人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题09全等三角形中的动点问题(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题09全等三角形中的动点问题(原卷版+解析)，共18页。

全等三角形中的动点问题，通过点的运动，用代数式表示线段的大小，从而寻找线段间的等量关系，建立方程，进而快速解题。
策略：①明晰点的运动方向和运动速度；②根据已知和求证的目标，寻求线段或角之间的数量关系，进而解决问题。
【例】1．（2023·福建龙岩·八年级期末）如图，△ABC中， AB =AC=24 cm， BC=16cm，AD= BD．如果点P在线段BC上以 2 cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上以v cm/s 的速度由C点向A点运动，那么当△BPD 与△CQP全等时，v =（ ）
A．3B．4C．2或 4D．2或3

【跟踪训练】（2023·四川·博睿特外国语学校八年级期中）如图，在长方形中， ，，，点是中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．设点的运动时间为秒，点的速度为．
(1)当时，为何值时，？此时是什么形状的三角形？
(2)当为何值时，以点，B，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？
【变式训练】
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全等于△PBQ，则此时t的值是（ ）
A．4B．6C．8D．10
变式2．（2023·河北保定·八年级期中）如图，在中，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒）．直线l经过点C，且，过点P、Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F，当与全等时，t的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．6
变式3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，已知在正方形ABCD中，厘米，，点E在边AB上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动时间为t秒．若存在a与t的值，使与全等时，则t的值为（ ）
A．2B．2或1.5C．2.5D．2.5或2
变式4．（2023·湖南·长沙麓山国际实验学校八年级期中）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE=90°，且AC=5cm，CE=6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为t s，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（ ）
A．1或3B．1或C．1或或D．1或或5
变式5．（2023·广西北海·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16厘米，BC＝12厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段AC上由C点向A点运动．
(1)若点Q的运动速度与点P相同，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(2)若点Q的运动速度与点P不同，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CPQ全等？
变式6．（2023·四川省南充市白塔中学八年级期中）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以a cm/s的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为t（s）．
(1)若AB＝AC，P在线段BC上，求当a为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？
(2)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？
变式7．(2023·全国·八年级）如图1，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC．
（1）求证：ABDE；
（2）如图2，过点C作PQ交AB于P，交DE于Q，求证：CP＝CQ．
（3）如图3，若AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．连接PQ，当线段PQ经过点C时，直接写出t的值为 ．
变式8．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，cm，，cm，点从点出发，沿线段以cm/s的速度连续做往返运动，点从点出发沿线段以cm/s的速度运动至点，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）
（1）分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）
（2）当时，求的值；
（3）当时，直接写出所有满足条件的值．
专题09 全等三角形中的动点问题
【解题技巧】
全等三角形中的动点问题，通过点的运动，用代数式表示线段的大小，从而寻找线段间的等量关系，建立方程，进而快速解题。
策略：①明晰点的运动方向和运动速度；②根据已知和求证的目标，寻求线段或角之间的数量关系，进而解决问题。
【例】1．（2023·福建龙岩·八年级期末）如图，△ABC中， AB =AC=24 cm， BC=16cm，AD= BD．如果点P在线段BC上以 2 cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上以v cm/s 的速度由C点向A点运动，那么当△BPD 与△CQP全等时，v =（ ）
A．3B．4C．2或 4D．2或3
答案：D
【解析】
分析：
分两种情况讨论：
①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=12cm，BP=CP=BC=×16=8cm，根据速度、路程、时间的关系即可求得；
②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=12cm，BP=CQ，得出，解出即可．
【详解】
解：∵△ABC中，AB=AC=24cm，AD=BD，
∴BD=12cm，∠B=∠C，
情况一：
若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=12cm，BP=CP=BC=×16=8cm，
∵点P的运动速度为2cm/s，
∴点P的运动时间为：8÷2=4（s），
∴v=CQ÷4= 12÷4=3cm/s；
情况二：
②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=12厘米，BP=CQ，
得出，
解得：解出即可．
因此v的值为：2或3，
故选：D．
【点睛】
此题考查了全等三角形的性质．分类讨论是解题的关键．
【跟踪训练】（2023·四川·博睿特外国语学校八年级期中）如图，在长方形中， ，，，点是中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．设点的运动时间为秒，点的速度为．
(1)当时，为何值时，？此时是什么形状的三角形？
(2)当为何值时，以点，B，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？
答案：(1)见解析．
(2)，或，．
【解析】
分析：
（1）由可得出从而可求出t，由已知条件还可得出 ．得
即可得出是等腰直角三角形．
（2）以点，B，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等存在两种情况，和，结合已知条件，即可得出结论．
(1)
∵
∴，．
又∵，
∴．
∵
∴ ．
又
∴此时是等腰直角三角形．
(2)
①当时，，，
，
，
；
②当时，，，
则为的中点，
∴，
∴，
．
综上所述：当，或，时，以点为顶点的三角形与以为顶点的三角形全等．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键．
【变式训练】
变式1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全等于△PBQ，则此时t的值是（ ）
A．4B．6C．8D．10
答案：A
【解析】
分析：
由题意得，，如图，当△CAP全等于△PBQ时，得到，根据速度为1米/分钟即可求解．
【详解】
由题意得，
如图，当△CAP全等于△PBQ时，
AC＝4m
m
P点从B向A运动，每分钟走1m
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是准确的用t表示出BP 的长度．
变式2．（2023·河北保定·八年级期中）如图，在中，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒）．直线l经过点C，且，过点P、Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F，当与全等时，t的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．6
答案：A
【解析】
分析：
根据题意可分类讨论①当P在AC，Q在BC上时、②当P在AC，Q在AC上时和③当P在BC，Q在AC上时，根据三角形全等的性质可列出关于t的等式，解出t，即可得出答案．
【详解】
分类讨论，①当P在AC，Q在BC上时，
由题意可知，．
∵，与全等，
∴，即，
解得：；
②当P在AC，Q在AC上时，
由与全等，可知此时P、Q重合，
∴3t+2t=8+6
解得：．
③当P在BC，Q在AC上时，
此时，，且．
同理可得，即，
解得：(舍)．
综上可知t的值为2或．
故选A．
【点睛】
本题考查三角形全等的性质．利用分类讨论的思想是解题关键．
变式3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，已知在正方形ABCD中，厘米，，点E在边AB上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动时间为t秒．若存在a与t的值，使与全等时，则t的值为（ ）
A．2B．2或1.5C．2.5D．2.5或2
答案：D
【解析】
分析：
根据题意分两种情况讨论若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP；若△BPE≌△CPQ，则BP=CP=5厘米，BE=CQ=6厘米进行求解即可.
【详解】
解：当，即点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP，
∵AB=BC=10厘米，AE=4厘米，
∴BE=CP=6厘米，
∴BP=10-6=4厘米，
∴运动时间t=4÷2=2（秒）；
当，即点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵∠B=∠C=90°，
∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP=PC=5厘米，CQ=BE=6厘米，即可．
∴点P，Q运动的时间t=（秒）.
综上t的值为2.5或2.
故选：D．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．同时要注意分类思想的运用．
变式4．（2023·湖南·长沙麓山国际实验学校八年级期中）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE=90°，且AC=5cm，CE=6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为t s，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（ ）
A．1或3B．1或C．1或或D．1或或5
答案：C
【解析】
分析：
分三种情况讨论，由全等三角形的性质，列出方程，即可求解．
【详解】
解：当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5−2t＝6−3t，
∴t＝1，
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5−2t＝3t−6，
∴t＝，
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴2t−5＝18−3t，
∴t＝，
综上所述：t的值为1或或．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定和用分类讨论的思想解决问题是本题的关键．
变式5．（2023·广西北海·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16厘米，BC＝12厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段AC上由C点向A点运动．
(1)若点Q的运动速度与点P相同，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(2)若点Q的运动速度与点P不同，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CPQ全等？
答案：(1)经过2秒后，△BPD与△CQP全等，理由见解析；
(2)当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等
【解析】
分析：
（1）求出BD和CP，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据全等可得BP＝CP，求出时间t，再根据CQ＝BD求出Q的速度即可．
(1)
解：若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPD与△CQP全等，
理由：∵AB＝AC＝16厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝8厘米，∠B＝∠C，
根据题意得：经过2秒时，BP＝CQ＝4厘米，
所以CP＝12厘米﹣4厘米＝8厘米，
即CP＝BD＝8厘米，
在△DBP和△PCQ中，，
∴△DBP≌△PCQ（SAS），
∴若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPD与△CQP全等；
(2)
设当点Q的运动速度为a厘米/秒，时间是t秒，能够使△BPD与△CQP全等，
∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP和CQ不是对应边，
∴BD＝CQ，BP＝CP，即2t＝12﹣2t，
解得：t＝3，
∵BD＝CQ，
∴8＝3a，
解得：a＝；
即当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等．
【点睛】
本题主要考查了对全等三角形的判定和性质的应用，找准对应边是解题的关键．
变式6．（2023·四川省南充市白塔中学八年级期中）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以a cm/s的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为t（s）．
(1)若AB＝AC，P在线段BC上，求当a为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？
(2)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？
答案：(1)当或时，能够使△BPD和△CQP全等；
(2)出发2.5或10秒后，△BDP为直角三角形
【解析】
分析：
（1）分当△BPD≌△CQP，即BP=CQ时，当△BPD≌△CPQ，即BP=CP，BD=CQ时，两种情况讨论求解即可；
（2）分当∠BPD=90°时，当∠BDP=90°时，两种情况讨论求解即可 ．
(1)
解：由题意得，则，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
当△BPD≌△CQP，即BP=CQ时，
∴，
∴；
当△BPD≌△CPQ，即BP=CP，BD=CQ时，
∵D是AB的中点，
∴BD=10cm，
∴，
∴，
综上所述，当或时，能够使△BPD和△CQP全等；
(2)
解：如图1所示，当∠BPD=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BDP=30°，
∴BD=2BP，
∴，
∴；
如图2所示，当∠BDP=90°时，同理可得∠BPD=30°，
∴BP=2BD，
∴，
∴，
∴出发2.5或10秒后，△BDP为直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
变式7．(2023·全国·八年级）如图1，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC．
（1）求证：ABDE；
（2）如图2，过点C作PQ交AB于P，交DE于Q，求证：CP＝CQ．
（3）如图3，若AB＝4cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．连接PQ，当线段PQ经过点C时，直接写出t的值为 ．
答案：（1）见详解；（2）见详解；（3）1或2
【解析】
分析：
（1）由“SAS”可证△ABC≌△EDC，可得∠A＝∠E，可证AB∥DE；
（2）由“ASA”可证△DCQ≌△BCP，可得CP＝CQ；
（3）由全等三角形的性质可得DQ＝BP，列出方程可求解．
【详解】
解：（1）证明：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠A＝∠E，
∴AB∥DE；
（2）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D，
在△DCQ和△BCP中，
，
∴△DCQ≌△BCP（ASA），
∴CP＝CQ；
（3）解：由（2）可知：当线段PQ经过点C时，△DCQ≌△BCP，可得DQ＝BP，
∴4﹣3t＝t或3t﹣4＝t，
∴t＝1或2．
故答案为：1或2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解本题的关键．
变式8．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，cm，，cm，点从点出发，沿线段以cm/s的速度连续做往返运动，点从点出发沿线段以cm/s的速度运动至点，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）
（1）分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）
（2）当时，求的值；
（3）当时，直接写出所有满足条件的值．
答案：（1）当时，cm；当时，cm；（2）；（3）所有满足条件的值是或4．
【解析】
分析：
（1）根据题意可得当时，点F是从B向C运动，当，F是从C向B运动，由此进行求解即可；
（2）分当和当时，根据，进行求解即可；
（3）先求出当时，，当时，，利用全等三角形的性质AE=CF进行求解即可．
【详解】
解：（1）∵BC=8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，
∴当时，点F是从B向C运动，当，F是从C向B运动，
∴当时，，当时，；
（2）由题意得：，
∵，
∴当，解得不符合题意；
当时，，解得，
∴当，；
（3）∵，
∴AE=CF，
∵当时，，当时，，
∴当时，，当时，，
∴当，解得；
当时，，解得，
∴当时，或．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．