人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题12等腰三角形和等边三角形(人教版)(原卷版+解析)

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◎考点题型1 等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

备注：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
例．(2023·甘肃白银·七年级期末）已知等腰三角形的两边的长分别为3和6，则它的周长为（ ）
A．9B．12C．15D．12或15
变式1．(2023·河北邯郸·八年级期末）一个等腰三角形的两边长分别为3和，则这个三角形的周长是（ ）
A．B．
C．或D．或
变式2．(2023·河南许昌·八年级期末）一个等腰三角形的周长是11cm，底边长是3cm，则该等腰三角形的一腰长为（ ）
A．5cmB．3cm或4cmC．5cm或3cmD．4cm
变式3．(2023·重庆·四川外国语大学附属外国语学校七年级期末）若、为等腰三角形的两边，且满足，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16B．14C．10D．16或14
◎考点题型2 等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
（2）等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
（3）等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
例．(2023·广东广州·八年级期末）如图，，点D在BC边上．若∠EAB＝50°，则∠ADE的度数是（ ）
A．50°B．60°C．65°D．30°
变式1．（2023·海南省直辖县级单位·九年级期中）如图，把绕着点A顺时针方向旋转，得到，点C刚好落在边上．则（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·河南周口·八年级期中）如图，△ABC≌△DBE，点A在DE边上，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．AB平分
变式3．(2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（ ）
A．32B．24C．16D．8
◎考点题型3 三线合一
例．(2023·河北沧州·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC的度数为（ ）
A．105°B．95°C．85°D．75°
变式1．(2023·辽宁大连·八年级期末）在中，，D是中点，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式2．(2023·湖北恩施·八年级期末）如图，，下列条件不能判定△ACD与△BCD全等的是（ ）
A．B．
C．D．点O是AB的中点
变式3．(2023·全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥BC，连接AC，则∠BAD等于（ ）
A．60°B．100°C．110°D．120°
◎考点题型4 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”
注意：（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分；
判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。
例．(2023·河南安阳·八年级期末）如图，A，B两点在一个的正方形网格的格点上，每个小方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C的个数为（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
变式1．(2023·云南昆明·八年级期末）如图，已知点A，B的坐标分别为（2，0）和（0，3），在y轴上找一点C，使是等腰三角形，则符合条件的C点共有（ ）个
A．2B．3C．4D．5
变式2．（2023·福建省建瓯市芝华中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，且∠ABO=60°，若P为坐标轴上的一点，则使△APB为等腰三角形的点P有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
变式3．(2023·河北唐山·七年级期中）如图，在△ABC中，．BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于点E、F，则线段EF和BE＋CF的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
◎考点题型5 作等腰三角形
例．(2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（ ）
A．B． C．D．
变式1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，根据作图痕迹，可知（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·山东临沂·八年级期中）如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式3．(2023·湖北鄂州·八年级阶段练习）已知坐标原点O和点A（2，﹣2），B是坐标轴上的一点，若△AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有多少个（ ）
A．4B．5C．6D．8
◎考点题型6 等腰三角形的性质和判定
例．(2023·山东济南·七年级期中）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝10，则△FBC的面积为（ ）
A．B．C．40D．48
变式1．(2023·广东·普宁市华美实验学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DEBC，交AB于点D，交AC于点E．若AB=6，AC=8，则△ADE的周长为（ ）
A．15B．14C．13D．12
变式2．(2023·广西玉林·八年级期末）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB＝ADB．AC平分∠BCDC．△BEC≌△DECD．AB＝BD
变式3．(2023·湖北孝感·八年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB＋BD＝BC，则∠BAC的度数为（ ）
A．74°B．69°C．65°D．60°
◎考点题型7等边三角形的性质和判定
等边三角形的判定：
（1）三边相等的三角形是等边三角形。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。
（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
例．(2023·河北保定·八年级期末）如图，在等边三角形DEF中，，点A在DF上，点B在DE上，且DA＝2，，，则CE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式1．(2023·浙江衢州·八年级期末）一辆汽车沿A地北偏东50°方向行驶5千米到达B地，再沿B地南偏东10°方向行驶5千米到达C地，则此时A、C两地相距（ ）千米
A．10B．5C．5D．5
变式2．(2023·广东广东·八年级期末）如图，在中，，CE垂直平分线段AD于E，且CD平分，，则（ ）．
A．10cmB．16cmC．24cmD．30cm
变式3．(2023·贵州贵阳·中考真题）如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（ ）
A．5B．C．D．
◎考点题型8 含30°角的直角三角形
例．(2023·山东德州·八年级期末）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DEAB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于（ ）
A．10B．7C．5D．4
变式1．(2023·广东深圳·八年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8B．1C．2D．4
变式2．(2023·河南驻马店·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝6，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式3．(2023·山东滨州·八年级期末）如图，在中，，则的面积为（ ）
A．20B．25C．50D．75
专题12 等腰三角形和等边三角形
【思维导图】
◎考点题型1 等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

备注：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
例．(2023·甘肃白银·七年级期末）已知等腰三角形的两边的长分别为3和6，则它的周长为（ ）
A．9B．12C．15D．12或15
答案：C
【解析】
分析：
根据三角形边的性质可知，这个等腰三角形的腰为6，即可得出答案．
【详解】
①若三角形的腰为3，则3+3=6，不能构成三角形，故排除此种情况；
②若三角形的腰为6，6-6