2024年辽宁省锦州市第八初级中学九年级中考三模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年辽宁省锦州市第八初级中学九年级中考三模数学试题（原卷版+解析版），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学考试时间共120分钟 试卷满分：120分
考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效
一、选择题：（本题包括10道小题，每题3分，共30分）
1. 如果节约水记作，那么浪费水记作（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中可以由一个基础图形通过平移变换得到的是（ ）
A. B. C. D.
3. 图①是2024年6月2日“奔赴山海 前程是锦”锦州马拉松赛男子组领奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的左视图是（ ）

A B. C. D.
4. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A. 全等三角形面积相等B. 如果，那么
C. 对顶角相等D. 两直线平行，同旁内角互补
7. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
8. 已知，作图．
步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线．
步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C；
步骤3：连接，．
则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. 垂直平分D.
9. 有四人坐在如图所示的圆桌周围，4个座位分别记为①、②、③、④．甲、乙两人等可能性地坐在4个座位中的2个座位上，甲、乙两人相对而坐的概率为（ ）

A. B. C. D.
10. 某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本题包括5道小题，每题3分，共15分）
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ________．
12. 分解因式：_______________．
13. 如图，菱形中，交于，于，连接，若，则的度数为__________°．
14. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为________．
15. 如图，在中，，，，平分交于点D，在边上存在一点E（不与点B重合），作关于直线的对称图形为，若点F落在的边上，则的长为______．
三、解答题（本大题共8道题，共75分）
16. 计算：
（1） ；
（2）
17. 2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护环境，远离雾霾”植树节活动．已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元．用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）学校决定购买甲，乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗打九折，乙种树苗的售价不变．学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，求最多可购买多少棵甲种树苗．
18. 在某次男子三米跳板比赛中，每名参赛选手要进行六轮比赛，每轮得分的计算方式如下：

下面是对参加比赛甲、乙、丙三位选手的得分数据进行了整理，描述和分析，给出部分信息：
a．甲、丙两位选手的得分折线图：

b．乙选手六轮比赛的得分：

c．甲、乙、丙三位选手六轮比赛得分的平均数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）已知乙选手第四轮动作的难度系数为，七名裁判的打分分别为：

求乙选手第四轮比赛的得分及表中的值；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手______发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；
（3）每名选手六轮比赛得分的总和为个人最终得分．根据上述信息判断：在甲、乙、丙三位选手中，最终得分最高的是______（填“甲”“乙”或“丙”）．
19. 甲、乙两个弹簧，在一定的弹性限度内，两个弹簧挂重物后可达到的最大长度均为a厘米，甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米．两个弹簧各自的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）之间的函数图象如图所示．

（1） ；
（2）求乙弹簧的长度y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在弹性限度内，把两个质量相同的重物分别挂在甲、乙两个弹簧上，发现弹簧的长度恰好相同．若把这两个重物同时挂在乙弹簧上，求此时乙弹簧的长度．
20. 图1是某款自动旋转圆形遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.6米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．某一时刻测得米．请求出此时遮阳伞影子中的长度．
21. 如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点．
（1）求的度数；
（2）若，求直径的长．
22. 综合与实践
问题提出

如图1，在中，，，点D在上，，点P沿折线运动（运动到点C停止），以为边作正方形．设点P运动线路长为x，正方形的面积为y．
初步感悟
（1）当点P在上运动时，若，则
①______，y关于x的函数关系式为______；
②连接，则长为______．
（2）当点P在上运动时，求y关于x的函数解析式．
延伸探究
（3）如图2，将点P的运动过程中y与x的函数关系绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，解决如下问题：
①当点P的运动到使时，图像上对应点的坐标为______；
②当将正方形分成面积相等的两部分时，与正方形交于点G、H两点，请直接写出此时的长，以及自变量和函数的值．
23. 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点．求证：．
①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点作交的延长线于点．
②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答．
如图4，在中，，，点在边上，，连接，点在边上，连接，且．求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交延长线于点，连接，求的面积．
2024九年级中考适应性测试
数学试卷
数学考试时间共120分钟 试卷满分：120分
考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效
一、选择题：（本题包括10道小题，每题3分，共30分）
1. 如果节约水记作，那么浪费水记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正负数，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键．
【详解】解：如果节约水记作，那么浪费水记作，
故选：．
2. 下列图形中可以由一个基础图形通过平移变换得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：A、C、D是通过旋转得到，故A、C、D都不符合题意；
B是通过平移得到，故B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是利用平移设计图案，熟知平移与旋转的性质是解答此题的关键．
3. 图①是2024年6月2日“奔赴山海 前程是锦”锦州马拉松赛男子组领奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据左视图是从几何体的左面观察得到的视图进行判断即可．
【详解】解：领奖台从左面看，是由三个等宽的长方形组成的，虚线在从上到下的第三条线段，如图示：

故选：B．
4. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】关于x轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律解答即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是．
故选：A．
【点睛】本题考查的是关于x轴对称的两个点的坐标关系，掌握“关于x轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．”是解题的关键．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式的四则混合运算法则即可求解．
【详解】解：A：，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C错误；
D：，故D错误．
故选：B
【点睛】本题考查整式的四则混合运算．掌握相关运算法则即可．
6. 下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A. 全等三角形的面积相等B. 如果，那么
C. 对顶角相等D. 两直线平行，同旁内角互补
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．熟悉课本中的性质定理是解题的关键．
【详解】解：A、“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等形”是假命题，故A不符合题意；
B、“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”是假命题，故B不符合题意；
C、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，故C不符合题意；
D、“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”是真命题，故D符合题意；
故选：D．
7. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用多边形的内角和及正多边形的性质求得，的度数，然后结合已知条件及四边形的内角和求得的度数，从而求得的度数．
【详解】解：由题意可得，
∵，
∴，
∴四边形中，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的内角和，结合已知条件求得各角之间的关系和度数是解题的关键．
8. 已知，作图．
步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线．
步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C；
步骤3：连接，．
则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. 垂直平分D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，平行线的判定和性质，根据四量关系定理求出，根据垂径定理的推论得出垂直平分，根据圆周角定理得出，根据平行线的判定得出即可．
【详解】解：．由作图可知：，
，垂直平分，故选项A、C正确，不符合题意；
B．为半圆的直径，
，，
，
，选项B正确，不符合题意；
C．的度数未知，和互余，
不一定等于，
不一定等于，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
9. 有四人坐在如图所示的圆桌周围，4个座位分别记为①、②、③、④．甲、乙两人等可能性地坐在4个座位中的2个座位上，甲、乙两人相对而坐的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率．先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙两人相对而坐的结果数，再根据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设①、②、③、④这4个座位分别用、、、表示，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性是结果数，其中甲、乙两人相对而坐的结果数有4种：，，，，
甲、乙两人相对而坐的概率为，
故选：B．
10. 某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键．
根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为，
∴个杯子叠在一起的总高度为，
故选：D ．
二、填空题：（本题包括5道小题，每题3分，共15分）
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行求解即可．
【详解】解：若代数式有意义，则，
解得：；
故答案为：．
12. 分解因式：_______________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式与公式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题关键．首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】解：
故答案为：．
13. 如图，菱形中，交于，于，连接，若，则的度数为__________°．
【答案】35
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：25．
14. 魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】证明，可得，而与的面积比为，即得，设，则，在中，有，又，故．
【详解】解：都是正方形，
，
，
，
，
与的面积比为，
，
设，则，
，
在中，
，
由“青朱出入图”可知：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．
15. 如图，在中，，，，平分交于点D，在边上存在一点E（不与点B重合），作关于直线的对称图形为，若点F落在的边上，则的长为______．
【答案】2或或4
【解析】
【分析】判断得出点F在以点D为圆心，长为半径的圆上，分三种情况讨论，画出图形，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理求解即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质得，而是定长，
∴点F在以点D为圆心，长为半径的圆上，当点在边上时，如图，
∵，
∴于点E，
∴；
当点F在边上时，有两种情况，
当E、F在如图的的位置时，作，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴；
当E、F在如图的的位置时（与A重合），
∴；
若F在边上时，此时对应的E点不在上，此情况不存在，
综上，的长为1或或4．
故答案为：2或或4．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，含30度角的直角三角形以及勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
三、解答题（本大题共8道题，共75分）
16. 计算：
（1） ；
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查实数的运算和分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）先化简乘方，二次根式，负整数指数幂和特殊角三角函数值，然后再进行加减运算即可；
（2）先把括号里的式子进行通分，再分别把分子分母能因式分解的进行因式分解，最后把除法转化为乘法约去公因式，即可解题．
【小问1详解】
解：，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
．
17. 2024年植树节来临之际，某学校计划采购一批树苗，参加“保护环境，远离雾霾”植树节活动．已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元．用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）学校决定购买甲，乙两种树苗共100棵，实际购买时，甲种树苗打九折，乙种树苗的售价不变．学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，求最多可购买多少棵甲种树苗．
【答案】（1）甲、乙两种树苗每棵的价格分别是40元和30元
（2）33棵
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程或不等式．
（1）设乙种树苗每棵的价格是元、则甲种树苗每棵的价格是元，根据用1200元购买甲种树苗的棵数恰好与用900元购买乙种树苗的棵数相同，列出方程，解方程即可；
（2）设可购买棵甲种树苗，根据学校用于购买两种树苗的总费用不超过3200元，列出不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设乙种树苗每棵的价格是元、则甲种树苗每棵的价格是元，根据题意，可列方程组：
，
解得：．
经检验，是原方程的根，
，
答：甲、乙两种树苗每棵的价格分别是40元和30元；
【小问2详解】
解：设可购买棵甲种树苗，根据题意，可列不等式：
．
解这个不等式得：，
为正整数，
的最大值为33，
答：最多可购买33棵甲种树苗．
18. 在某次男子三米跳板比赛中，每名参赛选手要进行六轮比赛，每轮得分的计算方式如下：

下面是对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分数据进行了整理，描述和分析，给出部分信息：
a．甲、丙两位选手的得分折线图：

b．乙选手六轮比赛的得分：

c．甲、乙、丙三位选手六轮比赛得分的平均数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）已知乙选手第四轮动作的难度系数为，七名裁判的打分分别为：

求乙选手第四轮比赛的得分及表中的值；
（2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手______发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）；
（3）每名选手六轮比赛得分的总和为个人最终得分．根据上述信息判断：在甲、乙、丙三位选手中，最终得分最高的是______（填“甲”“乙”或“丙”）．
【答案】（1）为，的值为
（2）甲 （3）甲
【解析】
【分析】（1）根据比赛得分的意义求出，再根据平均数的概念求出；
（2）分别计算出甲、丙两位选手得分的方差，比较后即可得出结论；
（3）分别计算出甲、乙、丙的个人最终得分，比较后即可得出结论．
【小问1详解】
解：，
，
∴乙选手第四轮比赛的得分为，表中的值为．
【小问2详解】
，
，
∵，
∴选手甲发挥稳定性更好，
故答案为：甲．
【小问3详解】
甲的得分：（分），
乙的得分：（分），
丙的得分：（分），
∵，
∴最终得分最高的是甲，
故答案为：甲．
【点睛】本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解题的关键．
19. 甲、乙两个弹簧，在一定的弹性限度内，两个弹簧挂重物后可达到的最大长度均为a厘米，甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米．两个弹簧各自的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）之间的函数图象如图所示．

（1） ；
（2）求乙弹簧的长度y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在弹性限度内，把两个质量相同的重物分别挂在甲、乙两个弹簧上，发现弹簧的长度恰好相同．若把这两个重物同时挂在乙弹簧上，求此时乙弹簧的长度．
【答案】（1）
（2）
（3）厘米
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用；
（1）根据题可得；
（2）设所求函数关系式为，待定系数法求解析式，即可求解；
（3）依题意，，解方程，得出，将代入（2）中的函数解析式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵甲弹簧原长3厘米，每挂质量为1千克的重物弹簧伸长1厘米．
当时，，
故答案为：．
【小问2详解】
设所求函数关系式为.
将点代入，得
解得
所以，与之间的函数关系式为
【小问3详解】
根据题意，得
，
解得
因为(千克)，
所以，当时，．
答：此时乙弹簧的长度为厘米．
20. 图1是某款自动旋转圆形遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.6米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直．某一时刻测得米．请求出此时遮阳伞影子中的长度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查真实情景下的三角函数的实际运用，熟练掌握三角函数是解题关键．
先过点E作于点I，过点G作于点J，再求出，从而得出．可证，最后利用三角函数即可得出的长度．
【详解】解：如图，过点E作于点I，过点G作于点J．
，
，
，

,
，
，，
，
，四边形为矩形，
，，
，
，
在中，（米）．
答：此时遮阳伞影子中的长度是米．
21. 如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点．
（1）求的度数；
（2）若，求直径的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，再根据，得出，即，得出，进而计算即可得出答案；
（2）连接，根据圆周角定理，得出，再根据中点的定义，得出，再根据同弧或同弦所对的圆周角相等，得出，再根据正切的定义，得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出，进而即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，

∵是直径，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴的直径的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角、圆周角定理及其推论、锐角三角函数、含角的直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
22. 综合与实践
问题提出

如图1，在中，，，点D在上，，点P沿折线运动（运动到点C停止），以为边作正方形．设点P运动的线路长为x，正方形的面积为y．
初步感悟
（1）当点P在上运动时，若，则
①______，y关于x的函数关系式为______；
②连接，则长为______．
（2）当点P在上运动时，求y关于x函数解析式．
延伸探究
（3）如图2，将点P的运动过程中y与x的函数关系绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，解决如下问题：
①当点P的运动到使时，图像上对应点的坐标为______；
②当将正方形分成面积相等的两部分时，与正方形交于点G、H两点，请直接写出此时的长，以及自变量和函数的值．
【答案】（1）①4，，②；（2）；（3）①，②,自变量为4，函数值为10．
【解析】
【分析】（1）①先画出图形，然后根据已知条件列出函数解析式，再求出即可解答；②如图：延长交于G，先证明四边形是矩形，进而求得，，然后运用勾股定理即可解答；
（2）先画出图形，然后根据勾股定理和正方形的面积即可列出函数关系式；
（3）①先说明可得，进而确定横坐标x的取值；再运用勾股定理求得，即确定横坐标，从而完成解答；②过正方形的中心，如图：连接，其于交于点O，即O为的中点，如图：构造正方形，即，再证明、,进而确定自变量和函数值；如图：过G作，通过正切函数和等腰三角形可得、，设，则，再根据列方程求得x，然后再运用勾股定理即可解答．
【详解】解：（1）①如图：当点P在上运动时，，正方形的面积为，即y关于x的函数关系式为，
∵，
∴，
∴，即，
当时，
故答案为4，；
②如图：延长交于G，

∵正方形，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）如图：当点P在上运动时，，，
∴，
∵正方形的面积为，
∴．

（3）①如图：∵,，
∴，
∵,
∴,
∴，
∴,即，
∴图像上对应点的坐标为．
故答案为：．
②∵将正方形分成面积相等的两部分，
∴过正方形的中心，
如图：连接，其与交于点O，即O为的中点，再构造正方形，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，,
∴，即自变量为4，函数值为10，，
如图：过G作，
∴，即，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴

∴，自变量为4，函数值为10．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、求函数解析式、勾股定理、正切函数等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．
23. 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点．求证：．
①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点作交的延长线于点．
②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答．
如图4，在中，，，点在边上，，连接，点在边上，连接，且．求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，求的面积．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）
【解析】
【分析】（1）①选择小辉同学的解题思路；过作交的延长线于，.可得，再证出为等腰直角三角形，即可得出结论
②选择小光同学的解题思路.证明：如图，在上截取，连接，可以证出，再根据勾股定理可得，即可得出结论；
（2）过作于，过作于，可得出，得，，再证明，即可得出结论；
（3）在边上截取，连接，可得，再根据勾股定理算出，即可求出面积．
【详解】解：（1）选择小辉同学的解题思路.证明：如图，过作交的延长线于
∵，
∴，，
∴.
∵交延长线于，
∴，
∴，
又∵绕点旋转至，
∴，
∴，
∴，.
∵，
∴.
∴.
∴，
∴.
∴，
∴.
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴.
∴，
∴.
选择小光同学的解题思路.证明：如图，在上截取，连接.
∵，
∴.
∴.
∵，，
∴.即.
又∵，
∴
.∴
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴.
，，
∴.
（2）证明：如图.过作于，过作于.
∵，，
∴，
又∵.
∴.
∴，.
∵，
∴，
∵，
∴.
∴，
∴，
∴，
∴.
在和中，，
∴.
∴.
∵，，
∴.
∵，，
∴.
∴.
∴
（3）解：如图，在边上截取，连接.
由题意得，，.
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴.
∴.
∵，，
∴，
∴.
∴，
∴.
又∵，
∴.
∵，，，
过作于，则，
∵，
∴.
根据勾股定理得，.
∴.
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
选手
甲
乙
丙
平均数
选手
甲
乙
丙
平均数