2024河南中考数学全国真题分类卷 第十三讲 三角形(含答案)

这是一份2024河南中考数学全国真题分类卷 第十三讲 三角形(含答案)，共23页。试卷主要包含了 下列多边形具有稳定性的是等内容，欢迎下载使用。

1. (2023永州)下列多边形具有稳定性的是( )
2. (2023邵阳)下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是( )
A. 1 cm，2 cm，3 cm B. 3 cm，4 cm，5 cm
C. 4 cm，5 cm，10 cm D. 6 cm，9 cm，2 cm
3. (2023河北)平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形(如图所示)，则d可能是( )
第3题图
A. 1 B. 2 C. 7 D. 8
4. (2023德阳)八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是 5 km和 3 km.那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是( )
A. 1 km B. 2 km C. 3 km D. 8 km
5. (2022盐城)将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为( )
第5题图
A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°
6. (2022陕西)如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为( )
第6题图
A. 60° B. 70° C. 75° D. 85°
7. (2023湘潭)如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB，OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝________．
第7题图
8. (新趋势)·注重学习过程 (2023北京)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
源自人教八上P12例题
命题点2 三角形中的重要线段
类型一 与中点有关的问题
9. (2023眉山)在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点 D，E，F分别为边 AB，BC，AC的中点，则△DEF的周长为( )
A. 9 B. 12 C. 14 D. 16
10. (2023南充)数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC，BC两边中点的距离DE为10 m(如图)，则A，B两点的距离是________m.
第10题图
11. (2023常州)如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是________．
第11题图
类型二 与角平分线有关的问题
12. (新考法)·结合折叠考查角平分线的概念 (2023河北)如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的( )
第12题图
A. 中线 B. 中位线 C. 高线 D. 角平分线
13. (2023北京)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝________．
第13题图
14. (2023温州)如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.
(1)求证：∠EBD＝∠EDB；
(2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
第14题图
类型三 与高线有关的问题
15. (2023杭州)如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )
第15题图
A. 线段CD是△ABC的AC边上的高线
B. 线段CD是△ABC的AB边上的高线
C. 线段AD是△ABC的BC边上的高线
D. 线段AD是△ABC的AC边上的高线
16. (2023玉林)请你量一量如图△ABC中BC边上的高的长度，下列最接近的是( )
第16题图
A. 0.5 cm B. 0.7 cm C. 1.5 cm D. 2 cm
17. (2022聊城)如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE∶AD∶BF值为________．
第17题图
命题点3 等腰三角形
18. (2023宿迁)若等腰三角形的两边长分别为3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的周长是( )
A. 8 cm B. 13 cm
C. 8 cm或13 cm D. 11 cm或13 cm
19. (2023嘉兴)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是( )
第19题图
A. 32 B. 24 C. 16 D. 8
20. (2023天津)如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是( )
第20题图
A. (5，4) B. (3，4) C. (5，3) D. (4，3)
21. (2023海南)如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于 eq \f(1,2) MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD＝BD，则∠A的度数是( )
第21题图
A. 36° B. 54° C. 72° D. 108°
22. (2023梧州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是( )
第22题图
A. ∠ADC＝90° B. DE＝DF
C. AD＝BC D. BD＝CD
23. (2023湖州)如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连接EB，EC.若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是( )
第23题图
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 eq \r(2)
24. (2022宜宾)如图，在△ABC中，点O是角平分线AD，BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan ∠OBD的值是( )
第24题图
A. eq \f(1,2) B. 2 C. eq \f(\r(6),3) D. eq \f(\r(6),4)
25. (2023云南)已知△ABC是等腰三角形. 若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是________．
26. (2023苏州)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为________．
27. (2022南京)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD.设∠ABC＝α，则∠ADC＝________(用含α的代数式表示).
第27题图
28. (2022长沙)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE.
(1)求证：∠B＝∠ACB；
(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．
第28题图
29. (挑战题) (2020天水)性质探究
如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为________；
理解运用
(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为4＋2 eq \r(3) ，则它的面积为________；
(2)如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH.在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN.若∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长；
类比拓展
顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________(用含α的式子表示).
第29题图
命题点4 等边三角形
30. (2020铜仁)已知等边三角形一边上的高为2 eq \r(3) ，则它的边长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 4 eq \r(3)
31. (2020福建)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是( )
A. 1 B. eq \f(1,2) C. eq \f(1,3) D. eq \f(1,4)
第31题图
32. (2023张家界)如图，点O是等边三角形 ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝ eq \r(3) ，则△AOB与 △BOC的面积之和为( )
第32题图
A. eq \f(\r(3),4) B. eq \f(\r(3),2) C. eq \f(3\r(3),4) D. eq \r(3)
33. (2020台州)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是________．
第33题图
34. (挑战题) (2023朝阳)等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE，若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为________．
35. (2023怀化)如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H.
(1)求证：MP＝NP；
(2)若AB＝a，求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).
第35题图
命题点5 直角三角形
类型一 勾股定理及其应用
36. (2023遵义)如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为( )
A. eq \f(\r(5),5) B. eq \f(2\r(5),5) C. 1 D. 2
第36题图
37. (2022成都)如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为________．
第37题图
38. (2023扬州)在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为________．
39. (新趋势)·数学文化 (2022宿迁)《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C′处(如图)，水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是________尺．
第39题图
类型二 直角三角形的性质及计算
40. (2023沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，点D，E分别是直角边AC，BC的中点，连接DE，则∠CED的度数是( )
第40题图
A. 70° B. 60° C. 30° D. 20°
41. (2023宁波)如图，在Rt△ABC中， D为斜边AC的中点， E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为( )
第41题图
A. 2 eq \r(2) B. 3 C. 2 eq \r(3) D. 4
42. (2023南充)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是( )
第42题图
A. BF＝1 B. DC＝3 C. AE＝5 D. AC＝9
43. (2023梧州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE.如果AB＝5 m，BC＝3 m．那么CD＋DE的长是________m.
第43题图
44. (2022海南)如图， △ABC的顶点B，C的坐标分别是(1, 0)、(0， eq \r(3) )，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是________．
第44题图
45. (2022苏州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF，若∠CFE＝72°，则∠B＝________°.
第45题图
46. (2023德阳)如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB. 若CB＝1，那么CE＝________．
第46题图
47. (2023杭州)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A＝50°，∠ACE＝30°.
(1)求证：CE＝CM；
(2)若AB＝4，求线段FC的长．
第47题图
命题点6 等腰直角三角形
48. (2022宁波)如图，在△ABC中，∠B＝45°， ∠C＝60°，AD⊥BC于点D, BD＝ eq \r(3) .若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )
A. eq \f(\r(3),3) B. eq \f(\r(3),2) C. 1 D. eq \f(\r(6),2)
第48题图
49. (2023桂林)如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若 AC＝2，则 △ABC的面积是( )
第49题图
A. eq \f(3＋\r(2),2) B. 1＋ eq \r(2) C. 2 eq \r(2) D. 2＋ eq \r(2)
50. (2022枣庄)如图，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F.已知EF＝ eq \f(3,2) ，则BC的长是( )
第50题图
A. eq \f(3\r(2),2) B. 3 C. 3 eq \r(2) D. 3 eq \r(3)
51. (2022扬州)如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是( )
第51题图
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
参考答案与解析
1. D 【解析】三角形具有稳定性．
2. B 【解析】A.∵1＋2＝3，∴这三条线段不能构成三角形；B.∵3＋4>5，4－3＜5，∴这三条线段能构成三角形；C.∵4＋5<10，∴这三条线段不能构成三角形；D.∵6＋2<9，∴这三条线段不能构成三角形．
3. C 【解析】如解图，连接EB，BD，在△AEB中，5－1＜a＜5＋1，即4＜a＜6，在△CDB中，1－1＜b＜1＋1，即0＜b＜2，∴在△DEB中，a－b＜d＜a＋b，∴2第3题解图
4. A 【解析】设杨冲家为点A，李锐家为点B，学校为点C，则AC－BC≤AB≤AC＋BC，∵AC＝5 km，BC＝3 km，∴5－3≤AB≤5＋3，即2≤AB≤8，所以杨冲、李锐两家的直线距离不可能是1 km.故选A.
5. C 【解析】∠1＝30°＋45°＝75°.
6. B 【解析】∵∠B＝25°，∠C＝50°，∴∠AEB＝75°，∵∠A＝35°，∴∠1＝180°－∠A－∠AEB＝70°.
7. 40° 【解析】根据反射角等于入射角得∠ODE＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，又∵∠AOB＝120°，根据三角形内角和定理得∠OED＝40°，∴∠AEF＝∠OED＝40°.
8. 方法一：证明：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC.
∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°.
方法二：证明：∵AB∥DC，
∴∠A＝∠ACD，∠B＋∠BCD＝180°，
又∵∠BCD＝∠ACD＋∠BCA，
∴∠A＋∠B＋∠BCA＝180°.
(选择一种即可)
9. A 【解析】根据题意，线段DE，EF，DF是△ABC的三条中位线，根据中位线的性质，得△DEF的周长为 eq \f(4＋6＋8,2) ＝9.
10. 20 【解析】∵D，E两点分别是AC与BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝ eq \f(1,2) AB＝10，∴AB＝20 m.
11. 2 【解析】∵E是AD的中点，∴S△ACD＝2S△ACE＝2，∵AD是△ABC的中线，∴D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ADC＝2.
12. D 【解析】角是轴对称图形，角的对称轴是角平分线所在直线．
13. 1 【解析】∵AD平分∠BAC，∴点D到AB所在直线和AC所在直线的距离相等，∵DE⊥AB，DE＝1，∴DE为点D到AB所在直线的距离，∴点D到AC所在直线的距离h＝DE＝1，∴S△ACD＝ eq \f(1,2) AC·h＝ eq \f(1,2) ×2×1＝1.
14. (1)证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD.
∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB；
(2)解：CD＝ED.理由如下：
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC.
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，
∴AC－AD＝AB－AE，即CD＝BE.
由(1)得∠EBD＝∠EDB，∴BE＝ED，
∴CD＝ED.
15. B 16. D
17. 12∶15∶10 【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，AD与CE交于点O，∴点O为△ABC的垂心，∵BF过点O，∴BF⊥AC，∵S△ABC＝ eq \f(1,2) AB·CE＝ eq \f(1,2) BC·AD＝ eq \f(1,2) AC·BF，∴5CE＝4AD＝6BF，即CE∶AD∶BF＝12∶15∶10.
18. D 【解析】当等腰三角形的腰为3 cm，底为5 cm时，3，3，5能够组成三角形，此时周长为3＋3＋5＝11 cm；当等腰三角形的腰为5 cm，底为3 cm时，3，5，5能够组成三角形，此时周长为5＋5＋3＝13 cm.则这个等腰三角形的周长是11 cm或13 cm.
19. C 【解析】∵EF∥AC，GF∥AB，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AE＝FG，AG＝EF，∵AC＝AB＝8，∴∠B＝∠C，∵AB∥FG，∴∠B＝∠GFC，∴∠GFC＝∠C，∴FG＝GC，∴AC＝AG＋GC＝AG＋FG＝ eq \f(1,2) ×四边形AEFG的周长，∴四边形AEFG的周长＝16.
20. D 【解析】如解图，设AB交x轴于点C，由题意知OC⊥AB.∵OA＝OB，∴AC＝BC＝ eq \f(1,2) AB＝3.由勾股定理，得OC＝ eq \r(OA2－AC2) ＝ eq \r(52－32) ＝4，∴点A的坐标为(4，3).
第20题解图
21. A 【解析】由作图可知，BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，设∠A＝x，则∠ABC＝∠C＝2x，∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，即∠A＝36°.
22. C 【解析】∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，故选项A，D正确；∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，故选项B正确；在△ABC中，AD不一定等于BC，故选项C错误．
23. B 【解析】∴AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝DC，∴AD所在直线为△ABC的对称轴，∵∠EBC＝45°，∴∠ECD＝45°，∴△BEC是等腰直角三角形，∵BC＝6，∴BE＝CE＝3 eq \r(2) ，∴S△EBC＝ eq \f(1,2) BE·CE＝9.
24. A 【解析】如解图，过点O作OF⊥AB于点F，∵点O为角平分线AD，BE的交点，AB＝AC.∴OD⊥BD，∴OF＝OD.在△ABC中，∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BD＝BF＝CD＝ eq \f(1,2) BC＝6，在△ABD中，AD＝ eq \r(AB2－BD2) ＝ eq \r(102－62) ＝8，设OD＝x，则OF＝x，AO＝8－x，AF＝4，在Rt△AFO中，AF2＋OF2＝OA2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∴tan ∠OBD＝ eq \f(OD,BD) ＝ eq \f(3,6) ＝ eq \f(1,2) .
第24题解图
25. 40°或100° 【解析】当∠A为顶角时，△ABC的顶角为40°；当∠A为底角时，△ABC的顶角为180°－2×40°＝100°.
26. 6 【解析】∵等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，∴AB＝AC＝2BC＝6.
27. 180°－ eq \f(1,2) α 【解析】在△ABD中，AB＝BD，∴∠A＝∠ADB＝ eq \f(1,2) (180°－∠ABD)＝90°－ eq \f(1,2) ∠ABD，在△BCD中，BC＝BD，∴∠C＝∠CDB＝ eq \f(1,2) (180°－∠CBD)＝90°－ eq \f(1,2) ∠CBD，∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝α，∴∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝90°－ eq \f(1,2) ∠ABD＋90°－ eq \f(1,2) ∠CBD＝180°－ eq \f(1,2) (∠ABD＋∠CBD)＝180°－ eq \f(1,2) ∠ABC＝180°－ eq \f(1,2) α.
28. (1)证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ABD和△ACD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝AD,∠ADB＝∠ADC,BD＝CD)) ，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴∠B＝∠ACB；
(2)解：∵△ABD≌△ACD，AB＝5，
∴AC＝AB＝5，
∵CE＝CA，
∴CE＝5，
∵AB＝5，AD＝4，AD⊥BC，
∴BD＝ eq \r(AB2－AD2) ＝3，
∵BD＝CD，
∴CD＝3，
∴BE＝BD＋CD＋CE＝3＋3＋5＝11，
DE＝CD＋CE＝3＋5＝8，
∴AE＝ eq \r(AD2＋DE2) ＝ eq \r(42＋82) ＝4 eq \r(5) ，
则△ABE的周长为AB＋BE＋AE＝5＋11＋4 eq \r(5) ＝16＋4 eq \r(5) ，
S△ABE＝ eq \f(1,2) BE·AD＝ eq \f(1,2) ×11×4＝22.
29. 解：性质探究： eq \r(3) ∶1；
【解法提示】如解图①，过点C作CD⊥AB于点D.∵CA＝CB，∠ACB＝120°，CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝30°，AD＝BD，∴AB＝2AD＝2AC·cs 30°＝ eq \r(3) AC，∴AB∶AC＝ eq \r(3) ∶1.
第29题解图①
理解运用：(1) eq \r(3) ；
【解法提示】设CA＝CB＝m，则AB＝ eq \r(3) m，由题意得2m＋ eq \r(3) m＝4＋2 eq \r(3) ，∴m＝2，∴AC＝CB＝2，AB＝2 eq \r(3) ，∴AD＝DB＝ eq \r(3) ，CD＝AC·sin 30°＝1，∴S△ABC＝ eq \f(1,2) AB·CD＝ eq \f(1,2) ×2 eq \r(3) ×1＝ eq \r(3) .
(2)如解图②，连接FH.
第29题解图②
∵∠FGH＝120°，EF＝EG＝EH，
∴∠EFG＝∠EGF，∠EHG＝∠EGH，
∴∠EFG＋∠EHG＝∠EGF＋∠EGH＝∠FGH＝120°，
∵∠FEH＋∠EFG＋∠EHG＋∠FGH＝360°，
∴∠FEH＝360°－120°－120°＝120°，
∵EF＝EH，
∴△EFH是顶角为120°的等腰三角形，
∴∠EFH＝30°，
∴FH＝2EF·cs 30°＝20 eq \r(3) ，
∵点M，N分别为FG，GH的中点，
∴MN＝ eq \f(1,2) FH＝10 eq \r(3) ；
类比拓展：2sin α∶1.
【解法提示】如解图①，∵CA＝CB，∠ACB＝2α，CD⊥AB，∴∠A＝∠B，AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝α，∴AB＝2AD＝2AC·sin α，∴AB∶AC＝2sin α∶1.
30. C 【解析】根据等边三角形三线合一的性质，设它的边长为x，可得x2＝( eq \f(x,2) )2＋(2 eq \r(3) )2，解得x1＝4，x2＝－4(舍去).
31. D 【解析】在等边△ABC中，∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴△DEF为等边三角形，DF∥BC且DF＝ eq \f(1,2) BC，∴△ADF∽△ABC，S△ADF＝S△ABC＝ eq \f(1,4) ，∴S△ADF＝ eq \f(1,4) .同理可得S△BDE＝S△CEF＝ eq \f(1,4) ，∴S△DEF＝S△ABC－S△ADF－S△BDE－S△CEF＝ eq \f(1,4) .
第31题解图
32. C 【解析】如解图，将△BOC绕点B逆时针旋转，使得线段BC与BA重合，点O的对应点为点O′，连接OO′，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，由旋转的性质得，∠O′BO＝60°，OB＝O′B＝1，AO′＝CO＝ eq \r(3) ，∴△O′BO为等边三角形，∴OO′＝OB＝1，过点O′作O′D⊥OB于点D，∴O′D＝O′B·sin 60°＝ eq \f(\r(3),2) ，在△AOO′中，AO′2＋OO′2＝( eq \r(3) )2＋12＝4，AO2＝22＝4，∴AO′2＋OO′2＝AO2，∴△AOO′为直角三角形，∴S△AOB＋S△BOC＝S△AOB＋S△ABO′＝S△AOO′＋S△BOO′＝ eq \f(1,2) ×1× eq \r(3)
＋ eq \f(1,2) ×1× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(3),2) ＋ eq \f(\r(3),4) ＝ eq \f(3\r(3),4) .
第32题解图
33. 6 【解析】∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∠B＝∠C＝60°.∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是3EF＝3×2＝6.
34. 3或 eq \f(6\r(13),13) 【解析】如解图①，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠CAE＝∠BAD，∴△ACE≌△ABD，∴BD＝CE＝2，∵BD＝2CD，∴CD＝1，∴BC＝BD＋CD＝3，即等边△ABC的边长为3；如解图②，连接BE，过点E作EF⊥BC，交CB的延长线于F，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，∴∠EBF＝60°，设CD＝x，则BE＝x，BD＝2x，∴BF＝ eq \f(1,2) x，EF＝ eq \f(\r(3),2) x，∴CF＝ eq \f(7,2) x，在Rt△CEF中，EF2＋CF2＝CE2，∴( eq \f(\r(3),2) x)2＋( eq \f(7,2) x)2＝22，解得x＝ eq \f(2\r(13),13) ，∴BC＝3x＝ eq \f(6\r(13),13) ，即等边△ABC的边长为 eq \f(6\r(13),13) .
第34题解图
35. (1)证明：如解图，过点M作MQ∥BC交AC于点Q，
第35题解图
∴∠AMQ＝∠B，∠AQM＝∠ACB，∠PMQ＝∠N，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠AMQ＝∠AQM＝60°，
∴△AMQ为等边三角形，
∴AM＝MQ，
∵AM＝CN，
∴MQ＝CN，
在△PQM和△PCN中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠PMQ＝∠N,∠MPQ＝∠NPC,MQ＝NC)) ，
∴△PQM≌△PCN(AAS)，
∴MP＝NP；
(2)解：∵△AMQ为等边三角形，MH⊥AQ，
∴AH＝QH＝ eq \f(1,2) AQ，
∵△PQM≌△PCN，
∴PQ＝PC＝ eq \f(1,2) CQ，
∴PH＝QH＋PQ＝ eq \f(1,2) AQ＋ eq \f(1,2) CQ＝ eq \f(1,2) (AQ＋CQ)＝ eq \f(1,2) AC，
∵△ABC为等边三角形，AB＝a，
∴AC＝AB＝a，
∴PH＝ eq \f(1,2) a.
36. B 【解析】在Rt△ABO，Rt△BOC中，∵∠AOB＝30°，AB＝BC＝1，∴OB＝2，∴OC＝ eq \r(OB2＋BC2) ＝ eq \r(5) ，设点B到OC的距离为h，∴ eq \f(1,2) OC·h＝ eq \f(1,2) BC·BO，∴h＝ eq \f(BC·BO,OC) ＝ eq \f(1×2,\r(5)) ＝ eq \f(2\r(5),5) .
37. 100
38. eq \f(\r(5)－1,2) 【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2，∵b2＝ac，∴a2＋ac＝c2，∴( eq \f(a,c) )2＋ eq \f(a,c) ＝1，令 eq \f(a,c) ＝x，则x2＋x＝1，解得x1＝ eq \f(\r(5)－1,2) ，x2＝ eq \f(－\r(5)－1,2) (舍去)，∵sin A＝ eq \f(a,c) ，∴sin A＝ eq \f(\r(5)－1,2) .
39. 12 【解析】依题意画出图形如解图，设芦苇长AC＝AC′＝x尺，则水深AB＝(x－1)尺，∵C′E＝10尺，∴C′B＝5尺，在Rt△AC′B中，52＋(x－1)2＝x2，解得x＝13，即芦苇长13尺，水深为12尺．
第39题解图
40. B
41. D 【解析】∵D是AC的中点，F是CE的中点，∴DF是△ACE的中位线，∴AE＝2DF＝4，∴AD＝AE＝4.∵在Rt△ABC中，D是斜边AC的中点，∴BD＝AD＝4.
42. A 【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，又∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠BAD，∴∠CAD＝∠EDA，∵DE＝5，∴AE＝DE＝5，C选项正确；∵∠C＝∠DFA＝90°，由角平分线的性质可得DC＝DF＝3，B选项正确；在Rt△DCE中，由勾股定理得CE＝ eq \r(DE2－DC2) ＝4，∴AC＝AE＋CE＝5＋4＝9.D选项正确；∵∠C＝∠DFB＝90°，DE∥AB，∴∠CDE＝∠B，∴△CDE∽△FBD，∴ eq \f(CD,FB) ＝ eq \f(CE,FD) ，即 eq \f(3,FB) ＝ eq \f(4,3) ，解得FB＝ eq \f(9,4) ，A选项错误．
43. 4
44. (4， eq \r(3) ) 【解析】∵点B，C的坐标分别是(1，0)、(0， eq \r(3) )，∴OC＝ eq \r(3) ，OB＝1，∴BC＝ eq \r(OB2＋OC2) ＝ eq \r(12＋（\r(3)）2) ＝2，∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝4.∵OB＝1，BC＝2，∴∠OBC＝60°，∴∠OBC＝∠ACB.∴AC∥x轴，∴顶点A的坐标是(4， eq \r(3) ).
45. 54 【解析】∵AF＝EF，∴∠A＝∠AEF，∵∠A＋∠AEF＝∠CFE＝72°，∴∠A＝36°，∵∠C＝90°，∴∠B＝90°－∠A＝54°.
46. eq \r(3) 【解析】由折叠的性质可得AC＝CE，∠ACD＝∠ECD，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵CE⊥AB，∴∠BCE＋∠B＝90°，∴∠BCE＝∠A，∵点D是AB边上的中点，∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠A，∴∠ACD＝∠ECD＝∠BCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝30°，∴∠B＝60°，∵tan B＝ eq \f(AC,BC) ，BC＝1，∴AC＝BC·tan 60°＝1× eq \r(3) ＝ eq \r(3) ，即CE＝AC＝ eq \r(3) .
47. (1)证明：∵∠ACB＝90°，点M为AB的中点，
∴MA＝MC，
∴∠MCA＝∠A＝50°，
∴∠CMA＝180°－∠A－∠MCA＝80°，
∵∠CEM＝∠A＋∠ACE＝50°＋30°＝80°，
∴∠CME＝∠CEM，
∴CE＝CM；
(2)解：由题意，得CE＝CM＝ eq \f(1,2) AB＝2，
∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，
∴FC＝CE·cs 30°＝ eq \r(3) .
48. C 【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵∠B＝45°，BD＝ eq \r(3) ，∴AD＝BD＝ eq \r(3) .∵∠C＝60°，∴DC＝ eq \f(AD,tan 60°) ＝ eq \f(\r(3),\r(3)) ＝1，∴AC＝2DC＝2.∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF＝ eq \f(1,2) AC＝1.
49. D 【解析】如解图，过点A分别作AD⊥AC交BC于点D，作AE⊥BC于点E，∵∠C＝45°，∴∠ADC＝45°，∴AD＝AC＝2，CD＝2 eq \r(2) ，∵∠B＝22.5°，∴∠BAD＝∠ADC－∠B＝22.5°，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD＝2，∴BC＝BD＋CD＝2＋2 eq \r(2) ，∵AE⊥BC，∴AE＝ eq \f(\r(2),2) AC＝ eq \r(2) ，∴S△ABC＝ eq \f(1,2) BC·AE＝ eq \f(1,2) ×(2＋2 eq \r(2) )× eq \r(2) ＝2＋ eq \r(2) .
第49题解图
50. C 【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝45°，∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B＝∠EAF＝45°，∴∠AFB＝180°－∠B－∠EAF＝90°.∵点E为AB的中点，∴EF＝ eq \f(1,2) AB，∵EF＝ eq \f(3,2) ，∴AB＝AC＝3，∵∠BAC＝90°，∴BC＝ eq \r(AB2＋AC2) ＝ eq \r(32＋32) ＝3 eq \r(2) .
51. B 【解析】如解图，分两种情况讨论：①AB为等腰Rt△ABC的底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰Rt△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有C1，C2，C3，共3个．故满足条件的格点C的个数是3.
第51题解图
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
已知：如图，△ABC.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
方法一
证明：如图，过点A作DE∥BC.
方法二
证明：如图，过点C作CD∥AB.