[数学]广东省惠州市惠阳区泰雅实验数学校2023-2024学年高二下学期第二次考试(5月)数学试题

这是一份[数学]广东省惠州市惠阳区泰雅实验数学校2023-2024学年高二下学期第二次考试(5月)数学试题，共4页。试卷主要包含了填写答题卡的内容用2B铅笔填写，提前 xx 分钟收取答题卡等内容，欢迎下载使用。

考试时间：分钟 满分：分
姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题；共40分)
1. 一组数据：11，30，31，25，20，32，41，32，18，45的第30百分位数为（ ）
2. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且在上，则的实轴长为（ ）
3. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，若 ， 则“”是“”的（ ）
4. 设是等比数列，且 ， 则（ ）
5. 在直角坐标系中，椭圆的右焦点为是上一点，且轴，若直线的斜率为2，则的离心率为（ ）
6. 在中，角的对边分别为 ， 则的面积为（ ）
7. 为丰富学生在校的课余生活，某中学安排五位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ）
8. 已知集合 ， 若且互不相等，则使得指数函数 ， 对数函数 ， 幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（ ）
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）(共3题；共18分)
9. 若（为虚数单位），其中是实数，则（ ）
10. 已知函数 ， 则（ ）
11. 设函数的定义域为 ， 对于任意给定的正数 ， 定义函数 ， 则称为的“卫界函数”，若函数 ， 则（ ）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）(共3题；共15分)
12. 已知集合 ， 若为单元素集，则的最小值为____________________．
13. 某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆台，圆台上下底面半径分别为1，2，将一个表面积为的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已知空心圆台（厚度不计）围成的体积为 ， 则该奖杯的高（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）为____________________．
14. 已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）(共5题；共77分)
15. 统计学中有如下结论：若 ， 从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为 ， 则随机变量 ． 据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是 ， 上下浮动不超过 ， 这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为 ， 标准差为的正态分布．
（1） 假设老板的说法是真实的，随机购买25份披萨，记这25份披萨的平均值为 ， 利用上述结论求；
（2） 希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算得到25份披萨质量的平均值为 ， 希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由．
附：①随机变量服从正态分布 ， 则 ， ， ；
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
16. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为 ， 其中为参数．当时，就是双曲余弦函数 ， 类似地我们可以定义双曲正弦函数 ． 它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
（1） 类比正、余弦函数导数之间的关系， ， 请写出 ， 具有的类似的性质（不需要证明）；
（2） 当时，单调递增，求实数的取值范围；
（3） 求的最小值．
17. 如图，已知为等腰梯形，点为以为直径的半圆弧的上一点，平面平面为的中点， ．
（1） 求证：平面；
（2） 求直线与平面所成角的正弦值．
18. 抛物线的对称轴为轴，定点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点．
（1） 求的方程；
（2） 已知 ， 过点的直线交与两点，又点在线段上（异于端点），且 ， 求点的轨迹方程．
19. 已知数列的前项和为 ， 若数列满足：①数列项数有限为；②；③ ， 则称数列为“阶可控摇摆数列”．
（1） 若 ， 请判断数列是否为“阶可控摇摆数列”？若是，请求出的值；若不是，请说明理由；
（2） 若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；
（3） 若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且 ， 求数列的通项公式． 题号
一
二
三
四
评分
阅卷人
得分
A . 20
B . 22.5
C . 25
D . 30
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分又不必要条件
A .
B .
C . 1
D . 2
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . 18种
B . 60种
C . 90种
D . 150种
A . 16
B . 24
C . 32
D . 48
阅卷人
得分
A .
B . 的共轭复数为-2
C . 对应的点位于第一象限
D . 的实部为0
A . 为偶函数
B . 曲线的对称中心为
C . 在区间上单调递减
D . 在区间上有一条对称轴
A .
B . 的值域为
C . 在上单调递减
D . 函数为偶函数
阅卷人
得分
阅卷人
得分