所属成套资源：2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题（含解析）

成套系列资料，整套一键下载

浏览整套资料 (共9份)

2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题05 特殊平行四边形中翻折、旋转、类比探究、新定义问题（含解析）

展开

这是一份2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题05 特殊平行四边形中翻折、旋转、类比探究、新定义问题（含解析），共39页。试卷主要包含了四边形与翻折变换，四边形与旋转变换，类比探究问题等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
1.四边形与翻折变换
考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．
2.四边形与旋转变换
三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.
3.类比探究问题
考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.
1．（2022·广东深圳·中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边上一点，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 处，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 边于 SKIPIF 1 < 0 点．求证： SKIPIF 1 < 0
（2）【类比迁移】如图②，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边上一点，且 SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 处，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 边于点 SKIPIF 1 < 0 延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 边于点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边上的三等分点， SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折得到 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 的长．

【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 处，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 ，可证 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，即解得 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）分两种情况：（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，有 SKIPIF 1 < 0 ①，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ②，可解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）当 SKIPIF 1 < 0 时，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，同理解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】证明：（1） SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 处，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
设 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）（Ⅰ）当 SKIPIF 1 < 0 时，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折得到 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ②，
联立①②可解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）当 SKIPIF 1 < 0 时，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
同理 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
可解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．
题型一特殊平行四边形中翻折问题
1．（2024·广东肇庆·一模）在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E为 SKIPIF 1 < 0 上一个动点，把 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，当点D的对应点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 做 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于点N，交 SKIPIF 1 < 0 于点M．
(1)如图1，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如图2，当 SKIPIF 1 < 0 落在对角线 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(3)如图3，连接 SKIPIF 1 < 0 ，在折叠的过程中，满足下面条件情况下直接写出 SKIPIF 1 < 0 长．
①当 SKIPIF 1 < 0 为以 SKIPIF 1 < 0 为顶点的等腰三角形时， SKIPIF 1 < 0 长是多少？
②当 SKIPIF 1 < 0 为以B为顶点的等腰三角形时， SKIPIF 1 < 0 长是多少？
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由折叠可知 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再得出 SKIPIF 1 < 0 即可得出结论
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，由折叠可知 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理即可得出结论；
（3）①由题意可得点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上，利用三角形函数即可得出结论；②由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结论；
【详解】（1）证明：在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由折叠可知 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）解： SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，由折叠可知 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（3）解：①当 SKIPIF 1 < 0
点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线上
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
②当 SKIPIF 1 < 0 时
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴即 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
2．（2024·广东汕头·一模）在矩形 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 边上取一点E，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折，使点C恰好落在 SKIPIF 1 < 0 边上的点F处．
(1)如图①，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
(2)如图②，当 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(3)如图③，延长 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 的角平分线交于点M， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点N，当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)3
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据矩形的性质和三角函数定义，先得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由折叠的性质可得到 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由三等角证得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，可证得 SKIPIF 1 < 0 ．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解．
【详解】（1）解：∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折，使点C恰好落在 SKIPIF 1 < 0 边上点F处，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（3）解：过点N作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为G，
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中，根据勾股定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题注意考查了矩形的折叠，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的应用，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题．
3．（2024·广东珠海·一模）已知矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，P是边 SKIPIF 1 < 0 上一点，将 SKIPIF 1 < 0 沿直线 SKIPIF 1 < 0 翻折，使点A落在点E处，连结 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与射线 SKIPIF 1 < 0 相交于点F．

(1)如图1，当F在边 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
(2)若射线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于Q，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)①如图2，直线 SKIPIF 1 < 0 与边 SKIPIF 1 < 0 相交于点G，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相似，则 SKIPIF 1 < 0 ________度；
②如图3，当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的延长线相交于点H时，若 SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)４
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(3)① SKIPIF 1 < 0 ；②10
【分析】(1)根据矩形性质和 SKIPIF 1 < 0 ，推出四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由翻折性质得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ， x的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)①连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据翻折性质得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ；②连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，分别过A，H作 SKIPIF 1 < 0 于点M, SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 延长线于点N，得到 SKIPIF 1 < 0 ，由折叠性质得到， SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，推出四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，由折叠性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据勾股定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，即得 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）如图，∵在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由翻折知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；

（2）∵在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ，
∴x的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）①如图，设 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点M，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由折叠知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，

∵ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
②如图，连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，分别过A，H作 SKIPIF 1 < 0 于点M, SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 延长线于点N，则 SKIPIF 1 < 0 ，

由折叠知， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）知 SKIPIF 1 < 0 垂直平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了矩形折叠综合．熟练掌握矩形的判定和性质，折叠性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，是解题的关键．
题型二特殊平行四边形中旋转问题
1．在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形 SKIPIF 1 < 0 ，旋转角为α（ SKIPIF 1 < 0 ），得到矩形 SKIPIF 1 < 0 ，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G.

(1)如图1，当点E落在 SKIPIF 1 < 0 边上时，线段 SKIPIF 1 < 0 的长度为__________.
(2)如图②，连接 SKIPIF 1 < 0 ，当点E落在线段 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点H，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
①求证： SKIPIF 1 < 0 .
②求线段 SKIPIF 1 < 0 的长度.
(3)如图3，设点P为边 SKIPIF 1 < 0 的中点，连结 SKIPIF 1 < 0 ，在矩形 SKIPIF 1 < 0 旋转的过程中， SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为_____
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)①证明见解析；② SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，面积的最值问题.
（1）根据矩形的性质，旋转的性质，勾股定理计算即可.
（2）①利用直角三角形全等的判定 SKIPIF 1 < 0 证明即可.
②利用勾股定理计算即可.
（3）连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于M，当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 面积最大，勾股定理计算即可.
【详解】（1）如图①中

∵ 四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵矩形 SKIPIF 1 < 0 是由矩形 SKIPIF 1 < 0 旋转得到，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）①证明：如图②中，

∵当点E落在线段 SKIPIF 1 < 0 上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 .
②如图②中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
（3）解：如图3中，连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于M，

当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 面积最大
由题意： SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
2．（2024·广东深圳·一模）在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 共顶点A，且 SKIPIF 1 < 0 三点共线， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，点G为 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，请思考 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 具有怎样的数量和位置关系？
【模型构建】小颖提出 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 并给出了自己思考，以G是 SKIPIF 1 < 0 中点入手，如图2，通过延长 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点F，证明 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，随后通过 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 _____； SKIPIF 1 < 0 ______．
【类比探究】
（2）如图3，若将 SKIPIF 1 < 0 绕点A逆时针旋转α度（ SKIPIF 1 < 0 ），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若将 SKIPIF 1 < 0 E绕点A逆时针旋转β度（ SKIPIF 1 < 0 ），当 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出旋转角β的度数为_______．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （2）见解析（3）45°或225°
【分析】（1）根据前面的结论，得到 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，计算即可．
（2）延长 SKIPIF 1 < 0 到点F,使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点M，N,再证明 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）当 SKIPIF 1 < 0 共线时，根据(2)得到四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ,得四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，继而得到 SKIPIF 1 < 0 ，此时旋转角等于 SKIPIF 1 < 0 的度数即 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 共线时，且共线在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时，根据(2)得到四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ,得四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，继而得到 SKIPIF 1 < 0 ，此时旋转角等于 SKIPIF 1 < 0 的度数即 SKIPIF 1 < 0 ；计算即可．本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）根据前面的结论，得到 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）延长 SKIPIF 1 < 0 到点F，使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点M，N,
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的交点为Q，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
故结论仍然成立．
（3）如图，当 SKIPIF 1 < 0 共线时，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，此时旋转角等于 SKIPIF 1 < 0 的度数即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 共线时，且共线在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时，根据(2)得到四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，此时旋转角等于 SKIPIF 1 < 0 的度数即 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
题型三特殊平行四边形中类比探究问题
1．（2024·广东深圳·模拟预测）（1）【问题探究】如图1，正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点F、G分别在边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 于点P，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）【知识迁移】如图2，矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点E、F、G、H分别在边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 于点P，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
（3）【拓展应用】如图3，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点E在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交直线 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 于点F，请直接写出线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】（1）见解析
（2） SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0
（3）线段 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由正方形的性质，同角的余角相等即可证明 SKIPIF 1 < 0 ，由全等三角形的性质即可得证；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 于点M，交 SKIPIF 1 < 0 于点 J，作 SKIPIF 1 < 0 于点N，交 SKIPIF 1 < 0 于点I，根据四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，依次可证四边形 SKIPIF 1 < 0 和四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，进而可证 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可；
（3）分两种情况讨论，当E在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时，过A作 SKIPIF 1 < 0 于M，延长 SKIPIF 1 < 0 ，过D作 SKIPIF 1 < 0 于N， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于Q，由四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由含 SKIPIF 1 < 0 的直角三角形的性质，再结合勾股定理可求出 SKIPIF 1 < 0 ，由同角的余角相等可证 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而求解即可；
当E在线段 SKIPIF 1 < 0 上时，过A做 SKIPIF 1 < 0 于H，过E作 SKIPIF 1 < 0 于G，延长 SKIPIF 1 < 0 交于J，设 SKIPIF 1 < 0 交于I，由四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ，由含 SKIPIF 1 < 0 的直角三角形的性质，再结合勾股定理可求出 SKIPIF 1 < 0 ，由同角的余角相等可证 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可求出 SKIPIF 1 < 0 ，由线段的和差关系求解即可．
【详解】1） SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）作 SKIPIF 1 < 0 于点M，交 SKIPIF 1 < 0 于点 J，作 SKIPIF 1 < 0 于点N，交 SKIPIF 1 < 0 于点I，则 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
（3）当E在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时，过A作 SKIPIF 1 < 0 于M，延长 SKIPIF 1 < 0 ，过D作 SKIPIF 1 < 0 于N， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于Q，如图，

则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当E在线段 SKIPIF 1 < 0 上时，过A做 SKIPIF 1 < 0 于H，过E作 SKIPIF 1 < 0 于G，延长 SKIPIF 1 < 0 交于J，设 SKIPIF 1 < 0 交于I，如图，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，勾股定理，含 SKIPIF 1 < 0 的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握同角的余角相等，十字模型，正确的作出辅助线．
2．（2024·广东深圳·二模）综合与探究．
【特例感知】
（1）如图（a）， SKIPIF 1 < 0 是正方形 SKIPIF 1 < 0 外一点，将线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求证： SKIPIF 1 < 0 ；
【类比迁移】
（2）如图（b），在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，将线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积；
【拓展提升】
（3）如图（c），在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为锐角且满足 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 是射线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同时绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形时，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】（1）见详解
（2） SKIPIF 1 < 0
（3）6或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或18
【分析】（1）证明 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，可证得 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，进而求得 SKIPIF 1 < 0 ，可证得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得 SKIPIF 1 < 0 ，可证得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，进一步得出结果；
（3）以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立坐标系，作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 轴，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，可求得直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，从而设 SKIPIF 1 < 0 ，可证得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而表示出 SKIPIF 1 < 0 的坐标，同样得出 SKIPIF 1 < 0 点坐标，从而表示出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，分三种情形列方程：当 SKIPIF 1 < 0 时，根据勾股定理列出方程，求得 SKIPIF 1 < 0 的值，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，同样方法得出当 SKIPIF 1 < 0 时和当 SKIPIF 1 < 0 时的情况．
【详解】（1）证明： SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 线段 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图1，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如图2，
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立坐标系，
作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 轴，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 或18或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
3．（2024·广东阳江·一模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察猜想】
（ SKIPIF 1 < 0 ）如图 SKIPIF 1 < 0 ，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 上的两点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__________．
（ SKIPIF 1 < 0 ）如图 SKIPIF 1 < 0 ，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为__________；
【类比探究】
（ SKIPIF 1 < 0 ）如图 SKIPIF 1 < 0 ，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【拓展延伸】
（ SKIPIF 1 < 0 ）如图 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折，点 SKIPIF 1 < 0 落在点 SKIPIF 1 < 0 处得 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别在边 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（ SKIPIF 1 < 0 ）1；（ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 ；（ SKIPIF 1 < 0 ）证明见解析；（ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】( SKIPIF 1 < 0 )证明 SKIPIF 1 < 0 后即可求解；
( SKIPIF 1 < 0 )证明 SKIPIF 1 < 0 后即可求解；
( SKIPIF 1 < 0 )过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 后即可求证；( SKIPIF 1 < 0 )如图 SKIPIF 1 < 0 所示，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，由三角函数设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用面积法可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【详解】（ SKIPIF 1 < 0 ）解：如图 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（ SKIPIF 1 < 0 ）解：如图 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（ SKIPIF 1 < 0 ）如图 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ；
（ SKIPIF 1 < 0 ）如图 SKIPIF 1 < 0 所示，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 (负值舍去)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
题型四特殊平行四边形中新定义问题
1．（2024·广东珠海·一模）【背景阅读】我国古代著名数学著作《周髀算经》记载了“勾三、股四、弦五”，直观地证明了勾股定理，我们把三边的比为 SKIPIF 1 < 0 的三角形称为 SKIPIF 1 < 0 型三角形，例如：三边长分别为9，12，15的三角形就是 SKIPIF 1 < 0 型三角形．
【实践操作】如图1，在正方形纸片 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点E为边 SKIPIF 1 < 0 上的中点，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠得 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点G，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点H．
【问题解决】（1）证明 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 型三角形；
（2）在不添加字母的情况下，直接写出图1中还有哪些三角形是 SKIPIF 1 < 0 型三角形；
【拓展探究】（3）如图2，在矩形纸片 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E是 SKIPIF 1 < 0 上的一点，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠得到 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点G．其中 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 型三角形，请求出 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 型三角形；（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先证明 SKIPIF 1 < 0 ，然后在 SKIPIF 1 < 0 中，利用勾股定理可求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得证；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可 SKIPIF 1 < 0 判断是 SKIPIF 1 < 0 型三角形，由（1）中所求 SKIPIF 1 < 0 各边可知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 型三角形；
【详解】解：（1）∵在正方形纸片 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵点E为边 SKIPIF 1 < 0 上的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵翻折，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 型三角形；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 型三角形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 型三角形，
∴图中还有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 型三角形；
（3）∵翻折，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 型三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
综上， SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键．
2．我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．

(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是（填序号）；
(2)如图1，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，E为 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点B作 SKIPIF 1 < 0 于点H，交 SKIPIF 1 < 0 于点G，连 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
①求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是“神奇四边形”；
②如图2，点M、N、P、Q分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点．试判断四边形 SKIPIF 1 < 0 是不是“神奇四边形”；
(3)如图3，点F、R分别在正方形 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，把正方形沿直线 SKIPIF 1 < 0 翻折，使得 SKIPIF 1 < 0 的对应边 SKIPIF 1 < 0 恰好经过点A，过点A作 SKIPIF 1 < 0 于点O，若 SKIPIF 1 < 0 ，正方形的边长为6，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)④
(2)①见解析；②四边形 SKIPIF 1 < 0 是“神奇四边形”，理由见解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论；
（2）①证 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；
②由三角形中位线定理得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，再证四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，则可得出结论；
（3）延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于S，由勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 的长，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，再由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即可解决问题．
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
SKIPIF 1 < 0 正方形是“神奇四边形”，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①证明： SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是“神奇四边形”；
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是“神奇四边形”，理由如下：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
同理： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平行四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是“神奇四边形”；
（3）如图 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于S，

由翻折的性质可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，边长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即线段 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．