高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第6章《幂函数、指数函数、对数函数》中的值域问题(原卷版+解析)

这是一份高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第6章《幂函数、指数函数、对数函数》中的值域问题(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了典型题型1，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题型1 求与幂函数有关的复合函数值域5
题型2 根据幂函数值域求参数或范围10
题型3 求与指数函数有关的复合函数值域14
题型4 根据指数函数值域求参数或范围5
题型5 求与对数函数有关的复合函数值域10
题型6 根据对数函数值域求参数或范围14
一．典型例题
题型1 求与幂函数有关的复合函数值域
反思领悟：
例1 函数，其中，则其值域为___________.
例2 已知函数．
(1)求的解析式；
(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．
题型2 根据幂函数值域求参数或范围
反思领悟：
例1 已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
例2 已知幂函数在上单调递增，函数．
(1)求实数m的值；
(2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围．
题型3 求与指数函数有关的复合函数值域
反思领悟：
例1 设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．
例2 已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数的值域；
(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．
题型4 根据指数函数值域求参数或范围
反思领悟：
例1 若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是______．
例2 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“准奇函数”.
(1)已知函数，试问是否为“准奇函数”？说明理由；
(2)若为定义在上的“准奇函数”，试求实数的取值范围；
题型5 求与对数函数有关的复合函数值域
反思领悟：
例1 已知函数，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是___________.
例2 设，且.
(1)求的值及的定义域；
(2)求在区间上的最大值.
题型6 根据对数函数值域求参数或范围
反思领悟：
例1 已知．若的值域为，则实数的取值范围是______．
例2 已知函数．
(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；
(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．
二．活学活用培优训练
一、单选题
1．幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（ ）
A．B．C．D．
2．函数，的值域是( )
A．B．C．D．
3．已知当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．C．D．
5．若函数的定义域是，则函数值域为（ ）
A．B．C．D．
6．若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．已知幂函数的图象经过点.则（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．是偶函数D．的单调增区间为
8．已知函数，则（ ）
A．的值域为RB．是R上的增函数
C．是R上的奇函数D．有最大值
三、填空题
9．函数，其中，则其值域为___________.
10．若函数的值域为，则实数的取值范围为______．
11．已知，，设函数，_____.
12．已知函数在上恒正，则实数的取值范围是__________．
四、解答题
13．已知函数
（1）若a=1，x[0,1]，求f(x)的值域；
（2）当时，求f(x)的最小值h(a)；
（3）是否存在实数m，n，同时满足下列条件：①n>m>3；②当h(a)的定义域为[m,n]时，其值域为[m2,n2].若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
14．已知函数，．
(1)若对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若，且的最小值为，求实数k的值．
15．已知函数是奇函数，且.
(1)求函数的解析式，并判定函数在区间上的单调性（无需证明）；
(2)已知函数且，已知在的最大值为2，求的值.
第6章《幂函数、指数函数、对数函数》中的值域问题
TOC \ "1-4" \h \z \u 一、典型题型1
题型1 求与幂函数有关的复合函数值域3
题型2 根据幂函数值域求参数或范围5
题型3 求与指数函数有关的复合函数值域7
题型4 根据指数函数值域求参数或范围9
题型5 求与对数函数有关的复合函数值域10
题型6 根据对数函数值域求参数或范围12
一．典型例题
题型1 求与幂函数有关的复合函数值域
反思领悟：
例1 函数，其中，则其值域为___________.
【答案】##
【分析】利用换元法将函数化为，结合二次函数的性质即可得出结果.
【详解】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为.
故答案为：
例2 已知函数．
(1)求的解析式；
(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，则，进而根据换元法求解即可；
（2）结合函数的单调性得，进而将问题转化为对任意，不等式恒成立，再求解恒成立问题即可.
（1）
解：令，则，
则，
故．
（2）
解：由（1）可得．
因为函数和函数均在上单调递增，
所以在上单调递增．
故．
对任意，，不等式恒成立，
即对任意，不等式恒成立，
则解得或．
故的取值范围是．
题型2 根据幂函数值域求参数或范围
反思领悟：
例1 已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解.
【详解】由函数单调递增，
①当时，若，有，
而，此时函数的值域不是；
②当时，若，有，而，
若函数的值域为，必有，可得．
则实数的取值范围为．
故答案为：
例2 已知幂函数在上单调递增，函数．
(1)求实数m的值；
(2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数特征得，再由单增确定值；
（2）先求出值域，由为减函数求出值域，结合结合边界值建立不等式，解不等式即可求解k的取值范围．
(1)
∵为幂函数，∴，
解得或，
当时，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
∴；
(2)
由（1）得，∴时，，
∵为上的减函数，
∴当时，，
∵，∴，
∴解得，
实数k的取值范围是．
题型3 求与指数函数有关的复合函数值域
反思领悟：
例1 设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【分析】参变分离可得，再根据指数函数的性质及二次函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】解：由，得，
即，
，，
则，
，则，即．
故答案为：
例2 已知函数是定义在上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)求函数的值域；
(3)当时，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用函数是奇函数求解即可．
（2）利用指数函数的值域以及不等式的性质求解即可．
（3）利用函数恒成立，参变分离，利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可．
（1）
因为是定义在上的奇函数，
所以，解得，
当时，，此时，
所以时，是奇函数.
所以；
（2）
由（1）可得，
因为，可得，所以，
所以，
所以，
所以函数的值域为；
（3）
由可得，
即，可得对于恒成立，
令，
则，
函数在区间单调递增，
所以，
所以，
所以实数m的取值范围为．
【点睛】求不等式恒成立问题常用分离参数法
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
题型4 根据指数函数值域求参数或范围
反思领悟：
例1 若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题知，进而讨论得当，时，的值域为，再分和两种情况讨论求解即可.
【详解】解：因为当时，，
所以，要使函数的定义域和值域的交集为空集，则，
当，时，值域中有元素，此时不满足题意，
所以，当，时，的值域为，
下面分两种情况讨论，
当时，函数的值域为，
要使条件满足，则，解得：
当时，函数的值域为，
要使条件满足，则，解得，
综上，正数的取值范围是
故答案为：
例2 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“准奇函数”.
(1)已知函数，试问是否为“准奇函数”？说明理由；
(2)若为定义在上的“准奇函数”，试求实数的取值范围；
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据题意分析是否有解即可；
（2）根据题意可得在上有解，化简可得在上有解，令，再根据函数的单调性分析值域即可.
（1）
假设为“准奇函数”，存在满足，
有解，化为，无解，不是“准奇函数”；
（2）
为定义在的“准奇函数”，
在上有解，在上有解，
令，在上有解，
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且时，；
时，，
，的值域为，
，
题型5 求与对数函数有关的复合函数值域
反思领悟：
例1 已知函数，对于任意的都能找到，使得，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】分别求出函数，的值域，然后由集合的包含关系得参数范围．
【详解】时，，，
时，，，
于任意的都能找到，使得，则，
所以，解得．
故答案为：．
例2 设，且.
(1)求的值及的定义域；
(2)求在区间上的最大值.
【答案】(1)2，；
(2)2.
【分析】（1）由代入可得的值，列出不等式组可得定义域；
（2）根据复合函数的单调性判断在区间的单调性即可得结果.
（1）
∵，∴，∴.
由，解得，
∴函数的定义域为.
（2）
，
∴当时，是增函数；当时，是减函数，
函数在上的最大值是.
题型6 根据对数函数值域求参数或范围
反思领悟：
例1 已知．若的值域为，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据的值域为，可得有解，再利用根的判别式即可得解.
【详解】解：因为的值域为，
所以有解，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
例2 已知函数．
(1)若的值域为R，求实数m的取值范围；
(2)若在内单调递增，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意能取内的一切值，故转化为函数的判别式大于等于0求解即可；
（2）根据复合函数的单调性可得在内单调递减且恒正，再根据二次函数的性质求解即可.
（1）
由的值域为R，可得能取内的一切值，
故函数的图象与x轴有公共点，
所以，解得或．
故实数m的取值范围为．
（2）
因为在内单调递增，
所以在内单调递减且恒正，
所以，解得．
故实数m的取值范围为．
二．活学活用培优训练
一、单选题
1．幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案.
【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意；
时，定义域为，值域为，故不合题意；
时，定义域为，值域为，符合题意；
时，定义域与值域均为R，符合题意；
时，定义域为R，值域为，不符合题意；
时，定义域与值域均为R，符合题意.
故选：C
2．函数，的值域是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，求出g(t)的值域，再根据指数函数单调性求f(x)值域.
【详解】令，
则，
则，
故选：A.
3．已知当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质即可求解.
【详解】解：根据指数函数性质知，解得．
故选：C．
4．下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】逐一判断各选项的值域即可.
【详解】对于A，值域为，不符合题意；
对于B，，值域为，不符合题意；
对于C，值域为，符合题意；
对于D，值域为，不符合题意.
故选：C
5．若函数的定义域是，则函数值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据的单调性求得正确答案.
【详解】根据复合函数单调性同增异减可知在上递增，
，
即.
故选：A
6．若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先根据函数的定义域为，求出，再令即可求求解.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，
所以，
解得：，
所以的定义域为，
故选：A.
二、多选题
7．已知幂函数的图象经过点.则（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．是偶函数D．的单调增区间为
【答案】ABD
【解析】先求出幂函数的解析式，再根据解析式判断各项的正误.
【详解】因为为幂函数，故，所以，故，
故，
所以函数的定义域为，值域为，单调增区间为，
且不是偶函数，
故选：ABD.
8．已知函数，则（ ）
A．的值域为RB．是R上的增函数
C．是R上的奇函数D．有最大值
【答案】ABC
【分析】，而得到的值域为R，判断A正确，D错误，根据增函数加增函数还是增函数进行判断B选项，根据函数奇偶性定义判断得到C选项.
【详解】，而，所以值域为R，A正确，D错误；
因为是递增函数，而是递增函数，所以是递增函数，B正确；
因为定义域为R，且，所以是R上的奇函数，C正确；
故选：ABC
三、填空题
9．函数，其中，则其值域为___________.
【答案】##
【分析】利用换元法将函数化为，结合二次函数的性质即可得出结果.
【详解】设，则.因为，所以. 当时，.所以函数的值域为.
故答案为：
10．若函数的值域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】由指数函数性质求解
【详解】令，由题意得的值域为，
又的值域为，所以解得
所以的取值范围为．
故答案为：
11．已知，，设函数，_____.
【答案】##
【分析】首先求出函数的定义域，再求出的解析式，令，则，将函数转化为关于的二次函数，再根据二次函数的性质计算可得.
【详解】解：因为，，，
由，，
所以=，
令，，则在上单调递增，
，，
；
故答案为：
12．已知函数在上恒正，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】①当时，根据定义域可知不合题意；②当时，根据二次函数对称轴位置可确定单调性，由可求得的范围，知不合题意；③当时，分别在、和三种情况下，可得单调性，根据可解得的范围；综合三种情况可得结果.
【详解】①当时，，此时定义域为，不合题意；
②当时，令，其对称轴为，
在上单调递减，在上单调递减，
，即，解得：（舍）；
③当时，令，其对称轴为；
⑴若，即时，在上单调递增，在上单调递增，
，即，解得：；
⑵若，即时，在上单调递减，在上单调递减，
，即，解得：（舍）；
⑶若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
，即，解得：（舍）；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
13．已知函数
（1）若a=1，x[0,1]，求f(x)的值域；
（2）当时，求f(x)的最小值h(a)；
（3）是否存在实数m，n，同时满足下列条件：①n>m>3；②当h(a)的定义域为[m,n]时，其值域为[m2,n2].若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析.
【解析】（1）由题意得，再由，可求得函数的值域；
（2）令，则可化为，由于，所以分，，三种情况求解即可；
（3）因为，为减函数，所以在上的值域为，
又在上的值域为，所以，即从而可得的关系，再由进行判断即可
【详解】（1）当时，由，得，
因为，所以，，
所以的值域为.
（2）令，因为，故，函数可化为.
①当时，；
②当时，；
③当时，，
.综上，
（3）因为，为减函数，所以在上的值域为，
又在上的值域为，所以，即
两式相减，得，
因为，所以，而由可得，矛盾.
所以，不存在满足条件的实数
【点睛】关键点点睛：此题考查幂函数和二次函数的综合运用，考查数学转化思想，解题的关键是利用换元法，令，将函数可化为，然后利用二次函数求最值的方法求解，考查计算能力，属于中档题
14．已知函数，．
(1)若对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若，且的最小值为，求实数k的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）问题转化为对于任意的，恒成立，然后利用基本不等式求出的最大值即可得答案，
（2）化简变形函数得，令，则，然后分，和求其最小值，从而可求出实数k的值．
（1）
由，得恒成立，
所以对于任意的，恒成立，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，
即实数k的取值范围为
（2）
，
令，当且仅当，即时取等号，
则，
当时，为减函数，则无最小值，舍去，
当时，最小值不是，舍去，
当时，为增函数，则，最小值为，解得，
综上，
15．已知函数是奇函数，且.
(1)求函数的解析式，并判定函数在区间上的单调性（无需证明）；
(2)已知函数且，已知在的最大值为2，求的值.
【答案】(1)；函数在区间上单调递减，在上单调递增
(2)或
【分析】（1）根据奇函数的性质及，即可得到方程组，求出、的值，即可得到函数解析式，再根据对勾函数的性质判断即可；
（2）分和两种情况讨论，结合对数型复合函数的单调性计算可得；
（1）
解：函数的定义域为，
是奇函数，且
，且
又
.
经检验，满足题意，
故.
当时，时等号成立，
当时，单调递减；当时，单调递增.
（2）
解：①当时，是减函数，
故当取得最小值时，且取得最大值2，
而在区间上单调递增，所以在区间上的最小值为，故的最大值是，
所以.
②当时，是增函数，
故当取得最大值时，
且取得最大值2，
而在区间上单调递增，所以在区间上的最大值为，故的最大值是，
所以.
综上所述，或.