[数学]四川省南充市西充县部分校2024届高三高考模拟联考试题（理）（解析版）

这是一份[数学]四川省南充市西充县部分校2024届高三高考模拟联考试题（理）（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，四象限，经过第一，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题
1. 已知复数满足，则复数在复平面内对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】设，则.
因为，则，
可得，解得，
即，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
2. 已知椭圆的离心率为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由椭圆，可得，，则，
所以，解得.故选：B.
3. 若集合，，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，即，解得，
所以，
当时，，符合，
当时，由，解得，
所以，
因为，所以，解得.
综上可得的取值范围为.
故选：D
4. 设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立；
当且时，设存在直线，，且，
因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可知，
所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分条件.
故选：C.
5. 若满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】画出可行域如图所示，由，解得，
如图，当过点时，取得最小值，且最小值为.
故选：C.
6. 记等差数列的前项和为.若，，则（ ）
A. 140B. 70C. 160D. 80
【答案】D
【解析】因为是等差数列，所以，故.故选：D.
7. 三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个晚会都必须有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（ ）
A. 8种B. 12种C. 16种D. 24种
【答案】B
【解析】第一种情况，只有两人参加晚会，有种去法；
第二种情况，三人参加晚会，有种去法，共12种去法.故选：B.
8. 执行如图所示的程序框图后，输出的值为7，则p的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，当时，执行循环体，当时，结束循环，输出，
运行程序框图，；；；，结束循环，
所以的取值范围为.
故选：A
9. 已知函数，现有下列四个结论：①是偶函数；②是周期为的周期函数；③在上单调递减；④的最小值为.其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①③B. ③④C. ①②④D. ①③④
【答案】D
【解析】因为，的定义域为全体实数，所以是偶函数，①正确；
，②错误；
当时，，
因为，所以在上单调递减，
又单调递增，所以在上单调递减，③正确；
因为，所以是周期为的周期函数，
当时，
则的最小值为，④正确.
故选：D.
10. 设，是双曲线：的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题可知经过第二、四象限，经过第一、三象限，设的倾斜角为.
当时，则，即，，
即，所以.
当时，，即，，
即，所以.
综上，双曲线的离心率的平方为.故选：C.
11. 已知奇函数的定义域为R，且，则在上的零点个数的最小值为（ ）
A. 7B. 9C. 10D. 12
【答案】B
【解析】由，可得的图象关于点对称，
又是奇函数，所以，则的周期为3，
所以
，则.故在上的零点个数的最小值为9.
取，显然满足题意，且恰好在上有9个零点.
故选：B.
12. 在长方形中，，，点在线段上（不包含端点），沿将折起，使二面角的大小为，，则四棱锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，，其中为定值，
则点A到的距离为，，，
要使得四棱锥的体积最大，则，
此时四棱锥的体积，
则，
在上单调递减，且当时，.
令，，则，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
即四棱锥体积的最大值为.
故选：C
第Ⅱ卷
二、填空题
13. 若，则______.
【答案】
【解析】由，可得，则.
故答案为：.
14. 已知0是函数的极大值点，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】由题，
当时，恒成立，故是增函数，无极值点，不符合；
当时，令或，
若，，所以：
当时，，故在和上单调递增，当时，，故在上单调递减，
则在处取得极小值，是的极小值点，不符合；
若时，，所以：
当时，，故在和上单调递增，
当时，，故在上单调递减，
则在处取得极大值，是的极大值点，
所以0是函数的极大值点，则的取值范围为.
故答案为：.
15. 已知点是的重心，，，，则________．
【答案】
【解析】由于点是的重心，故，
故，
即，
故
，故答案为：
16. 假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为______.
【答案】
【解析】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，
则，.
又，，所以，，
则，所以，
所以是首项和公差均为的等差数列，
所以，
所以，所以.
故答案为：.
三、解答题
（一）必考题：共60分．
17.在中,内角的对边分别为,且.
（1）求的值；
（2）若，证明：为直角三角形.
（1）解：由，
可得，
所以，
所以，
则，即.
（2）证明：由（1）可得.
又，所以，
即，
故，
所以，
即，
因为，所以为锐角，
解得（负值舍去），即，
所以为直角三角形.
18. 现统计了甲次投篮训练的投篮次数和乙次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：
已知甲次投篮次数的平均数，乙次投篮次数的平均数.
（1）求这次投篮次数的平均数与方差.
（2）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了三次，表示甲投篮的次数，求的分布列与期望.
解：（1）这次投篮次数的平均数；
甲次投篮次数的方差，
乙次投篮次数的方差，
这次投篮次数的方差.
（2）所有可能的取值为，
；；；
的分布列为：
的期望.
19. 如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，，.
（1）证明：.
（2）已知平面平面，求二面角的正弦值.
（1）证明：设为的中点，连接，，，，
因为，所以，
因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则，
又平面，平面，，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，平面，
，所以平面，
因为平面，所以，所以四边形为菱形，即.
（2）解：因为平面平面，
且平面平面，，平面，
所以平面；
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设.
则，，，，，
可得，，.
设平面的法向量为，则
令，则，，可得.
设平面的法向量为，则
令，则，，可得.
，
故二面角的正弦值为.
20. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求取值范围.
解：（1）的定义域为.
关于的方程，
当时，，，
所以在上单调递增.
当时，，此时，
，所以在上单调递增.
当时，则是方程的两根.
又，所以，
令，解得或，
令，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由，可得，即.
令，易知单调递增.
由，可得，则，即.
设，则，当时，单调递减，
当时，单调递增，所以，
所以，则的取值范围为.
21. 已知为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于，（，异于点）两点，且以为直径的圆过点.
（1）求的方程；
（2）已知，，是上的三点，若为正三角形，为的中心，求直线斜率的最大值.
解：（1）设，，，联立方程得，
则，.
因为以为直径的圆过点，所以，则，即，
解得，
所以，解得，所以的方程为.
（2）设，，.不妨设，，按逆时针顺序排列.
①当有一边斜率不存在时，另一顶点为，不妨设，
则，.
与抛物线的方程联立得，，中心.
②当三边的斜率都存在时，，.
又，所以，
化简可得，
同理可得，
，
三式相加得.
因为，，是上的三点，所以，
又，
所以.
设，则，，代入上式得.
又①也满足，所以的轨迹方程为.
当，直线的斜率为，当且仅当时，
直线的斜率取得最大值.
当时，直线的斜率.综上，直线斜率的最大值为.
（二）选考题
22. 已知直线：（为参数），曲线：.
（1）求的普通方程和曲线的参数方程；
（2）将直线向下平移个单位长度得到直线，是曲线上的一个动点，若点到直线的距离的最小值为，求的值.
解：（1）由直线：（为参数），
消去参数，可得的普通方程为.
由曲线：，可得曲线的参数方程为（为参数）；
（2）的方程为，即.
设点的坐标为，
则点到直线的距离.
因为，所以当时，d取得最小值，
即，解得.
23. 已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
当时，化为，解得，则；
当时，化为，解得，则；
当时，可化为，解得，则，
所以不等式的解集为.
（2）当时，化为，即，
整理得，则，
依题意，当时，不等式恒成立，
而，因此，所以实数的取值范围为.甲
乙