2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题04 特殊平行四边形中全等相似与最值问题（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（广东专用）专题04 特殊平行四边形中全等相似与最值问题（含解析），共29页。试卷主要包含了四边形与全等相似，四边形线段最值问题等内容，欢迎下载使用。

通用的解题思路：
一、四边形与全等相似
1.三角形与全等之六大全等模型：
（1）一线三等角模型 （2）手拉手模型

（3）半角模型

（4）倍长中线模型模型 （5）平行线中等模型 （6）雨伞等模型

2.三角形与相似之四大相似模型：
（1）A字模型 （2）8字模型

（3）手拉手模型 （4）一线三等角模型

二、四边形线段最值问题
（1）将军饮马模型
两定一动模型 一定两动模型

两线段相减的最大值模型（三点共线）

（2）费马点模型：将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。
1．（2023·广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
①若 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ______．

（2）如图，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值．

（3）如图，在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的边于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 时，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长．

【答案】（1）①见解析；② SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）①根据矩形的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而证明 SKIPIF 1 < 0 结合已知条件，即可证明 SKIPIF 1 < 0 ；
②由①可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（2）根据菱形的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据已知条件得出 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质即可求解；
（3）分三种情况讨论，①当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 边上时，如图所示，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，解 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，建立方程解方程即可求解；②当 SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 边上时，如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，同理证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，建立方程，解方程即可求解；③当 SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 边上时，如图所示，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，得出矛盾，则此情况不存在．
【详解】解：（1）①∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
②由①可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）∵在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）①当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 边上时，如图所示，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，

∵平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
②当 SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 边上时，如图所示，

连接 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）
即 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 点在 SKIPIF 1 < 0 边上时，如图所示，

过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 点不可能在 SKIPIF 1 < 0 边上，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
2．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE= SKIPIF 1 < 0 DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ SKIPIF 1 < 0 CF的值是否也最小？如果是，求CE+ SKIPIF 1 < 0 CF的最小值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)①四边形ABEF的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；②最小值为12
【分析】（1）证明△ABC是等边三角形，可得BO= SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（2）过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N， 根据菱形的面积可求出MN= SKIPIF 1 < 0 ，设BE= SKIPIF 1 < 0 ，则EN= SKIPIF 1 < 0 ，从而得到EM=MN-EN= SKIPIF 1 < 0 ，再由BE= SKIPIF 1 < 0 DF，可得DF= SKIPIF 1 < 0 ，从而得到四边形ABEF的面积s= S△ABD - S△DEF SKIPIF 1 < 0 ，①当CE⊥AB时，可得点E是△ABC重心，从而得到BE=CE= SKIPIF 1 < 0 BO= SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；再由 SKIPIF 1 < 0 ，可得当 SKIPIF 1 < 0 ，即BE= SKIPIF 1 < 0 时， s达到最小值，从而得到此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，即可求解．
【详解】（1）解∶连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BO=AB▪sin60°= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∴BD=2BO= SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6，
由（1）得：BD= SKIPIF 1 < 0 ；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN= SKIPIF 1 < 0 BE
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴MN= SKIPIF 1 < 0 ，
设BE= SKIPIF 1 < 0 ，则EN= SKIPIF 1 < 0 ，
∴EM=MN-EN= SKIPIF 1 < 0 ，
∵S菱形ABCD= AD▪MN= SKIPIF 1 < 0 ，
∴S△ABD= SKIPIF 1 < 0 S菱形ABCD= SKIPIF 1 < 0 ，
∵BE= SKIPIF 1 < 0 DF，
∴DF= SKIPIF 1 < 0 ，
∴S△DEF= SKIPIF 1 < 0 DF ▪EM= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
记四边形ABEF的面积为s，
∴s= S△ABD - S△DEF = SKIPIF 1 < 0 -（ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 ，
∵点E在BD上，且不在端点，∴0