2024年广西中考数学试题(原卷版+解析版)
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这是一份2024年广西中考数学试题(原卷版+解析版),共28页。试卷主要包含了不能使用计算器., 如果,,那么的值为等内容,欢迎下载使用。
(全卷满分120分,考试时间120分钟)
注意事项:
1.答题前,考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上.
2.考生作答时,请在答题卡上作答(答题注意事项见答题卡),在本试卷、草稿纸上作答无效.
3.不能使用计算器.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.)
1. 下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温,其中气温最低的是( )
A. B. C. D.
2. 端午节是中国传统节日,下列与端午节有关的文创图案中,成轴对称的是( )
A. B. C. D.
3. 广西壮族自治区统计局发布的数据显示,2023年全区累计接待国内游客8.49亿人次.将849000000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件.燕尾榫是“万榫之母”,为了防止受拉力时脱开,榫头成梯台形,形似燕尾,如图是燕尾榫正面的带头部分,它的主视图是( )
A. B. C. D.
5. 不透明袋子中装有白球2个,红球1个,这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,取出白球的概率是( )
A. 1B. C. D.
6. 如图,2时整,钟表的时针和分针所成的锐角为( )
A. B. C. D.
7. 如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P的坐标为,则点Q的坐标为( )
A. B. C. D.
8. 激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M,后测距仪L收到M反射回的激光束.则L到M的距离与时间的关系式为( )
A. B. C. D.
9. 已知点,在反比例函数图象上,若,则有( )
A B. C. D.
10. 如果,,那么的值为( )
A. 0B. 1C. 4D. 9
11. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作,其中记载了一个问题,大致意思为:现有田出租,第一年3亩1钱,第二年4亩1钱,第三年5亩1钱.三年共得100钱.问:出租的田有多少亩?设出租的田有x亩,可列方程为( )
A. B.
C. D.
12. 如图,边长为5的正方形,E,F,G,H分别为各边中点,连接,,,,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形的面积为( )
A. 1B. 2C. 5D. 10
二、填空题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.)
13. 已知与为对顶角,,则______°.
14. 写一个比大的整数是__.
15. 八桂大地孕育了丰富药用植物.某县药材站把当地药市交易的种药用植物按“草本、藤本、灌木、乔木”分为四类,绘制成如图所示的统计图,则藤本类有______种.
16. 不等式的解集为______.
17. 如图,两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为,则重合部分构成的四边形的周长为______.
18. 如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)高度是,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是,高度是.若实心球落地点为M,则______.
三、解答题(本大题共8小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19. 计算:
20. 解方程组:
21. 某中学为了解七年级女同学定点投篮水平,从中随机抽取20名女同学进行测试,每人定点投篮5次,进球数统计如下表:
(1)求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数;
(2)若进球数为3以上(含3)为“优秀”,七年级共有200名女同学,请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数.
22. 如图,在中,,.
(1)尺规作图:作线段的垂直平分线l,分别交,于点D,E:(要求:保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)在(1)所作的图中,连接,若,求的长.
23. 综合与实践
在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服,探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一:将校服放进清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后拧干;
步骤二:将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干.重复操作步骤二,直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为,每次拧干后校服上都残留水.
浓度关系式:.其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度;w为单次漂洗所加清水量(单位:)
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务:
(1)如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为,需要多少清水?
(2)如果把清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣目标?
(3)比较(1)和(2)的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你的想法.
24. 如图,已知是的外接圆,.点D,E分别是,的中点,连接并延长至点F,使,连接.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)求证:与相切;
(3)若,,求的半径.
25. 课堂上,数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
(1)老师给出,求二次函数的最小值.
①请你写出对应的函数解析式;
②求当x取何值时,函数y有最小值,并写出此时的y值;
【举一反三】老师给出更多a的值,同学们即求出对应的函数在x取何值时,y的最小值.记录结果,并整理成下表:
注:*为②的计算结果.
【探究发现】老师:“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的发现.”
甲同学:“我发现,老师给了a值后,我们只要取,就能得到y的最小值.”
乙同学:“我发现,y的最小值随a值的变化而变化,当a由小变大时,y的最小值先增大后减小,所以我猜想y的最小值中存在最大值.”
(2)请结合函数解析式,解释甲同学的说法是否合理?
(3)你认为乙同学的猜想是否正确?若正确,请求出此最大值;若不正确,说明理由.
26. 如图1,中,,.的垂直平分线分别交,于点M,O,平分.
(1)求证:;
(2)如图2,将绕点O逆时针旋转得到,旋转角为.连接,
①求面积最大值及此时旋转角的度数,并说明理由;
②当是直角三角形时,请直接写出旋转角的度数.
2024年广西初中学业水平考试
数学(解析版)
(全卷满分120分,考试时间120分钟)
注意事项:
1.答题前,考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上.
2.考生作答时,请在答题卡上作答(答题注意事项见答题卡),在本试卷、草稿纸上作答无效.
3.不能使用计算器.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.)
1. 下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温,其中气温最低的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查了温度的比较以及正负数的概念,熟悉掌握概念是解决本题的关键.以下记为负数,以上记为正数,温度都小于时,绝对值最大的,温度最低.
【解析】∵,,,
∴,
∴气温最低的是北京.
故选:A.
2. 端午节是中国传统节日,下列与端午节有关的文创图案中,成轴对称的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题主要考查成轴对称的定义,掌握成轴对称的定义是解题的关键.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫作对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫作对称点.根据两个图形成轴对称的定义,逐一判断选项即可.
【解析】A.不是轴对称图形,故不符合题意;
B.是轴对称图形,故符合题意;
C.不是轴对称图形,故不符合题意;
D.不是轴对称图形,故不符合题意;
故你:B.
3. 广西壮族自治区统计局发布的数据显示,2023年全区累计接待国内游客8.49亿人次.将849000000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法,根据科学记数法的表示方法:为整数,进行表示即可.
【解析】;
故选B.
4. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件.燕尾榫是“万榫之母”,为了防止受拉力时脱开,榫头成梯台形,形似燕尾,如图是燕尾榫正面的带头部分,它的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查三视图,根据主视图是从前往后看,得到的图形,进行判断即可.
【解析】由图可知:几何体的主视图为:
故选A.
5. 不透明袋子中装有白球2个,红球1个,这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,取出白球概率是( )
A. 1B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查求概率,直接利用概率公式进行计算即可.
【解析】从袋子中随机取出1个球,有种等可能的结果,其中取出白球的情况有2种,
∴;
故选D.
6. 如图,2时整,钟表的时针和分针所成的锐角为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了钟面角,用乘以两针相距的份数是解题关键.根据钟面的特点,钟面平均分成12份,每份是,根据时针与分针相距的份数,可得答案.
【解析】2时整,钟表的时针和分针所成的锐角是,
故选:C.
7. 如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P的坐标为,则点Q的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题主要考查点的坐标,理解点的坐标意义是关键.根据点P的坐标可得出横、纵轴上一格代表一格单位长度,然后观察坐标系即可得出答案.
【解析】∵点P的坐标为,
∴点Q的坐标为,
故选:C.
8. 激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M,后测距仪L收到M反射回的激光束.则L到M的距离与时间的关系式为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查列函数关系式,熟练掌握路程=速度×时间是解题的关键.根据路程=速度×时间列式即可.
【解析】,
故选:A.
9. 已知点,在反比例函数的图象上,若,则有( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象,熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.根据点,在反比例函数图象上,则满足关系式,横纵坐标的积等于2,结合即可得出答案.
【解析】 点,在反比例函数的图象上,
,,
,
,,
.
故选:A.
10. 如果,,那么的值为( )
A. 0B. 1C. 4D. 9
【答案】D
【分析】本题考查因式分解,代数式求值,先将多项式进行因式分解,利用整体代入法,求值即可.
【解析】∵,,
∴
;
故选D.
11. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作,其中记载了一个问题,大致意思为:现有田出租,第一年3亩1钱,第二年4亩1钱,第三年5亩1钱.三年共得100钱.问:出租的田有多少亩?设出租的田有x亩,可列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用,根据“第一年3亩1钱,第二年4亩1钱,第三年5亩1钱.三年共得100钱”列方程即可.
【解析】根据题意,得,
故选:B.
12. 如图,边长为5的正方形,E,F,G,H分别为各边中点,连接,,,,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形的面积为( )
A. 1B. 2C. 5D. 10
【答案】C
【分析】先证明四边形是平行四边形,得出,同理,则可证四边形是平行四边形,利用平行线分线段成比例可得出,,证明得出,则可得出,同理,得出平行四边形是矩形,证明,得出,进而得出,得出矩形是正方形,在中,利用勾股定理求出,然后利用正方形的面积公式求解即可.
【解析】∵四边形是正方形,
∴,,,,
∵E,F,G,H分别为各边中点,
∴,,
∴,
∴四边形是平行四边形,
∴,
同理,
∴四边形是平行四边形,
∵,
∴,
∴,
同理,
∵,,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,同理,
∴平行四边形是矩形,
∵,,,
∴,
∴,
又,,
∴,
∴矩形是正方形,
在中,,
∴,
∴,
∴正方形的面积为5,
故选:C.
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质,全等三角形判定与性质,平行线分线段成比例,勾股定理等知识,明确题意,灵活运用相关知识求解是解题的关键.
二、填空题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.)
13. 已知与为对顶角,,则______°.
【答案】35
【分析】本题主要考查了对顶角性质,根据对顶角相等,得出答案即可.
【解析】∵与为对顶角,,
∴.
故答案为:35.
14. 写一个比大的整数是__.
【答案】2(答案不唯一)
【分析】本题考查实数大小比较,估算无理数的大小是解题的关键.
先估算出的大小,再找出符合条件的整数即可.
【解析】,
,
符合条件的数可以是:2(答案不唯一).
故答案为:2.
15. 八桂大地孕育了丰富的药用植物.某县药材站把当地药市交易的种药用植物按“草本、藤本、灌木、乔木”分为四类,绘制成如图所示的统计图,则藤本类有______种.
【答案】
【分析】本题考查了扇形统计图,用乘以藤本类的百分比即可求解,看懂统计图是解题的关键.
【解析】由扇形统计图可得,藤本类有种,
故答案:.
16. 不等式的解集为______.
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式,根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解,掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键.
【解析】移项得,,
合并同类项得,,
系数化为得,,
故答案为:.
17. 如图,两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为,则重合部分构成的四边形的周长为______.
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的判定,菱形的判定和性质,菱形的周长,过点作于,于,由题意易得四边形是平行四边形,进而由平行四边形的面积可得,即可得到四边形是菱形,再解可得,即可求解,得出四边形是菱形是解题的关键.
【解析】过点作于,于,则,
∵两张纸条的对边平行,
∴,,
∴四边形是平行四边形,
又∵两张纸条的宽度相等,
∴,
∵,
∴,
∴四边形是菱形,
在中,,,
∴,
∴四边形的周长为,
故答案为:.
18. 如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度是,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是,高度是.若实心球落地点为M,则______.
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用,设抛物线为,把点,代入即可求出解析式;当时,求得x的值,即为实心球被推出的水平距离.
【解析】以点O为坐标原点,射线方向为x轴正半轴,射线方向为y轴正半轴,建立平面直角坐标系,
∵出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是,高度是.
设抛物线解析式为:,
把点代入得:,
解得:,
∴抛物线解析式为:;
当时,,
解得,(舍去),,
即此次实心球被推出的水平距离为.
故答案为:
三、解答题(本大题共8小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19. 计算:
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算.先算乘法和乘方,再算加法即可.
【答案】
【详解】解:原式
.
20. 解方程组:
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法,直接利用加减消元法解方程组即可.
【答案】
【详解】解:,
得:,
解得:,
把代入①得:
,
∴方程组的解为:.
21. 某中学为了解七年级女同学定点投篮水平,从中随机抽取20名女同学进行测试,每人定点投篮5次,进球数统计如下表:
(1)求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数;
(2)若进球数为3以上(含3)为“优秀”,七年级共有200名女同学,请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”人数.
【分析】(1)根据平均数、中位数、众数的定义求解即可;
(2)算出样本的优秀率,再估计总体的优秀人数.
【答案】
【小问1详解】
解:女生进球数的平均数为(个),
女生进球数的中位数是第10个和第11个成绩的平均数,即(个),
女生进球个数为1个的人最多,故众数是1个;
【小问2详解】
解:(人),
答:估计为“优秀”等级的女生约为50人.
【点睛】本题考查了中位数,众数,平均数,用样本件估计总体,掌握中位数,平均数、众数的定义以及优秀率的求法是解题的关键.
22. 如图,在中,,.
(1)尺规作图:作线段的垂直平分线l,分别交,于点D,E:(要求:保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)在(1)所作的图中,连接,若,求的长.
【分析】(1)分别以A、B为圆心,大于为半径画弧,分别交,于点D,E,作直线,则直线l即为所求.
(2)连接,由线段垂直平分线的性质可得出,由等边对等角可得出,由三角形内角和得出,则得出为等腰直角三角形,再根据正弦的定义即可求出的长.
【答案】
【小问1详解】
解:如下直线l即为所求.
【小问2详解】
连接如下图:
∵为线段的垂直平分线,
∴,
∴,
∴,
∴为等腰直角三角形,
∴,
∴
【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线,线段的垂线平分线的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理以及正弦的定义.掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.
23. 综合与实践
在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服,探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一:将校服放进清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后拧干;
步骤二:将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干.重复操作步骤二,直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为,每次拧干后校服上都残留水.
浓度关系式:.其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度;w为单次漂洗所加清水量(单位:)
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务:
(1)如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为,需要多少清水?
(2)如果把清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣目标?
(3)比较(1)和(2)的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你的想法.
【分析】本题考查的是分式方程的实际应用,求解代数式的值,理解题意是关键;
(1)把,代入, 再解方程即可;
(2)分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度,即可得到答案;
(3)根据(1)(2)的结果得出结论即可.
【答案】
【小问1详解】
解:把,代入
得,
解得.经检验符合题意;
∴只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为,需要清水.
【小问2详解】
解:第一次漂洗:
把,代入,
∴,
第二次漂洗:
把,代入,
∴,
而,
∴进行两次漂洗,能达到洗衣目标;
【小问3详解】
解:由(1)(2)的计算结果发现:经过两次漂洗既能达到洗衣目标,还能大幅度节约用水,
∴从洗衣用水策略方面来讲,采用两次漂洗的方法值得推广学习.
24. 如图,已知是的外接圆,.点D,E分别是,的中点,连接并延长至点F,使,连接.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)求证:与相切;
(3)若,,求的半径.
【分析】(1)先证明,,再证明,可得,,再进一步解答即可;
(2)如图,连接,证明,可得过圆心,结合,证明,从而可得结论;
(3)如图,过作于,连接,设,则,可得,求解,可得,求解,设半径为,可得,再利用勾股定理求解即可.
【答案】
【小问1详解】
证明:∵点D,E分别是,的中点,
∴,,
又∵,,
∴,
∴,,
∴,,
∴四边形是平行四边形;
【小问2详解】
证明:如图,连接,
∵,为中点,
∴,
∴过圆心,
∵,
∴,
而为半径,
∴为的切线;
【小问3详解】
解:如图,过作于,连接,
∵,
∴,
设,则,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,,,
∴,
∴,
设半径为,
∴,
∴,
解得:,
∴的半径为.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理的应用,平行四边形的判定与性质,切线的判定,垂径定理的应用,做出合适的辅助线是解本题的关键.
25. 课堂上,数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
(1)老师给出,求二次函数的最小值.
①请你写出对应的函数解析式;
②求当x取何值时,函数y有最小值,并写出此时的y值;
【举一反三】老师给出更多a的值,同学们即求出对应的函数在x取何值时,y的最小值.记录结果,并整理成下表:
注:*为②的计算结果.
【探究发现】老师:“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的发现.”
甲同学:“我发现,老师给了a值后,我们只要取,就能得到y的最小值.”
乙同学:“我发现,y的最小值随a值的变化而变化,当a由小变大时,y的最小值先增大后减小,所以我猜想y的最小值中存在最大值.”
(2)请结合函数解析式,解释甲同学的说法是否合理?
(3)你认为乙同学的猜想是否正确?若正确,请求出此最大值;若不正确,说明理由.
【分析】本题考查二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解题的关键:
(1)①把代入解析式,写出函数解析式即可;②将一般式转化为顶点式,进行求解即可;
(2)将一般式转化为顶点式,根据二次函数的性质进行解释即可;
(3)将一般式转化为顶点式,表示出的最大值,再利用二次函数求最值即可.
【答案】
【详解】解:(1)①把代入,得:
;
∴;
②∵,
∴当时,有最小值为;
(2)∵,
∵抛物线的开口向上,
∴当时,有最小值;
∴甲的说法合理;
(3)正确;
∵,
∴当时,有最小值为,
即:,
∴当时,有最大值,为.
26. 如图1,中,,.的垂直平分线分别交,于点M,O,平分.
(1)求证:;
(2)如图2,将绕点O逆时针旋转得到,旋转角为.连接,
①求面积的最大值及此时旋转角的度数,并说明理由;
②当是直角三角形时,请直接写出旋转角的度数.
【分析】(1)利用线段垂直平分线的性质得出,利用等边对等角得出,结合角平分线定义可得出,最后根据相似三角形的判定即可得证;
(2)先求出,然后利用含的直角三角形性质求出,,,利用勾股定理求出,,取中点,连接,,作于N,由旋转的性质知,为旋转所得线段,则,,,根据点到直线的距离,垂线段最短知,三角形三边关系得出,故当M、O、三点共线,且点O在线段时,取最大值,最大值为,此时,最后根据三角形面积公式求解即可;
②先利用三角形三边关系判断出,,则当为直角三角形时,只有,然后分A和重合,和C重合,两种情况讨论即可.
【答案】
【小问1详解】
证明:∵垂直平分,
∴,
∴,
∵平分
∴,
∴,
又;
∴;
【小问2详解】
解:①∵,
∴,
∴,
∴,
又,
∴,,
∵垂直平分,
∴,,
∴,
∴,
取中点,连接,,作于N,
由旋转的性质知,为旋转所得线段,
∴,,,
根据垂线段最短知,
又,
∴当M、O、三点共线,且点O在线段时,取最大值,最大值为,
此时,
∴面积的最大值为;
②∵,,
∴,
同理
∴为直角三角形时,只有,
当A和重合时,如图,
∵
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴、O、M三点共线,
∴为直角三角形,
此时旋转角;
当和C重合时,如图,
同理,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴、O、M三点共线,
又
∴为直角三角形,
此时旋转角;
综上,旋转角的度数为或时,为直角三角形.
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质,含的直角三角形的性质,勾股定理,旋转的性质等知识,明确题意,正确画出图形,添加辅助线,合理分类讨论是解题的关键.进球数
0
1
2
3
4
5
人数
1
8
6
3
1
1
a
…
0
2
4
…
x
…
*
2
0
…
y的最小值
…
*
…
进球数
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人数
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8
6
3
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a
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x
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2
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y的最小值
…
*
…
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