2024年甘肃省临夏州中考数学试卷(含答案)

这是一份2024年甘肃省临夏州中考数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．D．0.13133
2．马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的“远古之光”．如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说法正确的是（ ）
A．主视图和左视图完全相同
B．主视图和俯视图完全相同
C．左视图和俯视图完全相同
D．三视图各不相同
3．据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最“热辣滚烫”的顶流．2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据“27亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2.7×108B．0.27×1010C．2.7×109D．27×108
4．下列各式运算结果为a5的是（ ）
A．a2+a3B．a2•a3C．a10÷a2D．（a2）3
5．一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝（ ）
A．80°B．100°C．120°D．110°
7．端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，则BC的长是（ ）
A．3B．6C．8D．9
9．如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣4，2）B．（﹣，4）C．（﹣2，4）D．（﹣4，）
10．如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ﹣DQ为y，y与x的函数图象如图2，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．因式分解：x2﹣＝ ．
12．“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为 ．
13．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
14．如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），点C的坐标为（3，4），点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 ．
15．如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则的长度为 （结果保留π）．
16．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A′满足AA′＝AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（4分）计算：|﹣|﹣（）﹣1+20250．
18．（4分）化简：（a+1+）÷．
19．（4分）解不等式组：．
20．（6分）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
（1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 ；
（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．
21．（6分）根据背景素材，探索解决问题．
22．（8分）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，AB⊥BC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE＝1.6米）测得A点仰角为37°，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（7分）环球网消息称：近年来的电动自行车火灾事故80%都是充电时发生的，超过一半的电动自行车火灾发生在夜间充电的过程中．为了规避风险，某校政教处对学生进行规范充电培训活动，并对培训效果按10分制进行检测评分．为了解这次培训的效果，现从各年级随机抽取男、女生各10名的检测成绩作为样本进行整理，并绘制成如下不完整的统计图表：
抽取的10名女生检测成绩统计表
注：10名女生检测成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中男生检测成绩为10分的学生数是 ，众数为 分；
（2）女生检测成绩表中的m＝ ，n＝ ；
（3）已知该校有男生545人，女生360人，若认定检测成绩不低于9分为“优秀”，估计全校检测成绩达到“优秀”的人数．
24．（7分）如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径．
25．（8分）如图，直线y＝kx与双曲线y＝﹣交于A，B两点，已知A点坐标为（a，2）．
（1）求a，k的值；
（2）将直线y＝kx向上平移m（m＞0）个单位长度，与双曲线y＝﹣在第二象限的图象交于点C，与x轴交于点E，与y轴交于点P，若PE＝PC，求m的值．
26．（8分）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且∠ABE＝∠DAF．
【模型建立】
（1）求证：AF⊥BE；
【模型应用】
（2）若AB＝2，AD＝3，DF＝BF，求DE的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DF＝BF，求的值．
27．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
（3）如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线BC下方），已知MN＝2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．解：A、是无理数，故此选项符合题意；
B、是有理数，故此选项不符合题意；
C、，是有理数，故此选项不符合题意；
D、0.13133是有理数，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．解：该几何体的三视图各不相同，主视图的中间处有两个“耳朵”而左视图则没有；俯视图是三个同心圆（夹在中间的圆由虚线构成）．
故选：D．
3．解：27亿＝2700000000＝2.7×109．
故选：C．
4．解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a2•a3＝a5，故B符合题意；
C、a10÷a2＝x8，故C不符合题意；
D、（a2）3＝a6，故D不符合题意；
故选：B．
5．解：∵一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，b＝﹣1＜0，
∴该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：A．
6．解：∵∠E＝35°，
∴∠AOD＝2∠E＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°．
故选：D．
7．解：由题意可得，
＝10，
故选：C．
8．解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，
sinB＝，
∴AM＝＝4，
∴BM＝．
又∵AB＝AC，
∴BC＝2BM＝6．
故选：B．
9．解：过C作CN⊥x轴于N，过A作AM⊥x轴于M，
∵点C的坐标为（3，4），
∴ON＝3，CN＝4，
∴OC＝＝5，
∵四边形ABOC是菱形，
∴AC＝OC＝5，AC∥BO，
∵AM⊥OB，CN⊥OB，
∴四边形AMNC是矩形，
∴MN＝AC＝5，
∴OM＝MN﹣ON＝5﹣3＝2，
∴点A的坐标为（﹣2，4）．
故选：C．
10．解：由图象得：CD＝2，当BD+BP＝4时，PQ＝CD＝2，
设AD﹣CD＝a，则BD＝4﹣a，
在Rt△BCD中，BD2﹣BC2＝CD2，
即：（4﹣a）2﹣（a+2）2＝22，
解得：a＝，
∴AD＝a+2＝，
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．解：原式＝（x+）（x﹣），
故答案为：（x+）（x﹣）
12．解：∵正六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°，
∴该正六边形的每个内角为：720÷6＝120°，
故答案为：120°．
13．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
即：22﹣4（﹣m）＝0，
解得：m＝﹣1，
故选答案为﹣1．
14．解：∵点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD 与△ABC 全等，
∴△BAD≌△ABC，
∴AD＝BC，BD＝AC，如图所示：
由图可知：D（1，4）；
故答案为：（1，4）．
15．解：由对折可知，
四边形AOMD是矩形，∠EOM＝∠FOM，
则OM＝AD，DM＝．
过点E作OM的垂线，垂足为P，
则EP＝DM＝．
因为OE＝OM＝AD，CD＝AD，
所以EP＝．
在Rt△EOP中，
sin∠EOP＝＝，
所以∠EOP＝30°，
则∠EOF＝30°×2＝60°，
所以的长度为：．
故答案为：．
16．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°．
又∵AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC．
在Rt△ABD中，
sinB＝，
∴AD＝，
∴BD＝．
∴AA′＝AD＝，
∴A′D＝．
令A′B′与BD的交点为M，A′C′与CD的交点为N，
由平移可知，
∠A′MD＝∠B＝30°，
在Rt△A′DM中，
tan∠A′MD＝，
∴MD＝．
∵A′M＝A′N，
∴MN＝2MD＝，
∴．
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：原式＝|﹣2|﹣3+1
＝2﹣3+1
＝2+1﹣3
＝0．
18．解：原式＝•
＝•
＝•
＝．
19．解：解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜2，
故原不等式组的解集为：1≤x＜2．
20．解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种，
∴抽中C卡片的概率是．
故答案为：．
（2）四张卡片内容中是化学变化的有：A，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：AD，DA，共2种，
∴小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为＝．
21．解：任务一：图形如图所示：
任务二：将正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转60°，直接写出此时点E所在位置的坐标（4，0）．
22．解：过E作EF⊥AB于F，
设FG＝x m，
在Rt△AEF中，∵∠AEF＝37°，
∴tan37°＝，
∴AF＝EF•tan37°＝0.75（x+16.5）＝（0.75x+10.875）m，
在Rt△AGF中，∵∠AGF＝45°，
∴，
∴AF＝GF＝x m，
∴0.75x+10.875＝x，
∴x≈44，
∴AB＝AF+BF＝44+1.6≈46（m）
答：乾元塔的高度AB约为46m．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．解：（1）样本中男生检测成绩为10分的学生数是10×（1﹣10%﹣50%﹣20%）＝2（人），
∵出现次数最多的为8分，
∴七年级活动成绩的众数为8分；
故答案为：2，8；
（2）将女生检测成绩绩从小到大排列后，它的中位数应是第5个和第6个数据的平均数，
∵女生检测成绩的中位数为8.5分，
∴第5个和第6个数据的和为8.5×2＝17＝8+9，
∴第5个和第6个数据分别为8分，9分，
∵成绩为6分和7分的人数为1+2＝3（人），
∴成绩为8分的人数为5﹣3＝2（人），
成绩为10分的人数为5﹣3＝2（人），
即m＝2，n＝2；
故答案为：2，2；
（3）545×（20%+20%）+360×＝218+180＝398（人），
答：估计全校检测成绩达到“优秀”的人数为398人．
24．（1）证明：连接OD，如图，
∵直线l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∵AE⊥CE，
∴OD∥AE，
∴∠ODA＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴AD平分∠CAE；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，
在Rt△OCD中，∵OD＝r，CD＝3，OC＝r+1，
∴r2+32＝（r+1）2，
解得r＝4，
即⊙O的半径为4．
25．解：（1）∵点A在反比例函数图象上，
所以2＝﹣，解得a＝﹣2，
将A（﹣2，2）代入y＝kx，
∴k＝﹣1；
（2）∵如图，过点C作CF⊥y轴于点F，
∴CF∥OE，
∴∠FCP＝∠OEP，∠CFP＝∠EOP，
∵PE＝PC，
∴△CFP≌△EOP（AAS），
∴CF＝OE，OP＝PF，
∵直线y＝﹣x向上平移m个单位长度得到y＝﹣x+m，
令x＝0，得y＝m，令y＝0，得x＝m，
∴E（m，0），P（0，m），
∴CF＝OE＝m，OP＝PF＝m，
∴C（﹣m，2m），
∵双曲线y＝﹣过点C，
∴﹣m•2m＝﹣4，
解得m＝或﹣（舍去），
∴m＝．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABE＝∠DAF，
∴∠AOE＝∠BAF+∠ABE＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴AF⊥BE．
（2）解：如图1，延长AF交CD于点G，
∵GD∥AB，
∴△GDF∽△ABF，
∵DF＝BF，AB＝2，AD＝3，
∴＝＝，
∴GD＝AB＝×2＝1，
∵∠BAE＝∠ADG＝90°，∠ABE＝∠DAG，
∴＝tan∠ABE＝tan∠DAG＝＝，
∴AE＝AB＝×2＝，
∴DE＝AD﹣AE＝3﹣＝，
∴DE的长是．
（3）解：如图2，延长AF交CD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADH＝90°，
设AB＝AD＝2m，
∵HD∥AB，
∴△HDF∽△ABF，
∵DF＝BF，
∴＝＝＝，
∴HD＝AB＝×2m＝m，
∴AH＝＝＝m，
∴AF＝AH＝AH＝×m＝m，
∴＝＝，
∴的值为．
27．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点P作PN⊥AB于点N，交BC于点M．
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠CBO＝45°，
∵∠MNB＝90°，
∴∠PMQ＝∠NMB＝45°，
∵PQ⊥BC，
∴△PQM是等腰直角三角形，
∴PM＝PQ，
∴PM的值最大时，PQ的值最大，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则M（m，﹣m+3），
∴PM＝﹣m2﹣2m+3﹣（﹣m+3）
＝﹣m2+3m，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PM的值最大，PM的最大值＝﹣+＝，
∴PQ的最大值＝PM＝，此时P（，）；
（3）设M（a，﹣a+3），则N（a，﹣a+1），
当点N在抛物线上时，﹣a+1＝﹣a2+2a+3，
∴a2﹣3a﹣2＝0，
解得a1＝，a2＝．
∵线段MN与抛物线有交点，
∴满足条件的点M的横坐标的取值范围为：≤xM≤0或3≤xM≤．
平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形ABCDEF
背景素材
六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．
已知条件
点C与坐标原点O重合，点D在x轴的正半轴上且坐标为（2，0）．
操作步骤
①分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P；
②以点P为圆心，PC长为半径作圆；
③以CD的长为半径，在⊙P上顺次截取＝＝＝；
④顺次连接DE，EF，FA，AB，BC．得到正六边形ABCDEF．

问题解决
任务一
根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）
任务二
将正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转60°，直接写出此时点E所在位置的坐标： ．
成绩/分
6
7
8
9
10
人数
1
2
m
3
n