高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第5章《函数概念与性质》中的分段函数问题汇总(原卷版+解析)

这是一份高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第5章《函数概念与性质》中的分段函数问题汇总(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了典型题型1，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题型1 求分段函数解析式或求函数的值5
题型2 分段函数的值域或最值10
题型3 根据值分段函数的单调性求参数14
题型4 已知分段函数的值求参数或自变量5
题型5 解分段函数不等式10
题型6 分段函数的单调性14
题型7 根据值分段函数的值域（最值）求参数14
一．典型例题
题型1 求分段函数解析式或求函数的值
反思领悟：
例1 已知，则f(3)=（ ）
A．3B．5C．7D．9
例2 （多选题）给定函数，，用表示，中较大者，记为，则下列错误的说法是（ ）
A． B．，
C．有最大值D．最小值为0
例3 已知函数 是奇函数.
(1)求实数m的值：
(2)求函数的单调递增区间.
题型2 分段函数的值域或最值
反思领悟：
例1 已知符号函数，，若则下列结论错误的是（ ）
A．的最大值是1B．是R上的奇函数
C．D．
例2 （多选题）已知函数，则（ ）
A．B．若，则或
C．函数在上单调递减D．函数在的值域为
例3 设函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若的最大值为m，实数a，b满足，求的最小值．
题型3 根据值分段函数的单调性求参数
反思领悟：
例1 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例2 （多选题）已知函数在区间上是减函数，则整数的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
例3 已知函数，为奇函数.
(1)求的值；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
题型4 已知分段函数的值求参数或自变量
反思领悟：
例1 已知函数满足条件：对于，唯一的，，使得，当成立时，则实数a＋b的值为（ ）
A．B．C．D．
例2 （多选题）下列关于函数，说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．不等式的解集为
C．方程有两个解D．函数在上为增函数
例3 已知函数
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象说出函数的值域.
题型5 解分段函数不等式
反思领悟：
例1 设函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
例2 （多选题）已知函数 则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．的值域为
B．
C．若，则的值是
D．的解集为
例3 已知函数
(1)若，求m的值；
(2)若，求a的取值集合．
题型6 分段函数的单调性
反思领悟：
例1 若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例2 （多选题）设，则（ ）
A．B．是偶函数
C．单调增区间是，D．值域是
例3 已知函数.
(1)求的值；
(2)若，求的单调区间.
题型7 根据值分段函数的值域（最值）求参数
反思领悟：
例1 如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例2 （多选题）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（ ）
A．B．C．0D．1
例3 已知函数 (R)．
（1）时，写出函数的单调区间；
（2）若在的最大值为，求的值．
二．活学活用培优训练
一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．已知函数则函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3．若函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则（ ）
A．的最小值为0，最大值为3B．的最小值为，最大值为0
C．的最小值为，最大值为3D．既无最小值，也无最大值
5．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：．已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
7．已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（ ）
A．B．C．0D．1
8．定义运算，设函数，则下列命题正确的有（ ）
A．的值域为
B．的值域为
C．不等式成立的范围是
D．不等式成立的范围是
9．函数的图象是折线段，如图所示，其中点，，的坐标分别为，，，以下说法正确的是（ ）
A．B．的定义域为
C．为偶函数D．满足的的取值集合为
三、填空题
10．设，若函数是定义在上的奇函数，且当时，，若是上的单调增函数，则取值范围为___________.
11．已知，则使成立的x的取值范围是_____．
12．对任意，函数，则的最小值是_______．
13．函数在上是增函数，则a的取值范围为________．
四、解答题
14．已知是定义在上的奇函数，当时，，求在上的解析式.
15．已知．
(1)用分段函数的形式表示；
(2)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域．
16．已知函数．
(1)求，；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的图象．
17．大罗山位于温州市区东南部，由四景一水网构成，它们分别是：仙岩景区、瑶溪景区、天柱寺景区、茶山景区和三垟湿地．根据温州市总体规划，大罗山将是温州市未来的“绿心”和“绿楔”，温州市区将环大罗山发展．某开发商计划2022年在三垟湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2022年有x万人游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为60元.
(1)求2022年该项目的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；
(2)当2022年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少．
第5章《函数概念与性质》 中的分段函数问题汇总
TOC \ "1-4" \h \z \u 一、典型题型1
题型1 求分段函数解析式或求函数的值5
题型2 分段函数的值域或最值10
题型3 根据值分段函数的单调性求参数14
题型4 已知分段函数的值求参数或自变量5
题型5 解分段函数不等式10
题型6 分段函数的单调性14
题型7 根据值分段函数的值域（最值）求参数14
一．典型例题
题型1 求分段函数解析式或求函数的值
反思领悟：
例1 已知，则f(3)=（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】B
【分析】根据分段函数的定义计算函数值．
【详解】.
故选：B
例2 （多选题）给定函数，，用表示，中较大者，记为，则下列错误的说法是（ ）
A． B．，
C．有最大值D．最小值为0
【答案】AC
【分析】通过作差求解的取值范围可以得到的分段函数解析式，再根据分段函数解析式求得各选项结果
【详解】由即可得
由即可得或
所以
当时，，A选项错误
当时，，B选项正确
当时，为单调递增函数，无最大值，C选项错误
因为在上单调递减，所以，D选项正确
故选：AC
例3 已知函数 是奇函数.
(1)求实数m的值：
(2)求函数的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的定义可得，代入表达式中即可求解，（2）根据分段函数每一段上的单调性，进而可得整个函数的单调性;由二次函数即可求解每一段上的单调区间即可.
(1)
∵
又为奇函数，∴，即
∴.
(2)
当时，
此时的图像开口向下，对称轴为直线,
∴在上单调递增，在上单调递减.
当时，,此时的图像开口向上，对称轴为直线,在上单调递增，在上单调递减.
∴.函数的单调递增区间为
题型2 分段函数的值域或最值
反思领悟：
例1 已知符号函数，，若则下列结论错误的是（ ）
A．的最大值是1B．是R上的奇函数
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数定义，得到的最大值，判断A正确；
先化简，再利用函数奇偶性判断B选项；
按照函数定义，得到，从而得到C正确，D错误.
【详解】因为，所以的最大值为1，A正确；
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
故，定义域关于原点对称，
且，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
所以
所以是R上的奇函数，B正确；
，
因为，所以，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，
故，
所以，C正确，D错误；
故选：D
例2 （多选题）已知函数，则（ ）
A．B．若，则或
C．函数在上单调递减D．函数在的值域为
【答案】BD
【分析】作出函数图象，根据图象逐个分析判断即可
【详解】函数的图象如左图所示．
，故A错误；
当时，，此时方程无解；当时，或，故B正确；
由图象可得，在上单调递增，故C错误；
由图象可知当时，，，故在的值域为，D正确．
故选：BD．
例3 设函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若的最大值为m，实数a，b满足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论，即可求出不等式的解集；
（2）首先得到的函数图象，即可得到，则，在根据的几何意义计算可得；
(1)
解：，
由，得或或，
解得，
即不等式的解集为．
(2)
解：由（1）可得的函数图象如下所示：
所以，即，则，
的几何意义为圆上的点到点距离的平方，
显然，所以，即的最小值为．
题型3 根据值分段函数的单调性求参数
反思领悟：
例1 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由是上的减函数列不等式，求解实数的取值范围即可.
【详解】由题意得， 解得； 解得；当时 解得.
综上得实数的取值范围为.
故选：D.
例2 （多选题）已知函数在区间上是减函数，则整数的取值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】由分段函数的单调性，结合二次函数及反比例函数性质列不等式组求参数范围.
【详解】由题意，，解得，
∴整数的取值为或或．
故选：ABC
例3 已知函数，为奇函数.
(1)求的值；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用奇函数满足，求解出；（2）利用二次函数单调性和奇偶性得到在区间上单调递增，进而得到不等关系，求出实数的取值范围.
(1)
设，则. 因为函数（）为奇函数，所以，即对，总有,整理得:（），解得.
所以.
(2)
由（1）知，
当时，，对称轴为，故在单调递减，在上单调递减，结合是奇函数，易得函数在区间上单调递增. 若在区间上单调递增， 则有，所以， 解得：. 故所求实数取值范围是.
题型4 已知分段函数的值求参数或自变量
反思领悟：
例1 已知函数满足条件：对于，唯一的，，使得，当成立时，则实数a＋b的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得在上单调递增，则值域为，则当时，的值域为，可得，在结合，代入解得．
【详解】设当时，的值域为，当时，的值域为
则根据题意可得
当时，在上单调递增，则
即，则
∵，即且，则
∴
故选：D．
例2 （多选题）下列关于函数，说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．不等式的解集为
C．方程有两个解D．函数在上为增函数
【答案】AC
【分析】根据函数的定义域、增函数的定义，结合分类讨论思想进行判断即可.
【详解】由函数的解析式可知函数的定义域为全体实数集，故选项A正确；
当时，，
当时，，而，所以，
因此不等式的解集为，故选项B不正确；
当时，，
当时，，
而，所以，
因此有两个解，故选项C正确；
因为，所以函数在上不是增函数，因此选项D不正确，
故选：AC
例3 已知函数
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象说出函数的值域.
【答案】(1)
(2)或
(3)图象见解析，
【分析】（1）根据自变量的取值代入对应的函数表达式中即可求解函数值.
（2）根据函数值的大小，代入对应的表达式中，分情况讨论即可求解.
（3）根据每一段上函数的特征分段即可画出.
（1）
因为，所以
（2）
当时，，不合题意，应舍去
当时，
解得或（舍）
当时，，则
综上，或
（3）
值域为
题型5 解分段函数不等式
反思领悟：
例1 设函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】考虑，两种情况，代入函数解不等式得到答案.
【详解】当时，，即，解得，
故；
当时，，即，解得，故.
综上所述：.
故选：B.
例2 （多选题）已知函数 则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．的值域为
B．
C．若，则的值是
D．的解集为
【答案】AC
【分析】根据一次函数的性质，结合二次函数的性质，逐一判断即可.
【详解】当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故A正确；
当时，，故B错误；
当时，由，解得(舍去)，当时，由，解得或(舍去)，故C正确；
当时，由，解得，当时，由，解得，因此的解集为，故D错误.
故选：AC.
例3 已知函数
(1)若，求m的值；
(2)若，求a的取值集合．
【答案】(1)3或-2
(2)
【分析】（1）结合分段函数解析式列方程，由此求得的值.
（2）首先判断的取值范围，然后解一元二次不等式求得的取值集合.
(1)
当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得.
∴m的值为3或-2.
(2)
对任意实数，，
，，
解得.
∴a的取值集合是.
题型6 分段函数的单调性
反思领悟：
例1 若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作出函数和的大致图象，如图，联立直线和抛物线方程求出点A、B的横坐标，对m取、、、情况分类讨论，利用数形结合的数学思想即可得出结果.
【详解】如图，作出函数和的大致图象.
，得，解得，，
注意到点A是二次函数图象的最低点，
所以若，则当时，单调递减，不符合题意；
当时符合题意；
当时，则，在时函数图象“向下跳跃”，不符合题意；
当时，符合题意.
所以m的取值范围为：或.
故选：D
例2 （多选题）设，则（ ）
A．B．是偶函数
C．单调增区间是，D．值域是
【答案】ACD
【分析】将函数写成分段函数形式，分别判断各选项.
【详解】由，得，
所以，A选项正确；
由分段函数解析式可得，B选项错误；
由分段函数可知函数在和上单调递减，在和上单调递增，C选项正确；
当时，，当时，，当时，，所以的值域为，D选项正确；
故选：ACD.
例3 已知函数.
(1)求的值；
(2)若，求的单调区间.
【答案】(1)3
(2)调增区间为，单调减区间为
【分析】（1）直接根据解析式计算即可；
（2）由得，再结合二次函数与一次函数性质求解即可.
(1)
解：因为，
所以
(2)
解：因为，所以，解得，
所以
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以的单调增区间为，单调减区间为.
题型7 根据值分段函数的值域（最值）求参数
反思领悟：
例1 如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的新定义得到且，结合函数和二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，且值域为，
即函数的最小值，最大值为，
又由函数，
当时，可得，
要是函数满足新定义，则满足，即，所以，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
例2 （多选题）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】ABC
【分析】根据函数解析式，分、、三种情况讨论，当时根据二次函数的性质只需函数在断点处左侧的函数值不小于右侧的函数值即可；
【详解】解：因为，
若，当时在上单调递增，当时，此时函数不存在最小值；
若，则，此时，符合题意；
若，当时在上单调递减，
当时，
二次函数对称轴为，开口向上，此时在上单调递增，
要使函数存在最小值，只需，解得，
综上可得.
故选：ABC
例3 已知函数 (R)．
（1）时，写出函数的单调区间；
（2）若在的最大值为，求的值．
【答案】（1）在单调递增，单调递减，单调递增；（2）或．
【解析】（1）先将函数化为，结合二次函数的性质，即可得出单调区间；
（2）根据函数解析式，分别讨论，两种情况，结合函数单调性，得出最值，由题中条件，即可得出结果.
【详解】（1），
因为函数是开口向上，对称轴为的二次函数；
函数是开口向下，对称轴为的二次函数；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2），
①时，在上单调递增，则，
所以不成立；
②时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
所以
若，则，不满足；
若，则，满足；
③时，在上单调递增，在上单调递减，
则，解得，满足；
④时，在上单调递减，则，
所以不满足．
综上：或．
【点睛】思路点睛：
已知分段函数在给定区间的最值求参数时，一般先根据分段函数的解析式，判定函数的单调性，由函数单
调性得出最值，列出方程求解；如果解析式中含参数，有时候还需要根据分类讨论的方法求解.
二．活学活用培优训练
一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．已知函数则函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分段函数的特征写出的表达式，即可判断.
【详解】由题意得，当，即时，；
当，即时，
所以
结合函数图象可知：自变量的分界线为，故排除A,C,D
故选：B．
2．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题可得函数在上是减函数，进而即得.
【详解】因为
所以函数在上是减函数，
所以，
解得．
故选：D．
3．若函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出每一段上函数的值域，再求出两值域的并集即可得的值域.
【详解】当时，，则，
所以在上递增，所以，
即，
当时，，
所以，即，
因为，
所以的值域为，
故选：C
4．已知函数，则（ ）
A．的最小值为0，最大值为3B．的最小值为，最大值为0
C．的最小值为，最大值为3D．既无最小值，也无最大值
【答案】C
【分析】写出分段函数解析式，画出函数图像，数形结合得答案.
【详解】函数
所以当时，；当时，；当时，．结合函数图像可知，函数的最大值为3，最小值为．
故选：C.
5．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式．
【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，
所以，解得．
故选：B
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：．已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出 在（0,3）上的值域，再根据高斯函数的定义，求解 的值域.
【详解】因为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，因为，
所以；
故选：D.
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．若y＝f(x)是一次函数，则y＝f(f(x))为一次函数
B．若y＝f(x)是二次函数，则y＝f(f(x))为二次函数
C．若y＝f(x)是二次函数，f(x)＝x有解，则f(f(x))＝x有解
D．若y＝f(x)是二次函数，f(x)＝x无解，则f(f(x))＝x无解
【答案】AC
【分析】A.设求解判断；B. 设求解判断；C.根据f(x)＝x有解，设，由求解判断；D.根据f(x)＝x无解，得到判断.
【详解】A.因为y＝f(x)是一次函数，设，
则，即y＝f(f(x))为一次函数，故正确；
B. 因为y＝f(x)是二次函数，设，
则，
，
所以 y＝f(f(x))不是二次函数，故错误；
C.因为f(x)＝x有解，设，则，所以，则f(f(x))＝x有解，故正确；
D.若f(x)＝x无解，即无解，则，
由,
得，
此方程不是一元二次方程，故根据，无法判断方程是否有解，故错误；
故选：AC
8．已知一次函数满足，且点在的图象上，其中，，则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据求出b判断A,根据点在函数图象上判断B，由均值不等式判断CD.
【详解】，
，
即，故A不正确；
由在函数图象上可得，即，故B正确；
由均值不等式可得，即，故C正确；
因为，
所以D正确.
故选：BCD
9．已知函数满足，则关于函数正确的说法是（ ）
A．的定义域为B．值域为
C．D．不等式的解集为
【答案】BCD
【分析】先求得函数解析式，由函数有意义的条件判断选项，由换元法和分离常数法推出，分析选项，代入求得函数值判断，根据分式不等式的解法判断选项．
【详解】令，则，所以，
所以的解析式为．
对于选项，定义域为且，即错误；
对于选项，当时，，当时，，所以值域为且，即正确；
对于选项，，即正确；
对于选项，，即，等价于，
解得，即正确．
故选：．
三、填空题
10．已知，则的值域为______.
【答案】
【分析】先求出，再结合二次函数的性质即可得出值域.
【详解】解：令，则，所以，
所以，
故的解析式为，其值域为.
故答案为：.
11．已知，则的解集为______.
【答案】####{x|x=1或x=-6}##{x|x=-6或x=1}
【分析】利用换元法求函数的解析式，结合解一元次方程的根的方法即可求解.
【详解】，令，则，
，
，
由，得，解得或，
的解集为．
故答案为：.
12．设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据给定条件，可得，分段求解析式及对应函数值集合，再结合图象推理计算作答.
【详解】因，则，又当时，，
当时，，，
当时，由，解得或，
当时，，，
显然，当时，，如图，
对任意，都有，必有，
所以m的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
13．设函数的定义域与函数的定义域的交集为D，若对任意的，都有，则称函数是集合M的元素．
(1)判断函数和是不是集合M中的元素，并说明理由；
(2)设函数，且（k，b为常数，且k≠0），试求函数的解析式；
(3)已知 ，，试求实数a，b应满足的关系．
【答案】(1)不是集合M的元素，是集合M的元素，理由见解析
(2)或
(3)
【分析】（1）欲判断函数，是否是的元素，只须验证对任意，是否成立；
（2）根据函数，且，利用待定系数法可求、的值，即可求的解析式；
（3）根据定义，问题可转换为对一切定义域中恒成立，建立等式，从而可得：恒成立，即.
（1）
因为对任意的，，所以．
因为对任意的，，所以，
故不是集合M的元素，是集合M的元素．
（2）
因为函数，且，
所以，
所以，解得或，
所以或．
（3）
易知与的定义域的交集D由满足的x构成．
因为，所以对恒成立，所以，即对恒成立，故．
14．已知函数满足，且.
(1)求和函数的解析式；
(2)用定义法证明在其定义域的单调性.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出，即得解；
（2）利用函数的单调性的定义证明.
（1）
解：由，则有，
又由，则；
所以.
（2）
证明：在其定义域为单调增函数.
证明：，其定义域为，
令，所以，
所以，
因为，，
所以，
所以在其定义域为单调增函数.
15．已知函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若对、且，都有成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等式组，即可解得函数的解析式；
（2）不妨设，可得出，则函数在上为增函数，由在上恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
(1)
解：由条件，可知函数的定义域为，
所以，，
可得，解得.
(2)
解：对、，，都有，
不妨设，由，
则，可得，
也即可得函数在区间上递增；
对任意的恒成立，即，
当时，，故，解得.
因此，实数的取值范围是.