浙江省环大罗山联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省环大罗山联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（Word版附解析），文件包含浙江省环大罗山联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题Word版含解析docx、浙江省环大罗山联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。

考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，，则=（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用补集、并集的定义直接求解即得.
【详解】依题意，全集，则，，
得，所以.
故选：B
2. “”是“关于的不等式成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得到解集，由为或的真子集，得到结论.
【详解】，
解得或，
由于为或的真子集，
故“”是“关于的不等式成立”的充分不必要条件.
故选：A
3. 幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据幂函数的单调性，确定得到取值，再回代函数确定函数的奇偶性，即可求解.
【详解】因为幂函数，在区间上是减函数，
所以，解得：，
因为，得，
当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去，
当时，函数是偶函数，关于轴对称，故舍去，
当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去，
所以.
故选：A
4. 若数据，，，的方差为，则，，的方差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据方差性质，即可求解.
【详解】由方差公式的性质可知，新数据，，的方差为.
故选：C
5. 为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校要安排2名大学生，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 30B. 60C. 90D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】首先安排甲校，再按照不平均分组分配安排其他3人，根据分步计数原理，即可求解.
【详解】甲校安排2名大学生有种方法，
剩下的3名大学生安排到其余2所学校，有种方法，
所以不同的安排方法有种方法.
故选：B
6. 已知某校有2400名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（ ）（参考数据：①；②；③
A. 这次考试成绩超过100分的约有1000人
B. 这次考试分数低于70分的约有40人
C.
D. 从中任取4名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为
【答案】D
【解析】
【分析】由正态分布的性质即可得到A、B、C选项，用二项分布能够解决D.
【详解】由公式得到，所以超过100分的占，所以有人，所以A错；
低于分的概率为，所以大约有人，故B错；
，故C错；
分数超过100分的概率为，至少有2人的分数超过100分的概率为，符合题意，故D对.
故选：D.
7. 函数，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分析出为偶函数，且在上单调递减，比较出，得到答案.
【详解】的定义域为，
其中
，
故为偶函数，
当时，，故，由复合函数单调性可知，
在上单调递减，
其中，故，，
故，所以，
故
故选：D
8. 设定义在上的函数满足，为奇函数，当时，，若，则（ ）
A. 1011B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由为奇函数，可得，即可得到且关于对称，再求出，即可求出在上的解析式，由推出是以为周期的周期函数，最后由周期性与对称性计算可得.
【详解】因为为奇函数，所以，则，
即关于对称，同时，
又由，令，可得，则有，
当时，，则有，解得，
故时，，
由，即，则有，
故，则是周期为的周期函数，
因为，
则，
由于，则，，
故，
故．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出函数的对称性，周期性，再由周期性求出函数值.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 考虑两个变量和的样本数据集，其样本相关系数通过以下公式给出：
其中，和分别是和的第i个样本值，和分别是和的样本均值．下列关于样本相关系数公式各部分的陈述正确的是（ ）
A. 分母中的和是和的标准差.
B. 分子部分用于衡量两个变量之间变化趋势的一致性，即分子为正值时表示变量之间正相关，分子为负值时表示变量之间负相关.
C. 样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越强.
D. 通过对分子部分进行标准化处理，样本相关系数能够消除变量的度量单位的影响，使得不同数据集之间的相关性能够进行直接比较.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据标准差定义，判断A，根据相关系数的定义和性质，判断BCD.
【详解】A.和是和的标准差，故A错误；
B.由相关系数的定义，可知B正确；
C.样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越弱，故C错误；
D.根据相关系数的演化过程，可知D正确.
故选：BD
10. 已知函数的定义域为，若，则以下一定成立的是（ ）
A. B.
C. 为奇函数D. 在上是增函数
【答案】AC
【解析】
【分析】利用赋值法可判断A；举反例可判断BD，根据奇函数的定义可判断C.
【详解】对于A，令，可得，所以，故A正确；
对于B，当时，显然符合题设条件，此时，不一定有，
故B错误.
对于C，令，，所以，
令，时可得，所以为奇函数，
故C正确；
对于D，当时，显然符合题设条件，此时在上不具备单调性，故D错误.
故选：AC.
11. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据和事件的概率公式和条件概率公式逐个分析求解即可
【详解】对于A，因为，，
所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，
所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，
所以，，
所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以，
所以，所以D正确，
故选：ACD
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知的展开式中的系数为80，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】由二项式定理得到通项公式，得到方程，求出.
【详解】展开式通项公式，
令，解得，故，解得.
故答案为：2
13. 已知正数x，y满足且有解，则实数m取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
不等式有解，即，巧用均值不等式求最值即可.
【详解】由已知得：，
，
当且仅当时取等号；
由题意：，
即，
解得：或，
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
14. 已知实数为函数的零点，为函数的零点，则________．
【答案】
【解析】
【分析】首先将函数零点代入方程，得和，转化为函数和与函数的交点问题，利用函数的对称性，即可求解.
【详解】由题意可知，，即，则，
，则，
函数和互为反函数，关于对称，
设与的交点为，的交点为,
点关于对称，所以，则.
故答案：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断和互为反函数.
四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数
（1）若不等式解集为，求，的值；
（2）当时，若方程的两个不相等的实根为，，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集与对应方程的关系，结合韦达定理，即可求解；
（2）首先根据，求的取值范围，再根据韦达定理表示，转化为关于的函数，利用换元法，并结合函数的单调性求取值范围.
【小问1详解】
原不等式可化为，因为该不等式的解集为，
可知的两根为和3，
则，解得；所以，．
【小问2详解】
方程有两根，
，解得或，
又，．
由韦达定理：，
所以

令，，，
，当时，，
在上单调递增，所以
.
16. 李医生家在小区，他在医院工作，从家开车到医院上班有，两条路线（如图），路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为，；路线上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（1）若走路线且，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走路线，求遇到红灯次数的分布列及数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李医生分析，选择，哪条路线上班更好．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据独立重复事件概率公式，即可求解；
（2）首先确定，再根据独立事件概率公式，求分布列以及数学期望；
（3）如走线路，则遇到红灯的次数，比例两条线路遇到红灯次数的期望，即可分析并判断.
【小问1详解】
设“走路线最多遇到1次红灯”为事件，
则，所以走路线最多遇到次红灯的概率为．
【小问2详解】
依题意，知的所有可能取值为0，1，2．
，，，
故随机变量的分布列为
所以．
【小问3详解】
设选择路线遇到红灯的次数为，则，所以．
若，则，，选择路线上班更好；
若，则，，此时选择路线上班更好；
若，则，此时选择路线和路线一样．
17. 生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量（单位：）与一天中的时间（单位：小时，以午夜0点为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述：
●在夜间，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数．
●在早晨，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为，当时，分泌量达到最大值
●在下午和晚上，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即．
已知午夜时荷尔蒙分泌量为，峰值分泌量为
（1）求参数，和的值以及函数的解析式；
（2）求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于的时长．
【答案】（1），，，
（2）10个小时
【解析】
【分析】（1）根据求出，再根据和分别求出，即可得出函数解析式；
（2）分和两种情况解不等式即可.
【小问1详解】
根据题意得，午夜时荷尔蒙分泌量，，
在早晨，荷尔蒙分泌量满足关系式：，
当时，分泌量达到峰值即，即，
解得：，
因此早晨时段的荷尔蒙分泌量关系为，
在下午和晚上时段，荷尔蒙分泌量满足：，
所以，解得，
所以荷尔蒙分泌量为，
综上，荷尔蒙分泌量的函数关系为；
【小问2详解】
①当时，，
解得，所以，
②当时，，
，，
，，
综上所述，
该同学一天之内荷尔蒙分泌不少于的时长为10个小时.
18. 已知函数为偶函数．
（1）求的值；
（2）若，判断在的单调性，并用定义法给出证明；
（3）若在区间上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，得到方程，求出；
（2）先得到，定义法判断函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论；
（3）参变分离得到，构造，换元后得到，根据单调性求出其最值，得到结论.
【小问1详解】
定义域为R，
，
由于函数为偶函数，所以，
即，即，
即恒成立，
．
【小问2详解】
已知函数，由于函数在上单调递增，
由第（1）问可得，因此
不妨设，，且
则

因为，因此，由因为，，因此，
所以，故，所以函数在单调递增．
【小问3详解】
由题得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
因为，所以，所以在区间上恒成立，
令，令，
则，
因为在单调递增，
所以函数在上单调递减，故．
．
对任意的恒成立，且，
．
实数的取值范围是．
19. 假设通过简单随机抽样得到和的抽样数据列联表，
课本中给出统计量计算公式如下：
此处我们把列联表中的，，，称为观察频数，记作，（例如，），
把，，，称为期望频数，记作，
即第i行的频数和乘以第j列的频数和与频数总和的商．（例如，）．则我们可以将卡方统计量的计算公式写成以下更为一般的形式：（Σ表示对后面的代数式求和）
根据以上信息，假设一项研究旨在分析不同教学方法对学生数学成绩的影响。研究中采用了三种不同的教学方法：传统方法、在线学习和互动式学习。学生根据他们的成绩被分为三个级别：低、中、高，用频率估计概率。研究结果如下表所示：
（1）已知在“传统方法”中，参加数学兴趣小组的同学按照成绩“低”、“中”、“高”的分别占对应人数的、、，求“传统方法”中参加数学兴趣小组同学的概率．
（2）（i）求，；
（ii）依据小概率值的独立性检验，分析这三种教学方法对学生数学成绩影响是否存在显著差异．
参考数据：
【答案】（1）
（2）（i）,（ii）存在显著差异
【解析】
【分析】（1）由条件中概率，代入全概率公式，即可求解；
（2）（ⅰ）根据和公式，即可条件中的数据，即可求解；
（ⅱ）根据公式，分别计算和，再代入求和，并和临界值比较大小，即可判断.
【小问1详解】
记“传统式学习方法中成绩级别为低的同学概率”为事件A，
“传统式学习方法中成绩级别为中的同学概率”为事件B，
“传统式学习方法中成绩级别为高的同学概率”为事件C，
“传统式学习方法中参加数学兴趣小组同学的概率”为事件D．
则， ，．

【小问2详解】
（i），
；
（ii）．， ，
，，
，，
，
，
，，
，，
，，；
所以这三种教学方法对学生数学成绩影响存在显著差异．
0
1
2
合计
合计
教学方法\成绩级别
低
中
高
总计
传统方法
20
30
50
100
在线学习
35
45
20
100
互动式学习
25
15
60
100
总计
80
90
130
300
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
7.78
9.49
11.14
13.28
14.86