2023-2024学年陕西省咸阳实验中学高一（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年陕西省咸阳实验中学高一（下）月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知AB=(3,5)，AC=(−1,2)，则CB=( )
A. (4,3)B. (−4,−3)C. (−4,3)D. (4,−3)
2.设a表示“向东走6km”，b表示“向南走3km”，则b−a+b所表示的意义为( )
A. 向东南走6 2kmB. 向东南走3 6kmC. 向西南走6 2kmD. 向西南走3 6km
3.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m=−e1+ke2(k∈R)与向量n=e2−2e1共线，则( )
A. k=0B. k=1C. k=2D. k=12
4.在△ABC中，内角A、B所对的边分别是a、b，且bcsA=acsB，则△ABC是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
5.已知|a|=2|b|≠0，且关于x的方程x2+|a|x+a⋅b=0无实根，则向量a与b的夹角的取值范围是( )
A. [0,π6)B. (π3,π]C. (π3,2π3)D. [0,π3)
6.如果{e1,e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是( )
A. 若存在实数λ1，λ2使λ1e1+λ2e2=0成立，则λ1=λ2≠0
B. 平面α内任意向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C. λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)不一定在平面α内
D. 对于平面α内任意向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
7.已知平面向量a,b,|a|=2，当|a−tb|最小时，t|b|= 3，则a,b的夹角为( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
8.如图所示，O为线段A0A2025外一点，若A0，A1，A2，A3，⋯，A2025中任意相邻两点间的距离相等，OA0=a,OA2025=b，则用a，b表示OA0+OA1+OA2+⋯+OA2025，其结果为( )
A. 2025(a+b)B. 2026(a+b)C. 1012(a+b)D. 1013(a+b)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 同向且等长的有向线段表示同一向量
C. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D. 若A，B，C，D是平面内不共线的四点，且AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形
10.已知单位向量a,b的夹角为θ，则下列结论正确的有( )
A. (a+b)⊥(a−b)
B. a在b方向上的投影向量为(a⋅b)b
C. 若|a+b|= 3，则θ=60°
D. 若(a+b)⋅a=(a−b)⋅a，则a/​/b
11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA⋅MA+SB⋅MB+SC⋅MC=0.则以下命题正确的有( )
A. 若3MA+4MB+5MC=0，则SA：SB：SC=5：4：3
B. 若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△ABC的重心
C. 若M为△ABC的内心，则BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0
D. 若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SA：SB：SC=2： 3：1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AB=BC=2，AD=1，点E在边AB上，且CD⋅CE=3，则BE= ______．
13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A=30°，a=2，请您给出一个b值，使得△ABC有两解，则您给的b值为______.(满足b∈(2,4)即可)
14.在△ABC中，BD=13BC,E是线段AD上的动点(与端点不重合)，设，CE=xCA+yCB，则6x+yxy的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图所示，在△ABC中D，F分别是BC，AC的中点，AE=23AD，AB=a，AC=b．
(1)用a，b表示向量AD，AE，BF；
(2)求证：B，E，F三点共线．
16.(本小题15分)
单位向量a，b满足(a+2b)⋅(a−b)=−23．
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)若ka+b与a+3b的夹角为锐角，求实数k的取值范围．
17.(本小题15分)
已知向量a=(3,1),b=(−2,m)．
(Ⅰ)若a与b的夹角为钝角，求实数m的取值范围；
(Ⅱ)若a⊥(a−2b)，求向量a在b上的投影向量的坐标．
18.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2，bsinB+csinC−2sinA=−bsinC．
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)已知AD是△ABC的中线，求AD的最小值．
19.(本小题17分)
如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且BC=CD，设∠COB=θ．
(1)当θ=π6时，求四边形ABCD的面积；
(2)若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值．
答案
1.A
2.C
3.D
4.A
5.D
6.B
7.D
8.D
9.ABD
10.ABC
11.BCD
12.12
13.3
14.16
15.解：(1)∵AB=a，AC=b，D，F分别是BC，AC的中点，
∴AD=AB+BD=AB+12BC=AB+12(AC−AB)=12(a+b)，
AE=23AD=13(AB+AC)=13(a+b)，
BF=AF−AB=12b−a；
(2)证明：∵AE=23AD，
∴BE=AE−AB=23AD−AB=13(a+b)−a=13b−23a，
∵BF=12b−a，
∴BF=12b−a=32(13b−23a)=32BE，
∴BF与BE共线，又∵BF与BE有公共点B，
故B，E，F三点共线．
16.解：(1)因为|a|=|b|=1，(a+2b)⋅(a−b)=−23，
所以a2+a⋅b−2b2=−23，即1+a⋅b−2=−23，
则a⋅b=13，
则cs〈a,b〉=a⋅b|a||b|=13，
即a与b夹角的余弦值13；
(2)因为ka+b与a+3b的夹角为锐角，
所以(ka+b)⋅(a+3b)>0且ka+b与a+3b不共线，
当ka+b与a+3b共线时，有ka+b=λ(a+3b)，
即ka+b=λa+3λb，
由(1)知a与b不共线，所以k=λ1=3λ，解得k=13，
所以当ka+b与a+3b不共线时，k≠13，
由(ka+b)⋅(a+3b)>0，得ka2+(3k+1)a⋅b+3b2>0，
即k+(3k+1)×13+3>0，解得k>−53，
所以k>−53且k≠13，
即实数k的取值范围为(−53,13)∪(13,+∞)．
17.解：(Ⅰ)当a/​/b时，3m+2=0，得m=−23，此时a,b反向，
因为a与b的夹角为钝角，所以a⋅b<0且a,b不反向共线，
所以−6+m<0且m≠−23，所以m<6且m≠−23，
所以实数m的取值范围为(−∞,−23)∪(−23,6)；
(Ⅱ)因为a⊥(a−2b)，所以a⋅(a−2b)=0，即a2−2a⋅b=0，
所以10−2(m−6)=0，解得m=11，所以b=(−2,11)，
所以a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=−6+11(−2)2+112b=125(−2,11)=(−225,1125)．
18.解：(I)因为bsinB+csinC−2sinA=−bsinC，
由正弦定理可得b2+c2−a2=−bc，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，且A∈(0,π)，
所A=2π3；
(II)因为b2+c2−a2=−bc，可得b2+c2=−bc+4≥−b2+c22+4，当且仅当b=c时等号成立，
∴b2+c2≥83，
又因为AD为△ABC的中线，
∴AD=12(AB+AC)，即|AD|2=14(AB+AC)2，
整理得|AD|2=14(b2+c2−bc)≥14(b2+c2−b2+c22)=b2+c28≥13，
∴AD≥ 33.即AD的最小值为 33．
19.解：(1)连结OD，则∠COD=π6,∠AOD=2π3，
所以四边形ABCD的面积为S四边形ABCD=S四边形OBCD+S△AOB
=2×12×1×1×sinπ6+12×1×1×sin2π3
=2+ 34(km2)；
(2)由题意，在△BOC中，∠OBC=π−θ2，
由正弦定理得BCsinθ=OBsinπ−θ2=1csθ2，所以BC=CD=sinθcsθ2=2sinθ2，
同理在△AOD中，∠OAD=θ，∠DOA=π−2θ，
由正弦定理得DAsin(π−2θ)=ODsinθ，所以DA=sin2θsinθ=2csθ，
所以l=2+4sinθ2+2csθ=2+4sinθ2+2(1−2sin2θ2),0<θ<π2；
令t=sinθ2(0所以l=2+4t+2(1−2t2)=4+4t−4t2=−4(t−12)2+5，
当t=12时，即θ=π3，l的最大值为5．