2023-2024学年北京市育英学校高二下学期期中练习数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市育英学校高二下学期期中练习数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列an满足an+1=an+2，且a1=2，那么a3=( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
2.函数y=x+csx的导数为( )
A. y′=1+sinxB. y′=1−sinxC. y′=x+sinxD. y′=x−sinx
3.《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的三位同学每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有( )
A. 43种B. 34种C. A43种D. C43种
4.记等差数列an的前n项和为Sn.若a5=7，a10=2，则S14=( )
A. 49B. 63C. 70D. 126
5.若100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，则至少有1件次品的不同取法的种数是( )
A. C61C942B. C61C992C. C1003−C942D. C 1003−C943
6.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率小于零
B. 函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增
C. 函数f(x)在x=1处取得极大值
D. 函数f(x)在区间(−3,3)内至多有两个零点
7.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是( )
A. 240B. 288C. 360D. 480
8.已知Sn为数列an的前n项和，a1=−2，an+1=Sn，那么a5=( )
A. −4B. −8C. −16D. −32
9.已知函数f(x)=aex−lnx在(1,2)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是( )
A. 1e,+∞B. 12e2,+∞C. 1e,+∞D. 12e2,+∞
10.若数列an为等比数列，则“a3≥1”是“a1+a5≥2”的( )
A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件
11.一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有( )
A. 60种B. 68种C. 82种D. 108种
12.已知函数f(x)=ex−e−x，下列命题正确的是( )
①f(x)是奇函数；
②f(x)在R上是增函数；
③方程f(x)=x2+2x有且仅有1个实数根；
④如果对任意x∈0,+∞，都有fx>kx，那么k的最大值为2．
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.设函数fx的导函数为f′x，若f′x0=a，则limℎ→0fx0+2ℎ−fx0ℎ= ．
14.曲线y=−x2+7x+lnx在点1,6处的切线的斜率为 ．
15.已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1−an=2n，则Sn= ．
16.在等比数列an中，a1+a3=10，a2+a4=−5，则其前5项的和S5的值为 ．
17.一个圆桌有八个座位，编号为1至8.现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位．家长与其孩子相邻．满足要求的坐法共有 种．
18.设数列{an}满足“a1>a2，an0,∃x∈R，输入x会提示“可能出现梯度消失”．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题12分)
已知函数fx=x2−5x+alnx在x=2时取得极值．
(1)求实数a；
(2)若x∈14,4，求fx的单调区间和极值．
22.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，CD⊥平面ADP，AB/​/CD，CD=2AB=4，▵ADP是等边三角形，E为DP的中点．

(1)证明：AE⊥平面PDC；
(2)若PA=6，求平面PBC与平面ABE夹角的余弦值．
23.(本小题12分)
已知Sn为等差数列an的前n项和，Tn为等比数列bn的前n项和，a1=b1=1，a2+b2=2．
(1)若b4=8，求a3的值；
(2)从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得bn单调递增，求出bn的通项公式以及Tn．
条件①：a5=3；条件②：a3+b3=3；条件③：S3=9．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
24.(本小题12分)
已知函数fx=axlnx−12x2+1−ax．
(1)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)当a0，得14