河南省商丘市梁园区兴华学校2023-2024学年中考四模数学试卷

这是一份河南省商丘市梁园区兴华学校2023-2024学年中考四模数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．
2．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）这个冬天，哈尔滨火出圈了，据哈尔滨市文化广电和旅游局提供大数据测算，截至元旦假日第3天，实现旅游总收入59.14亿元．游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．数据“59.14亿”用科学记数法表示为（ ）
A．0.5914×1010B．5.914×108
C．59.14×108D．5.914×109
4．（3分）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（ ）
A．142°B．128°C．98°D．92°
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5
C．3a2+2a2＝5a2D．（2xy）3＝6x3y3
6．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝39°，则∠ABC的度数是（ ）
A．39°B．45°C．49°D．51°
7．（3分）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）
A．无实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不等的实数根D．不能判定
8．（3分）若反比例函数的图象过点（﹣2，2），则一次函数y＝kx﹣k的图象过（ ）
A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①ab＞0；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝1，x2＝﹣3；③当x＞1时，y的值随x增大而增大；其中正确的判断是（ ）
A．①②③B．①③C．②③D．①②
10．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，则a的值是（ ）
A．4B．C．3D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．（3分）分式方程的解为 ．
13．（3分）春节期间，有四部影片《热辣滚烫》《第二十条》《飞驰人生2》《志愿军2》热映，甲乙两名同学分别从这四部影片中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为 ．
14．（3分）如图，半圆O的直径AB＝12，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留π）
15．（3分）如图，已知矩形ABCD的两条边AB＝6，AD＝8，点E是对角线AC、BD的交点，点P是边AD上一个动点，作点D关于直线PE的对称点D'，当ED'与矩形一条边垂直时，PD的长是 ．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16．（10分）（1）计算：；
（2）x（2x﹣1）﹣2（x+2）（x﹣2）．
17．（9分）某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七年级成绩的频数分布直方图如图：
（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80.80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．七年级成绩在80＜x＜90的数据如下（单位：分）：80，85，85，85，85，85，85，85，85，88，89．
c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m＝ ，n＝ ；
（2）下列推断合理的是 ；
①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小；
②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩．
（3）竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数．
18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交BC于点E．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明：BE＝2CE．
19．（9分）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观
察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与⊙O相切于点D）．点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与⊙O交于点E，与BC交于点B，连接AC，OC，CE，BD＝CD＝3dm，OA⊥AC．
（1）求证：∠B＝∠ACO；
（2）求CE的长．
20．（9分）为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售．
（1）如果该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，那么购进A、B两种型号的电动汽车各多少辆？
（2）如果为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，那么20辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是多少？
21．（9分）“荡秋千”一直以来都是人们喜闻乐见的休闲方式之一，某天，小明和小亮两人玩荡秋千，如图为侧面几何图，静止时秋千位于铅垂线AB上，荡秋千的起始位置为C，终点为D，点C距离地面为1.08米，秋千位于C时，安全链AC与铅垂线AB夹角为37°，安全链AC＝2.4m．当小明将小亮从C推出后可达到最高点D处，此时∠CAD＝100°，求点D到地面的距离为多少？（精确到0.01m，参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，cs37°≈0.8，sin27°≈0.47）
22．（10分）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m，现以O为原点，平面直角坐标系如图所示．
（1）求二次函数的表达式；
（2）通过计算判断球能否射进球门；
（3）为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了n（n＞0）米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方2.25m处进球，求n的值．
23．（10分）【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．
（1）【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 ．
（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN＝，求证：M是CD的中点．
（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是 ．
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．（3分）﹣2024的相反数是（ ）
A．2024B．C．﹣2024D．
【解答】解：﹣2024的相反数是2024，
故选：A．
2．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由所给图可知，这个几何体从正面看共有三列，左侧第一列最多有4块小正方体，中间一列最多有2块小正方体，最右边一列有3块小正方体，
所以主视图为B．
故选：B．
3．（3分）这个冬天，哈尔滨火出圈了，据哈尔滨市文化广电和旅游局提供大数据测算，截至元旦假日第3天，实现旅游总收入59.14亿元．游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．数据“59.14亿”用科学记数法表示为（ ）
A．0.5914×1010B．5.914×108
C．59.14×108D．5.914×109
【解答】解：59.14亿＝5914000000＝5.914×109，
故选：D．
4．（3分）如图，直线a∥b，等边△ABC的顶点C在直线b上，若∠1＝38°，则∠2的度数为（ ）
A．142°B．128°C．98°D．92°
【解答】解：设直线a与AB交于点D，与AC交于点E，如图所示：

∵∠1＝38°，
∴∠ADE＝∠1＝38°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠AEF为△ADE的一个外角，
∴∠AEF＝∠ADE+∠A＝38°+60°＝98°，
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠AEF＝98°．
故选：C．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5
C．3a2+2a2＝5a2D．（2xy）3＝6x3y3
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项不符合题意，
B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意，
C、3a2+2a2＝5a2，正确，故此选项符合题意，
D、（2xy）3＝8x3y3，故此选项不符合题意，
故选：C．
6．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝39°，则∠ABC的度数是（ ）
A．39°B．45°C．49°D．51°
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∵∠DBA＝∠DCA＝39°，
∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝90°﹣39°＝51°，
故选：D．
7．（3分）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）
A．无实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不等的实数根D．不能判定
【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×6＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
8．（3分）若反比例函数的图象过点（﹣2，2），则一次函数y＝kx﹣k的图象过（ ）
A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、二、三象限
【解答】解：∵反比例函数的图象过点（﹣2，2），
∴k＝﹣4，
∴一次函数解析式为y＝﹣4x+4．
∵k＝﹣4＜0，b＝4＞0，
∴一次函数图象上过点第一、二、四象限，
故选：A．
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①ab＞0；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝1，x2＝﹣3；③当x＞1时，y的值随x增大而增大；其中正确的判断是（ ）
A．①②③B．①③C．②③D．①②
【解答】解：∵对称轴在y轴的左边，
∴a、b同号，
∴ab＞0，
所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
而点（1，0）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（﹣3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝1，x2＝﹣3，
所以②正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x增大而增大，
∴当x＞1时，y随x增大而增大，
所以③正确．
故选：A．
10．（3分）如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，则a的值是（ ）
A．4B．C．3D．
【解答】解：当点E位于点A处时，CF＝CD＝a，
当点E位于点B处时，x＝AB＝a，
∴抛物线与x轴的另一交点为a，
∴顶点坐标为（，），
当点E到达点C处时，x＝5，即AB+BC＝5，
如图，
当点E在BC上时，AB+BE＝x，
∴BE＝x﹣a，CE＝5﹣x，
∵AE⊥EF，
∴∠FEC+∠AEB＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△EFC∽△ABE，
∴FC：BE＝CE：AB，即y：（x﹣a）＝（5﹣x）：a，
把（，）代入得：（﹣a）＝（5﹣）：a，
解得：a＝3，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥3 ．
【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x﹣3≥0，解得x≥3．
故答案为：x≥3．
12．（3分）分式方程的解为 x＝﹣1 ．
【解答】解：，
x﹣5＝2（2x﹣1），
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，2x﹣1≠0，
∴x＝﹣1是原方程的根，
故答案为：x＝﹣1．
13．（3分）春节期间，有四部影片《热辣滚烫》《第二十条》《飞驰人生2》《志愿军2》热映，甲乙两名同学分别从这四部影片中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为 ．
【解答】解：将这四部影片分别记为A，B，C，D，
列表如下：
共有16种等可能的结果，其中他们选择的影片相同的结果有4种，
∴他们选择的影片相同的概率为＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，半圆O的直径AB＝12，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 6π .（结果保留π）
【解答】解：过点O作OD⊥AP于点D，交于点E，连接OP，
则点E是的中点，
由折叠的性质可得点O为的中点，
∴S弓形PO＝S弓形AO，
在Rt△BOD中，OD＝DE＝OA，OB＝AB＝6，
∴∠OAD＝30°，
∴∠BOP＝60°，
∴S阴影＝S扇形BOP＝＝6π．
故答案为：6π．
15．（3分）如图，已知矩形ABCD的两条边AB＝6，AD＝8，点E是对角线AC、BD的交点，点P是边AD上一个动点，作点D关于直线PE的对称点D'，当ED'与矩形一条边垂直时，PD的长是 或5 ．
【解答】解：如图，
∵点D关于直线PE的对称点为D'，
∴△DPE≌△D′PE，
∴ED＝ED′，PD＝PD′，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8，
∴∠ADC＝90°，AE＝EC，BE＝DE，AC＝BD，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
当ED′⊥AD，
∴ME∥CD，
∵AE＝EC，
∴ME＝CD＝3，MD＝AD＝4，
在Rt△DME中，DE＝ED′＝＝5，
∴MD′＝5﹣3＝2，
设DP＝D′P＝x，
则MP＝4﹣x，
在Rt△MPD′中，根据勾股定理得，
MD′2+PM2＝PD′2，
即4+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝，
∴PD＝．
当ED′⊥AB时，
∴AD∥ED′，
∴∠DPE＝∠D′EP，
∵点D关于直线PE的对称点为D'，
∴EP是∠D′ED的平分线，PD＝PD′，
∴∠D′EP＝∠DEP，
∴∠DPE＝∠DEP，
∴PD＝PE，
∵DE＝5，
∴PD＝DE＝5．
综上所述，PD的长是或5．
故答案为：或5．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16．（10分）（1）计算：；
（2）x（2x﹣1）﹣2（x+2）（x﹣2）．
【解答】解：（1）
＝﹣1+（﹣3）+3
＝﹣1；
（2）x（2x﹣1）﹣2（x+2）（x﹣2）
＝2x2﹣x﹣2（x2﹣4）
＝2x2﹣x﹣2x2+8
＝8﹣x．
17．（9分）某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七年级成绩的频数分布直方图如图：
（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80.80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．七年级成绩在80＜x＜90的数据如下（单位：分）：80，85，85，85，85，85，85，85，85，88，89．
c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m＝ 85 ，n＝ 85 ；
（2）下列推断合理的是 ① ；
①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小；
②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩．
（3）竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数．
【解答】解：（1）把七年级30个学生的成绩从小到大排列，排在第15和第16个数分别是85，85，故中位数m＝85；
七年级30个学生的成绩中出现次数最多的是85，故众数n＝85．
故答案为：85；85；
（2）由题意可知，样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小，故①说法正确；
若八年级小明同学的成绩是84分，高于八年级成绩的中位数，所以能推断他的成绩成绩高于八年级一半或者一半以上，故②说法错误；
故答案为：①；
（3）600×＝340（名），
答：估计七年级成绩优秀的学生人数大约为340名．
18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交BC于点E．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）证明：BE＝2CE．
【解答】（1）解：如图，DE即为所求.
（2）证明：连接AE，
∵DE为线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠B＝30°，∠ADE＝∠C，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴AE＝2CE，
∴BE＝2CE．
19．（9分）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观
察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与⊙O相切于点D）．点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与⊙O交于点E，与BC交于点B，连接AC，OC，CE，BD＝CD＝3dm，OA⊥AC．
（1）求证：∠B＝∠ACO；
（2）求CE的长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵BC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵BD＝CD，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OD⊥BC，
∴∠ODC＝∠OAC＝90°，
在Rt△AOC与Rt△DOC中，
，
∴Rt△AOC≌Rt△DOC（HL），
∴∠ACO＝∠DCO，
∴∠B＝∠ACO；
（2）解：∵∠BAC＝90°，
AC＝CD＝BD＝3dm，
∴，
∴∠B＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴OA＝AC＝（dm），
∴AE＝2OA＝2dm，
∴CE＝＝＝（dm）．
20．（9分）为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售．
（1）如果该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，那么购进A、B两种型号的电动汽车各多少辆？
（2）如果为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，那么20辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设购进A型电动汽车x辆，购进B型电动汽车y辆，
根据题意，得：，
解得：，
答：购进A型电动汽车12辆，B型电动汽车8辆；
（2）
设购进A型电动汽车m辆，则购进B型电动汽车（20﹣m）辆，
∵购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，
∴m≥2（20﹣m），
即m≥，
根据题意，得：w＝（16.8﹣16）m+（29.4﹣28）（20﹣m），
＝﹣0.6m+28．
∵﹣0.6＜0，
∴m＝14时，利润最大，最大值为：﹣0.6×14+28＝19.6万元，
∴购进14辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是19.6万元．
21．（9分）“荡秋千”一直以来都是人们喜闻乐见的休闲方式之一，某天，小明和小亮两人玩荡秋千，如图为侧面几何图，静止时秋千位于铅垂线AB上，荡秋千的起始位置为C，终点为D，点C距离地面为1.08米，秋千位于C时，安全链AC与铅垂线AB夹角为37°，安全链AC＝2.4m．当小明将小亮从C推出后可达到最高点D处，此时∠CAD＝100°，求点D到地面的距离为多少？（精确到0.01m，参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，cs37°≈0.8，sin27°≈0.47）
【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，过点C向地面作垂线交于点G，
在Rt△ACE中，∠CAE＝37°，AC＝2.4m，
∴AE＝AC•cs37°＝2.4×0.8＝1.92（m），
易得四边形CGBE为矩形，
∴CG＝BE＝1.08m，
∵∠CAD＝100°，
∴∠DAF＝100°﹣37°＝63°．
∴∠ADF＝90°﹣∠DAF＝27°．
在Rt△ADF中，AF＝AD•sin27°＝2.4×0.47＝1.128（m），
∵AB＝AE+BE＝3m，
∴FB＝AB﹣AF＝3﹣1.128≈1.87（m），
∴点D到地面的距离约为1.87m．
22．（10分）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8m的A处射门，已知球门高OB为2.44m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3m，现以O为原点，平面直角坐标系如图所示．
（1）求二次函数的表达式；
（2）通过计算判断球能否射进球门；
（3）为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了n（n＞0）米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方2.25m处进球，求n的值．
【解答】解：（1）由题意，∵8﹣6＝2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3）．
设抛物线为 y＝a（x﹣2）2+3，
把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，
∴a＝﹣．
∴抛物线的函数解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3．
（2）当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，
∴球不能射进球门．
（3）由题意可得，移动后的抛物线为：y＝﹣（x﹣2﹣n）2+3，
把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣n）2+3，
∴n＝﹣5（舍去）或n＝1，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．
23．（10分）【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN＝MN．
（1）【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是 12 ．
（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN＝，求证：M是CD的中点．
（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，则DM的长是 8 ．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，
由旋转的性质得：△ABE≌△ADM，
∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，
即∠EAM＝90°，
∵∠MAN＝45°，
∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠MAN＝∠EAN，
在△AMN和△AEN中，
，
∴△AMN≌△AEN（SAS），
∴MN＝EN，
∵EN＝BE+BN＝DM+BN，
∴MN＝BN+DM，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN＝＝＝10，
则BN+DM＝10，
设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣6，DM＝CD﹣CM＝x﹣8，
∴x﹣6+x﹣8＝10，
解得：x＝12，
即正方形ABCD的边长是12；
故答案为：12；
（2）证明：设BN＝m，DM＝n，
由（1）可知，MN＝BN+DM＝m+n，
∵∠B＝90°，tan∠BAN＝，
∴tan∠BAN＝＝，
∴AB＝3BN＝3m，
∴CN＝BC﹣BN＝2m，CM＝CD﹣DM＝3m﹣n，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：（2m）2+（3m﹣n）2＝（m+n）2，
整理得：3m＝2n，
∴CM＝2n﹣n＝n，
∴DM＝CM，
即M是CD的中点；
（3）解：延长AB至P，使BP＝BN＝4，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM，如图③所示：
则四边形APQD是正方形，
∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝12+4＝16，
设DM＝a，则MQ＝16﹣a，
∵PQ∥BC，
∴△ABN∽△APE，
∴＝＝＝，
∴PE＝BN＝，
∴EQ＝PQ﹣PE＝16﹣＝，
由（1）得：EM＝PE+DM＝+a，
在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（16﹣a）2＝（+a）2，
解得：a＝8，
即DM的长是8；
故答案为：8．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80.4
m
n
141.04
八年级
80.4
83
84
86.10
成本价（万元/辆）
售价（万元/辆）
A型
16
16.8
B型
28
29.4
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80.4
m
n
141.04
八年级
80.4
83
84
86.10
成本价（万元/辆）
售价（万元/辆）
A型
16
16.8
B型
28
29.4