高考第一轮文科数学（人教A版）解答题专项二　三角函数与解三角形

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(1)若PB=12,求PA;
(2)若∠APB=150°,设∠PBA=α,求tan α.
2.在△ABC中,a+b=10,A=60°,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:
(1)b的值;
(2)sin C及△ABC的面积.
条件①:c=5;条件②:cs B=1314.
3.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,函数f(x)=asin 2x+bcs 2x,且函数f(x)在x=π6处取得最大值4.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若△ABC的面积为3,求c.
4.(2023陕西西安联考)已知在锐角△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边.若sin Asin Bsin C=32(sin2A+sin2B-sin2C).
(1)求sin C;
(2)若c=3,求△ABC周长的取值范围.
5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2acs Bsin A+bsin 2A=23acs C.
(1)求tan C的值;
(2)设△ABC的内切圆半径为r,若c=4,求△ABC的面积取最大值时r的值.
6.已知函数f(x)=sinx+π6sinπ3-x+cs2x-π3.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数g(x)=fx+φ-π24-12,φ∈(0,π)且tan φ=34,求函数g(x)在区间0,π2上的取值范围.
参考答案
解答题专项二 三角函数与解三角形
1.解(1)由已知得∠BPC=90°,又PB=12,BC=1,
所以∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.
在△PBA中,由余弦定理,得PA2=3+14-2×3×12cs 30°=74,故PA=72.
(2)由已知得∠PBC=90°-α,所以PB=sin α,
在△PBA中,由正弦定理,得3sin150°=sinαsin(30°-α),
化简得3cs α=4sin α,
所以tan α=34.
2.解方案一:选择条件①.
(1)因为c=5,cs A=cs 60°=12,
由余弦定理a2=b2+c2-2bccs A,
即a2=b2+52-5b,
又由a=10-b,代入可得(10-b)2=b2+25-5b,
解得b=5.
(2)由(1)可得a=10-5=5,所以a=b=c,即△ABC是等边三角形,
所以C=60°,可得sin C=32,
所以S△ABC=12absin C=12×5×5×32=2534.
方案二:选择条件②.
(1)因为B∈(0,π),且cs B=1314,可得sin B=1-cs2B=3314,
由正弦定理asinA=bsinB,可得ab=sinAsinB,
又因为A=60°,所以sin A=32,即ab=323314=73.
又因为a+b=10,所以a=7,b=3.
(2)由sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acs B+cs Asin B
=32×1314+12×3314=437,
所以S△ABC=12absin C=12×7×3×437=63.
3.解(1)f(x)=asin 2x+bcs 2x=a2+b2sin(2x+φ),其中tan φ=ba.
因为函数f(x)在x=π6处取得最大值4,所以a2+b2=4,
且tan φ=ba=tanπ6=33,所以a=23,b=2,
所以f(x)=4sin2x+π6.
令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,解得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z,
即函数f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6,k∈Z.
(2)因为a=23,b=2,且△ABC的面积为3,所以S△ABC=12absin C=23sin C=3,解得sin C=12.
因为0