河北省“五个一”名校联盟2025届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)

这是一份河北省“五个一”名校联盟2025届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若复数,则( )
A.B.5C.D.
2．点,为等轴双曲线C的焦点,过作x轴的垂线与C的两渐近线分别交于A,B两点,则的面积为( )
A.B.4C.D.8
3．已知,不等式的解集为R,则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．用0,1,2,3,4能组成没有重复数字且比32000小的数字______个( )
A.212B.213C.224D.225
5．过圆锥高的中点作平行于底面的截面,则截面分圆锥上部分圆锥与下部分圆台体积比为( )
A.B.C.D.
6．平面四边形中,点E,F分别为,的中点,,,则( )
A.B.C.D.
7．已知首项为2的数列满足,当的前n项和时,则n的最小值为( )
A.40B.41C.42D.43
8．当时,恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知五个数据5,5,10,10,a的分位数为15,则这组数据( )
A.平均数为9B.众数为10C.中位数为10D.方差为30
10．已知函数在上有且仅有两个对称中心,则下列结论正确的是( )
A.的范围是
B.函数在上单调递增
C.不可能是函数的图像的一条对称轴
D.的最小正周期可能为
11．已知函数,的零点分别为,,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知的展开式中各项系数和为8,则展开式中常数项为__________.
13．抛物线上的动点P到直线的距离最短时,P到C的焦点距离为__________.
四、解答题
14．下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项,以2为公比的等比数列,每行的第n个数从上到下形成以为首项,以3为公比的等比数列,则该数阵第n行所有数据的和__________.
15．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角C的大小;
（2）若边,边的中点为D,求中线长的最大值.
16．如图所示,三棱柱中,M,N分别为棱,的中点,E,F分别是棱,上的点,.
（1）求证：直线平面;
（2）若三棱柱为正三棱柱,求平面和平面的夹角的大小.
17．已知,,平面内动点P满足直线,的斜率之积为.
（1）求动点P的轨迹方程;
（2）过点的直线交P的轨迹E于A,B两点,以,为邻边作平行四边形（O为坐标原点）,若C恰为轨迹E上一点,求四边形的面积.
18．已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）证明：当时,.
19．一个质点在随机外力的作用下,从平面直角坐标系的原点出发,每隔1秒等可能地向上､向下､向左或向右移动一个单位.
（1）共移动两次,求质点与原点距离的分布列和数学期望;
（2）分别求移动4次和移动6次质点回到原点的概率;
（3）若共移动N次（N大于0,且N为偶数）,求证：质点回到原点的概率为.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,所以,
,
所以.
故选：A.
2．答案：B
解析：设双曲线C为：,
因为,解得：,
所以双曲线C为：,则双曲线C的渐近线为：,
所以,解得：,则,
所以为等腰直角三角形,
所以的面积为.
故选：B.
3．答案：A
解析：若不等式的解集为R,当时,符合题意;
当时,需满足且,解得
综合可得,而,所以p能推出q,q不能推出p,
即p是q的充分不必要条件.
故选：A.
4．答案：C
解析：分数字位数讨论：
一位数4个;
两位数有个;
三位数有个;
四位数有个;
五位数分以下两种情况讨论：
①首位数字为1或2,此时共有个;
②首位数字为3,则千位数从0或1中选择一个,其余三个数位任意排列,
此时共有个.
综上所述,共有个比32000小的数.
故选：C.
5．答案：D
解析：设截面圆半径为r,圆锥的高为h,圆锥的体积为,则圆台下底面圆的半径为2r,圆台的高为h,
圆台的体积为,
所以,,
可得.
故选：D.
6．答案：A
解析：因为平面四边形中,点E,F分别为,的中点,
所以,
所以,
由可得：,
两边同时平方可得：,
所以,
解得：,所以.
故选：A.
7．答案：B
解析：由题意得,,解得,
同理,解得,
,解得,
,解得,
故为一个周期为4的数列,且,
故,,
故n的最小值为41.
故选：B.
8．答案：D
解析：由,可得,
因为,可得,所以,
可得,
又因为,
所以
即,
因为,
因为,可得,所以,
则,则,
要使得不等式,即恒成立,
所以,即实数a的取值范围为.
故选：D.
9．答案：CD
解析：由题意,五个数据80百分为,第80百分位数为,故;
这组数据中5和10都出现2次,其余数出现次数没超过2次,
故众数为5和10,B错误;
计算平均数为,故A错误;
将5次数据从小到大排列为:5,5,10,10,20,
则中位数为10,故C正确;
方差为​,故D正确.
故选：CD.
10．答案：AC
解析：A选项,时,,
由函数在上有且仅有两个对称中心得,
,解得,A正确;
B选项,时,,
由A可知,故,而,
故函数在上不一定单调,B错误;
C选项,假设为函数的一条对称轴,
令,,解得,,
又,故,又,故无解,
故不可能是函数的图像的一条对称轴,C正确;
D选项,,故的最小正周期,
故的最小正周期不可能为,D错误.
故选：AC.
11．答案：ACD
解析：对于A,由题,,
所以即,
所以,故,故A正确;
对于B,由,得,,
故函数与图象交点横坐标和与图象交点的横坐标即为函数和的零点,,
如图,由图象性质可知,,
又由A得,故,
所以,故B错;
对于C,由上即,以及得：
,故C对;
对于D,由AB得,,,
所以,故D对.
故选：ACD.
12．答案：-2
解析：令,可得展开式中各项系数的和,解得;
的展开式通项为,
因为,所以展开式中常数项为,
故答案为：-2.
13．答案：2
解析：设,则点到直线的距离为：
,
当,即当时,
抛物线上一点到直线的距离最短,P到C的焦点距离为.
故答案为：2．
14．答案：
解析：因为每行的第n个数从上到下形成以为首项,以3为公比的等比数列,
所以,
所以
.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理可得：,则,
即,
由余弦定理可得：,
因为,所以.
（2）因为D为的中点,所以,
则,
又由余弦定理得,,
即,所以.
由得,,
则,当且仅当取等号,
即,
所以,即中线长的最大值为.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：取的中点G,连接交于H,连接,
因为M分别为棱的中点,所以,
所以,所以,
所以,
因为,所以,所以,
因为N分别为棱的中点,所以,
因为,所以,,
所以四边形为平行四边形,
所以,
因为平面,平面,
所以直线平面;
（2）连接,因为三棱柱为正三棱柱,
所以为等边三角形,所以,
所以以C为原点,以所在的直线为x轴,过C与平行的直线为y轴,所在的直线为z轴建立空间直角坐标系,
设,,则,,,,,
所以,,,,
设平面的法向量为,
则,令,则,
设平面的法向量为,
则,令,则,
所以,
设平面和平面的夹角为,则,
因为,所以.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,则,化简可得
（2）以,为邻边作平行四边形,则直线与x轴不重合,设直线的方程为,直线的方程与椭圆方程联立,
设,,,
联立,消去x得,
所以,
则
.
求得O到直线的距离,
因为平行四边形的对角线互相平分
所以,,
所以在椭圆上,可得
所以平行四边形面积
所以四边形面积是.
18．答案：（1）答案见解析
（2）证明见解析
解析：（1）由题函数定义域,,
故当时,恒成立,所以函数在上单调递减;
当时,在上单调递减,令,
则时,;时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
综上,当时,函数在上单调递减;当时,函数在上单调递增,在上单调递减.
（2）由（1）当时,函数在上单调递增,在上单调递减,
故在上恒成立,
故证证,
即,
令,则,
故当时,;时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以在上恒成立,故,
所以当时,.
19．答案：（1）答案见解析;
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）设X表示2次移动中质点与原点距离,则X可取0,2,,
当质点向左移动1次向右移动1次,或向上移动1次向下移动1次,最后,则;
当质点向左移动2次或向右移动2次,或向上移动2次或向下移动2次,最后,则;
当质点向左移动1次向上移动1次,或向左移动1次向下移动1次,或向右移动1次向上移动1次,或向右移动1次向下移动1次,最后,则
X的分布列为：
.
（2）质点从原点出发,每次等可能地向上､向下､向左或向右移动一个单位,共移动4次,
可能的结果共有种情况,
若质点回到原点,则向左移动2次向右移动2次,或向上移动2次向下移动2次,共有种情况,
若质点回到原点,则向左移动1次向右移动1次,向上移动1次向下移动1次,共有种情况,
所以质点回到原点的概率为.
质点从原点出发,每次等可能地向上､向下､向左或向右移动一个单位,共移动6次,
可能的结果共有种情况,
若质点回到原点,则向左移动3次向右移动3次,或向上移动3次向下移动3次,共有种情况,
若质点回到原点,则向左移动2次向右移动2次,向上移动1次向下移动1次,则向左移动1次向右移动1次,向上移动2次向下移动2次,共有种情况,
所以质点回到原点的概率为.
（3）若共移动2次,质点回到原点的概率为;
假设共移动N次,满足质点回到原点的概率为;
当共移动次,
移动N次质点回到原点当质点向左移动1次向右移动1次,或向上移动1次向下移动1次,移动次质点回到原点;
移动N次质点在,,,当质点向左移动2次或向右移动2次,或向上移动2次或向下移动2次,移动次质点回到原点;
移动N次质点在,,,当质点向左移动1次向上移动1次,或向左移动1次向下移动1次,或向右移动1次向上移动1次,或向右移动1次向下移动1次,,移动N+2次质点回到原点;
当共移动次,满足质点回到原点的概率为.
所以共移动N次,满足质点回到原点的概率为.
X
0
2
P