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2024贵州中考数学一轮知识点复习 微专题 图形折叠问题（课件）
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这是一份2024贵州中考数学一轮知识点复习 微专题 图形折叠问题（课件），共25页。PPT课件主要包含了∠DAG，四边形FDAG，∠AGF，自主解答，思维教练，例2题图，类型一折痕确定，例1题图，解法二利用相似，类型二折痕过一动点等内容，欢迎下载使用。
折叠基本性质：1. 折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形．
①线段相等：ED′＝______，EG＝______，FD′＝______；②角度相等：∠D′＝________，∠D′EG＝________；③全等关系：四边形FD′EG≌____________．
2. 折痕可看作垂直平分线：GF⊥________，OA＝OE(折痕垂直平分连接两个对应点的连线)．3. 折痕可看作角平分线：∠EGF＝________(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等)．
折叠有关计算：一、利用勾股定理求解
例1 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，将矩形沿折痕EF折叠，点C恰好落在点A处，点D的对应点为D′，求AE的长．
解：设AE＝x，则D′E＝DE＝AD－AE＝5－x，AD′＝CD＝AB＝3，在Rt△AD′E中，AD′2＋D′E2＝AE2，∴32＋(5－x)2＝x2，解得x＝ . 即AE的长是 .
二、利用三角形相似求解
例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，将矩形沿折痕AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，求EC的长．
当折痕确定时，直接根据折叠的性质得到线段、角度的等量关系，再利用勾股定理、相似、三角函数、或等面积法直接求解即可．
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将直角边AB沿直线AD折叠，使它落在斜边AC上，且点B与点E重合，求BD的长．
【解法一】利用勾股定理
解：∵△ABD与△AED关于AD成轴对称，∴AE＝AB＝6，BD＝DE，∠ABD＝∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2＋BC2＝62＋82＝102，∴AC＝10，∴CE＝AC－AE＝4，设BD＝DE＝x，则CD＝BC－BD＝8－x，在Rt△CDE中，由勾股定理得x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，即BD＝3.
解：∵△ABD与△AED关于AD成轴对称，∴AE＝AB＝6，BD＝DE，∠ABD＝∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2＋BC2＝62＋82＝102，∴AC＝10，∴CE＝AC－AE＝4，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴解得DE＝3，∴BD＝3.
【解法三】利用等面积法
解：∵△ABD与△AED关于AD成轴对称，∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2＋BC2＝62＋82＝102，∴AC＝10，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，∴ BC·AB＝ BD·AB＋ AC·DE，∴ ×8×6＝ ×6 BD＋ ×10DE＝ ×16BD，解得BD＝3.
例2 如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝3，将△ABC沿AC折叠，点B落在点E处，此时CE交AD于点F，则CF的长为________．
当折痕过一动点的线段问题解题方法如下：首先根据折叠的性质得到线段相等，然后再利用勾股定理、相似、锐角三角函数等列方程求解．
例3 如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝54°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为( )A. 27° B. 32° C. 36° D. 40°
例4 如图，在矩形ABCD中，点P是AB边上的一点，将△PBC沿PC折叠，使点B落在AD上点B′处，若AB＝3，BC＝5，则AP的长为_____．
例5 如图，将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A(3，0)，点B(0，4)，点O(0，0)．P是边AB上的一点(点P不与点A，B重合)，沿着OP折叠该纸片，得点B的对应点B′.当B′P∥x轴时，点B′的坐标为________．
当折叠后出现含30°，45°角的直角三角形时，可利用特殊三角形的性质解题；例6 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕分别与斜边AB分别交于点E、F，则B′F的长为________．
例7 如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝4，点P是AD上的点，且AP＝3，点E是BC边上一动点，将矩形ABCD沿直线PE折叠，点A，B的对应点分别为点A′，B′，点B′落在BC下方，当A′、B′、D共线时，BE的长为________．
当折痕不确定时，常先分析已知条件判断折叠后的图形再求解．折叠方式不确定的问题有时会产生多解问题，可以通过关键条件，进行分类讨论，画出所有可能情况，把折叠方式不确定问题转化为折叠方式确定问题．
例8 如图，正方形纸片ABCD的边长为6，点E，F分别是AB，CD的中点，点G在AD上，点H在AE上，将纸片沿GH所在直线折叠，得到△GMH，若FM＝2EM，则AH的长为________．
例9 如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点B(2 ，2)．D是边BC上一点(不与点B重合)，过点D作DE∥OB交OC于点E.将该纸片沿DE折叠，得点C的对应点C′.当点C′落在OB上时，点C′的坐标为________．
折叠基本性质：1. 折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形．
①线段相等：ED′＝______，EG＝______，FD′＝______；②角度相等：∠D′＝________，∠D′EG＝________；③全等关系：四边形FD′EG≌____________．
2. 折痕可看作垂直平分线：GF⊥________，OA＝OE(折痕垂直平分连接两个对应点的连线)．3. 折痕可看作角平分线：∠EGF＝________(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等)．
折叠有关计算：一、利用勾股定理求解
例1 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，将矩形沿折痕EF折叠，点C恰好落在点A处，点D的对应点为D′，求AE的长．
解：设AE＝x，则D′E＝DE＝AD－AE＝5－x，AD′＝CD＝AB＝3，在Rt△AD′E中，AD′2＋D′E2＝AE2，∴32＋(5－x)2＝x2，解得x＝ . 即AE的长是 .
二、利用三角形相似求解
例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，将矩形沿折痕AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，求EC的长．
当折痕确定时，直接根据折叠的性质得到线段、角度的等量关系，再利用勾股定理、相似、三角函数、或等面积法直接求解即可．
例1 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将直角边AB沿直线AD折叠，使它落在斜边AC上，且点B与点E重合，求BD的长．
【解法一】利用勾股定理
解：∵△ABD与△AED关于AD成轴对称，∴AE＝AB＝6，BD＝DE，∠ABD＝∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2＋BC2＝62＋82＝102，∴AC＝10，∴CE＝AC－AE＝4，设BD＝DE＝x，则CD＝BC－BD＝8－x，在Rt△CDE中，由勾股定理得x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，即BD＝3.
解：∵△ABD与△AED关于AD成轴对称，∴AE＝AB＝6，BD＝DE，∠ABD＝∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2＋BC2＝62＋82＝102，∴AC＝10，∴CE＝AC－AE＝4，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴解得DE＝3，∴BD＝3.
【解法三】利用等面积法
解：∵△ABD与△AED关于AD成轴对称，∴BD＝DE，∠ABD＝∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2＋BC2＝62＋82＝102，∴AC＝10，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，∴ BC·AB＝ BD·AB＋ AC·DE，∴ ×8×6＝ ×6 BD＋ ×10DE＝ ×16BD，解得BD＝3.
例2 如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝3，将△ABC沿AC折叠，点B落在点E处，此时CE交AD于点F，则CF的长为________．
当折痕过一动点的线段问题解题方法如下：首先根据折叠的性质得到线段相等，然后再利用勾股定理、相似、锐角三角函数等列方程求解．
例3 如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝54°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为( )A. 27° B. 32° C. 36° D. 40°
例4 如图，在矩形ABCD中，点P是AB边上的一点，将△PBC沿PC折叠，使点B落在AD上点B′处，若AB＝3，BC＝5，则AP的长为_____．
例5 如图，将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A(3，0)，点B(0，4)，点O(0，0)．P是边AB上的一点(点P不与点A，B重合)，沿着OP折叠该纸片，得点B的对应点B′.当B′P∥x轴时，点B′的坐标为________．
当折叠后出现含30°，45°角的直角三角形时，可利用特殊三角形的性质解题；例6 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕分别与斜边AB分别交于点E、F，则B′F的长为________．
例7 如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝4，点P是AD上的点，且AP＝3，点E是BC边上一动点，将矩形ABCD沿直线PE折叠，点A，B的对应点分别为点A′，B′，点B′落在BC下方，当A′、B′、D共线时，BE的长为________．
当折痕不确定时，常先分析已知条件判断折叠后的图形再求解．折叠方式不确定的问题有时会产生多解问题，可以通过关键条件，进行分类讨论，画出所有可能情况，把折叠方式不确定问题转化为折叠方式确定问题．
例8 如图，正方形纸片ABCD的边长为6，点E，F分别是AB，CD的中点，点G在AD上，点H在AE上，将纸片沿GH所在直线折叠，得到△GMH，若FM＝2EM，则AH的长为________．
例9 如图，将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点B(2 ，2)．D是边BC上一点(不与点B重合)，过点D作DE∥OB交OC于点E.将该纸片沿DE折叠，得点C的对应点C′.当点C′落在OB上时，点C′的坐标为________．
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