山东省烟台市第二中学高一下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份山东省烟台市第二中学高一下学期期末考试数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了现对有如下观测数据， 等内容，欢迎下载使用。
1.下列条件中，能判断平面与平面平行的是（ ）
A. 内有无穷多条直线都与平行B. 与同时平行于同一条直线
C. 与同时垂直于同一条直线D. 与同时垂直于同一个平面
【答案】C
【解析】
【分析】
利用空间几何元素的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】A. 内有无穷多条直线都与平行,则还可能和相交，所以该选项错误；
B. 与同时平行于同一条直线，则还可能和相交，所以该选项错误；
C. 与同时垂直于同一条直线，则和平行，所以该选项正确；
D. 与同时垂直于同一个平面，则还可能和相交，所以该选项错误.
故选：C
【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2.某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（ ）
A. 630B. 615C. 600D. 570
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分层抽样的方法，结合比例的性质计算即可.
【详解】高一年级共有学生1200人，
按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，
样本中共有男生42人，
则高一年级的女生人数约为：.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了分层抽样的运用，属于基础题.
3.已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是.则这种产品的一级品率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件概率公式直接求解即可.
【详解】设事件A为合格品，事件B为一级品，则
所以
故选：A
【点睛】本题考查条件概率，考查基本分析求解能力，属基础题.
4.是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地月日到日日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）
A. 从日到日，日均值逐渐降低
B. 这天的日均值的中位数是
C. 这天中日均值的平均数是
D. 从这天的日均监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是
【答案】B
【解析】
【分析】
由折线图数据可判断出正确；由数据可计算得到中位数和平均数，知错误，正确；根据古典概型可计算得到正确.
【详解】选项：日到日，由折线图知日均值每日逐渐降低，正确；
选项：这天日均值的中位数为，错误；
选项：日均值的平均数为，正确；
选项：天中，空气质量为一级的有天，则随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率为，正确.
故选：
【点睛】本题考查根据统计图表判断命题的问题，涉及到平均数、中位数和古典概型的相关知识，属于基础题.
5.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chu meng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体是一个刍甍，其中是正三角形，，则以下两个结论：①；②，（ ）
A. ①和②都不成立B. ①成立，但②不成立
C. ①不成立，但②成立D. ①和②都成立
【答案】B
【解析】
【分析】
利用线面平行的性质及勾股定理即可判断.
【详解】解：∵，CD在平面CDEF内，AB不在平面CDEF内，
∴平面CDEF，
又EF在平面CDEF内，
由AB在平面ABFE内，且平面平面，
∴EF，故①对；
如图，取CD中点G，连接BG，FG，由AB＝CD＝2EF，易知GF，且DE＝GF，
不妨设EF＝1，则，
假设BF⊥ED，则，即，即FG＝1，但FG长度不定，故假设不一定成立，即②不一定成立.
故选：B.
【点睛】本题考查线面平行的判定及性质，考查垂直关系的判定，考查逻辑推理能力，属于中档题.
6.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．
【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，
∴P(A)，P(B)，
又小于5偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，
所以事件A和事件B为互斥事件，
则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为
P（A∪B）＝P(A)+P(B)，
故选：A．
【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．
7.现对有如下观测数据
记本次测试中，两组数据的平均成绩分别为，两班学生成绩的方差分别为，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平均数以及方差的计算公式即可求解.
【详解】，，
，
，故，
故选：C
【点睛】本题考查了平均数与方差，需熟记公式，属于基础题.
8.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒
A. 平面PACB. C. D. 平面平面PBC
【答案】C
【解析】
【分析】
根据线面垂直的性质及判定，可判断ABC选项，由面面垂直的判定可判断D.
【详解】对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而底面圆面，则，
又由圆的性质可知，且，
则平面PAC.所以A正确；
对于B，由A可知，由题意可知，且，所以平面，而平面，所以，所以B正确；
对于C，由B可知平面，因而与平面不垂直，所以不成立，所以C错误.
对于D，由A、B可知，平面PAC，平面，由面面垂直的性质可得平面平面PBC.所以D正确；
综上可知，C为错误选项.
故选：C.
【点睛】本题考查了线面垂直的性质及判定，面面垂直的判定定理，属于基础题.
二 ､多选题
9.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（ ）
A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”
B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D. “至少有一个黑球”与“都是红球”
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据互斥事件的定义逐一对四个选项进行分析即可.
【详解】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A正确；
“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不正确.
故选：AB.
【点睛】本题考查互斥事件，解题关键是要理解互斥事件的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.
10.某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 女生身高的极差为12B. 男生身高的均值较大
C. 女生身高的中位数为165D. 男生身高的方差较小
【答案】AB
【解析】
【分析】
从茎叶图上计算极差，中位数，而均值和方差可通过茎叶图估计即可（当做也可计算实际值）．
【详解】女生的极差是173-161=12，A正确；由茎叶图数据，女生数据偏小，男生平均值大于女生值，B正确；女生身高中位数是166，C错误；女生数据较集中，男生数据分散，应该是男生方差大，女生方差小，D错．（也可实际计算均值和方差比较）．
故选：AB.
【点睛】本题考查茎叶图，考查学生的数据处理能力．掌握样本数据特征如极差、方差、均值、中位数是解题基础．
11.下面四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
对每个图形进行分析，根据面面平行的性质定理对A判断．由线面平行 判定定理对D判断，由线面相交的定义对B，C判断．
【详解】（下面说明只写主要条件，其他略）
A如图连接，可得，从而得平面，平面，于是有平面平面，∴平面，
B．如图连接交于点，连接，易知在底面正方形中不是中点（实际上是四等分点中靠近的一个），而是中点，因此与不平行，在平面内，与必相交，此交点也是直线与平面的公共点，直线与平面相交而不平行，
C.如图，连接，正方体中有，因此在平面内，直线与平面相交而不平行，
D.如图，连接，可得，，即，直线与平面平行，
故选：AD
【点睛】本题考查线面平行的判定定理和面面平行的性质定理，掌握证明线面平行的方法是解题基础．
12.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 在棱上存在点M，使平面
B. 异面直线与所成的角为90°
C. 二面角的大小为45°
D. 平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据线面垂直的判定及性质定理一一验证可得.
【详解】解：如图，对于，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，
，又底面是菱形，，是等边三角形，
，又，，平面，
平面，故正确.
对于，平面，，即异面直线与所成的角为90°，故正确.
对于，∵平面平面，，平面，，
是二面角的平面角，设，则，，
在中，，即，故二面角的大小为45°，故正确.
对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.
故选：
【点睛】本题考查线面垂直的判定及异面直线所成的角，属于基础题.
三､填空题
13.已知三个事件A，B，C两两互斥且，则P(A∪B∪C)=__________.
【答案】0.9
【解析】
【分析】
先计算，再计算
【详解】
故答案为0.9
【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算，属于基础题型.
14.正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值为 ____ ．
【答案】
【解析】
试题分析：连接,则为与平面所成角，在中，
考点：本小题主要考查直线与平面所成角的求法，考查学生的空间想象能力与运算求解能力.
点评：求直线与平面所成的角，一般分为两大步：（1）找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；（2）计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.
15.某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为______________，80%分位数是______________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
利用极差和百分位数的概念求解.
【详解】由题意知：
数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的极差是；
所以数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的80%分位数是.
故答案为：7，8.5.
【点睛】本题主要考查极差和百分位数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
16.在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面，，分别是线段的中点，点在线段上，若，，，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】
取的中点，连接，则，可证平面，从而可得平面，即可得，进而可证平面，可得，在直角中，利用等面积法即可求出的长.
【详解】取的中点，连接，则
因为平面，平面，所以，
又，，所以平面，
所以平面，又平面，所以.
又，，平面,
所以平面，因为平面，所以.
因为分别为的中点，所以，所以,
在直角中，，所以，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，等面积法，属于中档题.
四､解答题
17.为了了解某校初三年级500名学生的体质情况，随机抽查了10名学生，测试1min仰卧起坐的成绩(次数)，测试成绩如下：
30 35 42 33 34 36 34 37 29 40
（1）这10名学生的平均成绩是多少？标准差s是多少？
（2）次数位于与之间有多少名同学？所占的百分比是多少？(参考数据：3.82≈14.6)
【答案】（1）平均成绩：，标准差：；（2）次数位于与之间的有6位同学，.
【解析】
【分析】
（1）根据平均数公式以及标准差公式分别求解即可；
（2）先求，，再确定位于与之间学生人数，最后求百分比.
【详解】（1）10名学生的平均成绩为：. 方差：，
即标准差.
（2），，
所以次数位于与之间的有6位同学，
所占的百分比是.
【点睛】本题考查平均数、标准差、百分比，考查基本分析求解能力，属基础题.
18.某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图(如图所示).已知这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人.
（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；(中位数保留两位小数)
（2）现用分层抽样的方法从分数在，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.
【答案】（1），，中位数：；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图的面积和为1、这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人列式求解a，b的值，再根据中位数左右两边的面积均为计算即可.
（2）在分数为的同学中抽取4人，分别用，，，表示，
在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示，再利用枚举法求解即可.
【详解】（1）依题意， ，
解得，，
中位数.
（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A
由题意知，在分数为的同学中抽取4人，分别用，，，表示，
在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示，
从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：，，，，
，，，，，，，，，，共15种，
抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：，，，，，，，共8种，
所以，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础题.
19.国家射击队的某队员射击一次，命中7~10环的概率如表所示：
求该射击队员射击一次 求:
（1）射中9环或10环的概率；
（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率．
【答案】(1)0.6;(2)0.78;(3)0.22.
【解析】
分析：（1）根据互斥事件概率加法得结果，（2）根据互斥事件概率加法得结果，（3）根据对立事件概率关系求结果.
详解：
记事件“射击一次，命中k环”为Ak（k∈N，k≤10），则事件Ak彼此互斥．
（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得
P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60
（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得
P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）=0.18+0.28+0.32=0.78
（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”对立事件：即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得
P（）=1-P（B）=1-0.78=0.22
点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)，独立事件概率乘法公式:若A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).
20.如图，四棱锥的侧面是正三角形，，且，，是中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，且，求多面体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.
（2）取中点，连接，通过割补法，由计算出多面体的体积.
【详解】（1）取的中点，连接，
因为是中点，
所以，且，
又因为，，
所以，，
即四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）取中点，连接，
因为是正三角形，所以，
因为平面平面，且交线为，
所以平面，
因为，所以平面，
所以，
故，，
因为是中点，所以点到平面的距离等于，
所以多面体的体积为：
.
【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查锥体体积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
21.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．
（I）写出该试验的基本事件，并求事件A发生的概率；
（II）求事件B发生的概率；
（III）事件A与事件C至少有一个发生的概率．
【答案】（I）||=36，P（A）= （II）（III）
【解析】
【分析】
（I）用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（II）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（III）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件与事件至少有一个发生的概率.
【详解】（I）所有可能的基本事件为：
共种.
其中“两数之和为”的有共种，故.
（II）由（I）得“两数之和是的倍数”的有共种，故概率为.
（III）由（I） “两个数均为偶数”的有种，“两数之和为”的有共种，重复的有 三种，故事件与事件至少有一个发生的有种，概率为.
【点睛】本小题主要考查古典概型的计算公式，考查列举法求解古典概型问题，属于基础题.
22.如图1，等腰梯形中，，是的中点.将沿折起后如图2，使二面角成直二面角，设是的中点，是棱的中
点.

（1）求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）判断能否垂直于平面，并说明理由.
【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析（3）与平面不垂直，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）证明，只需证明平面，利用与E是等边三角形，即可证明；
（2）证明平面平面，只需证明平面，只需证明平面即可；
（3）与平面不垂直.假设平面，则，从而可证明平面，可得，这与矛盾.
【详解】（1）证明：设中点为，连接，
∵在等腰梯形中，，，，是的中点，∴与都是等边三角形.
∴，.
∵，､平面，
∴平面.
∵平面，∴.
（2）证明：连接交于点，∵，，∴四边形是平行四边形，∴是线段的中点.
∵是的中点，∴.
∵平面，∴平面.
又∵平面，
∴平面平面.
（3）解：与平面不垂直.
证明：假设平面，则，∵平面，∴.
∵，､平面，∴平面.
∵平面，∴，这与矛盾.
∴与平面不垂直.
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查证明面面垂直，掌握面线面、面面垂直的判定定理与性质定理是解题关键，解题时注意定理的灵活运用，即线线垂直与线面垂直、面面垂直的相互转化.
3
4
5
6
7
16
15
13
14
17
命中环数
10环
9环
8环
7环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12