为，待定系数求解，再转化为标准方程即可；
（2）分直线的斜率存在，不存在两种情况设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径，求解即可.
【小问1详解】
设圆的方程为，则由题意易知：
，解方程组可得，
验证可得：成立，
故所求圆的方程为,
故圆的标准方程为：.
【小问2详解】
因为过点的直线被圆截得的弦长为8，故圆心到直线的距离为3，
分两种情况讨论：
（i）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意；
（ii）当直线的斜率存在时，可设直线方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
综上所述，直线方程为或.
18. 己知直线l过定点．
（1）当直线l的倾斜角是直线的倾斜角的二倍时，求直线l方程．
（2）当直线l与x轴正半轴交于A点、y轴正半轴交于B点，且的面积为12时，求直线l的方程．
答案：（1）
（2）
【解析】
分析：（1）根据已知直线斜率可求得其倾斜角，由此可得所求直线的倾斜角和斜率，利用点斜式即可整理得到直线方程；
（2）设直线方程的截距式方程,由直线过点(2，3)及的面积列方程组求得两截距.
【小问1详解】
直线的斜率为，
则该直线倾斜角为，
又所求的直线倾斜角为时，它的斜率为，
所以所求直线方程为，
即：；
【小问2详解】
设直线方程为：，则 ①；
∴的面积为 ②，
由①②解得：；
所以所求的直线方程为即．
19. 如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面夹角的余弦值.
答案：（1）见解析 （2）
【解析】
分析：（1）连接通过三角形中位线与底边关系即可证明.
（2）根据题意建立建立空间直角坐标系，找出的方向向量，平面的法向量，利用向量关于线面角公式即可计算的出答案.
【小问1详解】
如图连接
⸪为的中点，为的中点
⸫为中位线
⸫
⸪，
⸫平面
【小问2详解】
⸪，⸫
⸪垂直于梯形所在的平面，⸫
如图建立以为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴的空间直角坐标系.
，，，
，，
设平面法向量为，
，令，则，，故
综上，直线与平面夹角的余弦值为:
20. 已知圆，点．
（1）过作圆的切线，求切线方程；
（2）过作直线与圆交于，两点，且，求直线的方程
答案：（1）或
（2）或
【解析】
分析：（1）根据题意，设所求切线方程为，再根据圆心到直线的距离为半径列式解方程即可求解；
（2）根据题意得圆心到直线的距离为，进而设直线的方程为，再根据圆心到直线的距离为半径列式解方程即可求解；
【小问1详解】
解：由题知圆，即圆心为，半径为，
因为，所以点在圆外，
所以，当切线斜率不存在时，方程为，此时与圆相交，不满足题意；
故设所求切线的斜率为，方程为，
因为与圆相切，
所以，，即，解得，
所以，所求切线方程为或
【小问2详解】
因为，所以圆心到直线的距离为，
当切线斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为1，不满足题意；
所以，设直线的方程为，
所以，，即，解得或，
所以，直线的方程为或
21. 如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．
（1）求证：平面平面；
（2）点在线段上运动，且，若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的值．
答案：（1）证明见解析；
（2）﹒
【解析】
分析：(1)证明△ABC是直角三角形得AB⊥AC，再结合面面垂直性质可得AB⊥平面平面，由此即可证明平面平面；
(2)以点A为坐标原点，分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量法即可求解．
【小问1详解】
∵，∴．
在中，，，则根据余弦定理易得，
∴，∴．
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴平面平面；
【小问2详解】
∵四边形为矩形，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面．
以点A为坐标原点，分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
设平面的法向量，
则，即，取
由题意可知，AC⊥CD，AC⊥CE，则AC⊥平面ECD，
则平面的一个法向量，
设平面与平面所成的锐二面角为θ，则，
则，，解得，
∵，∴．
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，，M是一个动点，且直线AM，BM的斜率之积是，记M的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）若过点且不与x轴重合的直线l与E交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为（与Q不重合），直线与x轴交于点G，求点G的坐标．
答案：（1）
（2）
【解析】
分析：（1）设，则可表示出AM，BM的斜率，再利用其乘积为列方程化简可得E的方程；
（2）由题意知，过点F的直线PQ的斜率存在且不为0，可设其方程为，设，，则，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，表示出直线的方程，令，结合前面的式子化简可求出的值，从而可得结果
【小问1详解】
设，则直线AM的斜率为，直线BM的斜率为，
∴，整理得，
故E的方程为．
【小问2详解】
由题意知，过点F的直线PQ的斜率存在且不为0，可设其方程为，
设，，则，
将代入，得．
则，
∴，．
则直线方程为，
令，则
，
∴点G的坐标为．