2024年广东省清远市清城区中考数学一模试卷

这是一份2024年广东省清远市清城区中考数学一模试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在，0，，这四个数中，最小的数是
A．B．C．0D．
2．（3分）如图是数学经典图形，则下列描述正确的是
A．它是轴对称图形
B．既是轴对称图形又是中心对称图形
C．它是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
3．（3分）据广东省交通运输厅预测，2024年春运期间，广铁预计发送旅客约7250万人次，将7250万用科学记数法表示为
A．B．C．D．
4．（3分）某店铺连续5天销售衬衣的件数分别为10，11，13，15，11．关于这组数据，以下结论错误的是
A．众数是11B．平均数是12C．方差是3.2D．中位数是13
5．（3分）下列运算中，正确的是
A．B．C．D．
6．（3分）已知，，则
A．B．C．D．
7．（3分）若函数的图象经过点和，则的值为
A．2B．C．1D．
8．（3分）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为
A．B．C．3D．
9．（3分）如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为
A．B．C．D．
10．（3分）如图，中，，，，将沿着直线向右平移到的位置，与相交于点，连接．下列结论：①；②是直角三角形；③四边形的面积是；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）不等式的解集是 ．
12．（3分）若正多边形的一个内角等于，则这个正多边形的边数是 ．
13．（3分）在平面直角坐标系中把抛物线向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为 ．
14．（3分）某件商品进价10元，标价15元，为了迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，若每件获利2元，则该商品应打 折出售．
15．（3分）如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
17．（8分）已知，代数式，．
（1）因式分解；
（2）化简分式．
18．（8分）如图，在中，
（1）实践与操作：用尺规作图法作边的高（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，，，求的长．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）某校为了解学生最喜爱的数学活动项目，随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据统计图，解答下列问题：
（1）此次抽样调查的学生人数是 人，并补全折线统计图；
（2）求图2中扇形的圆心角度数；
（3）估计全校1500名学生中，最喜爱“数学竞赛”的学生人数是多少？
20．（9分）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比：
（1）用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用；
（2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元，
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
21．（9分）综合与实践
主题：用折纸折出特殊角
素材：一张矩形纸片．
步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为．
（1）直接写出的度数；
（2）证明（1）中你发现的结论．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）综合探究
如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，点O是AB的中点，DO，CO分别为∠ADC，∠BCD的角平分线．
（1）求证：OC⊥OD；
（2）如图2，以点O为圆心，AB为直径的⊙O与CD相切于点E，若AB＝4，设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数表达式；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，BE，AE与OD交于点G，BE与OC交于点F，试判断四边形OFEG的形状，并说明理由．
23．（12分）综合运用
如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，顶点为，直线与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）在第一象限内是否存在一点使得与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，将绕轴上的动点顺时针旋转得到△，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，直接写出的取值范围．
2024年广东省清远市清城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在，0，，这四个数中，最小的数是
A．B．C．0D．
【解答】解：，
，
在，0，，这四个数中，最小的数是．
故选：．
2．（3分）如图是数学经典图形，则下列描述正确的是
A．它是轴对称图形
B．既是轴对称图形又是中心对称图形
C．它是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
【解答】解：由图形的对称性知图形不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：．
3．（3分）据广东省交通运输厅预测，2024年春运期间，广铁预计发送旅客约7250万人次，将7250万用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【解答】解：7250万．
故选：．
4．（3分）某店铺连续5天销售衬衣的件数分别为10，11，13，15，11．关于这组数据，以下结论错误的是
A．众数是11B．平均数是12C．方差是3.2D．中位数是13
【解答】解：、11出现了2次，出现的次数最多，则众数是11，故本选项不符合题意；
、平均数是，
故本选项不符合题意；
、方差是：，故本选项不符合题意；
、把这些数从小到大排列为：10，11，11，13，15，中位数是11，故本选项符合题意；
故选：．
5．（3分）下列运算中，正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：、，故此选项不符合题意；
、，故此选项符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
故选：．
6．（3分）已知，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
故选：．
7．（3分）若函数的图象经过点和，则的值为
A．2B．C．1D．
【解答】解：把代入得，解得，
把代入，得：，
故选：．
8．（3分）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为
A．B．C．3D．
【解答】解：关于的方程有两个相等的实数根，
△，即，
解得，
．
故选：．
9．（3分）如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，
的长为：．
故选：．
10．（3分）如图，中，，，，将沿着直线向右平移到的位置，与相交于点，连接．下列结论：①；②是直角三角形；③四边形的面积是；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：由平移的性质得：，，，，
四边形是平行四边形，，，故①不正确；
，
即，
，
，
是直角三角形，故②正确；
设的边上的高为，
则，
，
，故③正确；
，
平行四边形是菱形，故④正确；
，
，，
，
与不全等，故⑤不正确；
综上所述，正确结论的个数为3，
故选：．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）不等式的解集是 ．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
12．（3分）若正多边形的一个内角等于，则这个正多边形的边数是 6 ．
【解答】解：解法一：设所求正边形边数为，
则，
解得；
解法二：设所求正边形边数为，
正边形的每个内角都等于，
正边形的每个外角都等于．
又因为多边形的外角和为，
即，
．
故答案为：6．
13．（3分）在平面直角坐标系中把抛物线向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为 ．
【解答】解：把抛物线向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为：．
故答案为：．
14．（3分）某件商品进价10元，标价15元，为了迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，若每件获利2元，则该商品应打 8 折出售．
【解答】解：设打折销售，每件获利2元，根据题意可得：
，
解得：，
答：该商品应打8折销售．
故答案为：8．
15．（3分）如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
【解答】解：如图，连接，，，
是等边三角形的边长为3，
，，
以为直径构造半圆，
，
、是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
【解答】解：（1）原式
；
（2），
①②得：，
把代入②得：，
原方程组的解为：．
17．（8分）已知，代数式，．
（1）因式分解；
（2）化简分式．
【解答】解：（1）；
（2）
．
18．（8分）如图，在中，
（1）实践与操作：用尺规作图法作边的高（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，，，求的长．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求：
（2）为边上的高，
，
，
，，，
，，
．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）某校为了解学生最喜爱的数学活动项目，随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据统计图，解答下列问题：
（1）此次抽样调查的学生人数是 120 人，并补全折线统计图；
（2）求图2中扇形的圆心角度数；
（3）估计全校1500名学生中，最喜爱“数学竞赛”的学生人数是多少？
【解答】解：（1）此次抽样调查的学生人数是：（人；
数学展示的人数有：（人，
补折线全统计图如下：
故答案为：120；
（2），
答：扇形 的圆心角度数为．
（3）（人，
答：最喜爱“数学竞赛”项目的学生人数是375人．
20．（9分）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比：
（1）用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用；
（2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元，
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
【解答】解：（1）新能源车的每千米行驶费用为：（元；
故答案为：．
（2）①，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
（元，（元，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.75元，新能源车的每千米行驶费用为0.11元；
②设每年行驶里程为 ，
，
解得，
，
当每年行驶里程大于时，买新能源汽车费用更低．
21．（9分）综合与实践
主题：用折纸折出特殊角
素材：一张矩形纸片．
步骤1：如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
步骤2：如图2，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为．
（1）直接写出的度数；
（2）证明（1）中你发现的结论．
【解答】解：（1）；
（2）由折叠得：，，，
，
，
．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）综合探究
如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，点O是AB的中点，DO，CO分别为∠ADC，∠BCD的角平分线．
（1）求证：OC⊥OD；
（2）如图2，以点O为圆心，AB为直径的⊙O与CD相切于点E，若AB＝4，设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数表达式；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，BE，AE与OD交于点G，BE与OC交于点F，试判断四边形OFEG的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DO，CO分别为∠ADC，∠BCD 的角平分线，
∴∠ADC＝2∠ODC，∠BCD＝2∠OCD，
∴2∠ODC+2∠OCD＝180°，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴OC⊥OD；
（2）解：连接OE，如图，
∵点O是AB的中点，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∵⊙O与CD相切于点E，
∴OE⊥CD，OE＝2．
∴∠DEO＝∠CEO＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝180°﹣90°＝90°，
∴AB⊥BC．
∴⊙O分别与AD，BC，CD相切于点A，B，E，
∴AD＝ED＝x，BC＝EC＝y，
∵∠DOE+∠COE＝∠DOC＝90°，∠DOE+∠ODE＝90°，
∴∠COE＝∠ODE，
∴△DOE∽△OCE，
∴，
即：，
∴．
（3）解：四边形OFEG是矩形，理由如下：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°．
由（1）得：∠DOC＝90°，
由（2）得：CD是⊙O的切线，
连接OE，如图，
∴DA＝DE，OA＝OE，
∴OD垂直平分AE，
∴∠OGE＝90°．
∴∠AEB＝∠DOC＝∠OGE＝90°，
∴四边形OFEG是矩形．
23．（12分）综合运用
如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，顶点为，直线与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）在第一象限内是否存在一点使得与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，将绕轴上的动点顺时针旋转得到△，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，直接写出的取值范围．
【解答】解：（1），
顶点的坐标为，
抛物线交轴于点，
令，则，
，
设直线的解析式为，
把，代入中，
得，
解得，
直线的解析式为；
（2）存在，理由如下：
直线与轴交于点，
把代入得，
解得，
，
，
是等腰直角三角形，
①若，则，，如图，
轴，与直线交于点，
；
②若，则，，如图，
点是抛物线的顶点，
点与点关于直线对称，
；
③若，则，，过点作于点，如图，
点与点关于直线对称，
由①可知，直线为，
，
综上所述，点的坐标为或或；
（3）或．
①若，当旋转后点落在抛物线上时，线段与抛物线只有一个公共点，如图，
的坐标是，
，
解得，（不合题意，舍去）；
当旋转后点落在抛物线上时，线段与抛物线只有一个公共点，如图，
，
点与点重合，
当时，若线段与抛物线只有一个公共点，的取值范围为；
②若，当旋转后点落在抛物线上时，线段与抛物线只有一个公共点，如图，
此时，点与点重合，
故；
当旋转后点落在抛物线上时，线段与抛物线只有一个公共点，如图，
的坐标是，
，
解得（不合题意，舍去），；
当时，若线段与抛物线只有一个公共点，的取值范围为．
综上，的取值范围为或燃油车
油箱容积：40升
油价：7.5元升
续航里程：千米
每千米行驶费用：元
纯电动汽车
电池容量：80千瓦时
电价：0.55元千瓦时
续航里程：千米
每千米行驶费用： 元
燃油车
油箱容积：40升
油价：7.5元升
续航里程：千米
每千米行驶费用：元
纯电动汽车
电池容量：80千瓦时
电价：0.55元千瓦时
续航里程：千米
每千米行驶费用： 元