2024陕西师大附中高一期末数学综合测试卷解析版

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）【详解】【答案】(1)或
(2)选条件①，，，选条件②，，
【分析】（1）先用正弦定理求出角A；
（2）选条件①：先判断出，分别求出，利用两角和的余弦公式即可求出，再用余弦定理求出a；选条件②：先判断出，分别求出，利用两角和的余弦公式即可求出，再用正弦定理求出a．
【详解】（1）△ABC中，因为，所以，
由正弦定理得：，所以，
且，所以或.
（2）选条件①：，则，所以（舍去）.
此时，，，，
所以.
即，
由余弦定理得：，
即，解得：（舍去）．
选条件②：.
因为，所以，所以（舍去）.
此时，，，，
所以，
即.所以，
由正弦定理得：，
即，即.
.
16．（15分）【详解】（1）△ABC中，因为，所以，
由正弦定理得：，所以，
且，所以或.
（2）选条件①：，则，所以（舍去）.
此时，，，，
所以.
即，
由余弦定理得：，
即，解得：（舍去）．
选条件②：.
因为，所以，所以（舍去）.
此时，，，，
所以，
即.所以，
由正弦定理得：，
即，即.
17．（15分）【详解】【详解】（1）由题意知，所以，解得，
又，解得．
所以，，
（2）成绩落在内的频率为：，
落在内的频率为：，
设第80百分位数为m，则，
解得，所以晋级分数线划为78分合理．
（3），故：．
又，，
剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，，
平均数与标准差分别为，，
则剩余8个分数的平均数：；
方差：．
18．（17分）【详解】（1）第一局由乙丙对战，甲获胜有两种情况：
①乙丙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜，则概率为
②乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，甲乙对战甲胜，则概率为
综上，甲获胜的概率为.
（2）若第一局乙丙对战，由（1）知甲获胜的概率为
若第一局甲乙对战，则甲获胜有三种情况：
①甲乙对战甲胜，甲丙对战甲胜，概率为，
②甲乙对战甲胜，甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜的概率为，
③甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜，乙甲对战甲胜的概率为，
所以最终甲获胜的概率为；
若第一局甲丙对战，则甲获胜也有三种情况：
①甲丙对战甲胜，甲乙对战甲胜的概率为，
②甲丙对战甲胜，甲乙对战乙胜，乙丙对战丙胜，丙甲对战甲胜的概率为，
③甲丙对战丙胜，丙乙对战乙胜，乙甲对战甲胜，甲丙对战甲胜的概率为，
所以最终甲获胜的概率为，
因为，
所以第一局甲乙对战才能使甲获胜的概率最大．
19．（17分）【详解】（1），
（2），理由如下：
由（1）可知，又，，
所以，
因为点是△ABO重心， 所以，
而，不共线，所以，解得，
所以；
（3），
由（2）知，
所以，
由点、分别是边、上的动点，为重心且、、三点共线，
所以，，则，
设，则，，
因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
当时，即，，有最小值，最小值为，
时，即，，，当时，即，，，
所以的最大值为，
所以.
1
2
3
4
5
6
7
8
C
C
D
D
A
A
C
B
9
10
11
ABC
AD
AC