安徽省定远县第三中学2023-2024学年高二下学期6月阶段性检测数学试题（含答案）

这是一份安徽省定远县第三中学2023-2024学年高二下学期6月阶段性检测数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了已知，且，则，已知函数的导函数，则的极值点为，已知函数，则下列结论中正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
3.某大学新生中男生和女生人数相等，统计他们的身高数据（单位：），发现男生身高服从正态分布，女生身高服从正态分布，则身高超过的男生人数约等于（ ）
A.身高低于的女生人数 B.身高低于的女生人数
C.身高超过的女生人数 D.身高超过的女生人数
4.已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ）
A.7 B.3 C.1 D.-1
5.4位男生与5位女生排成一排照相，要求5位女生相邻，且坐在正中间，小吴（男）必须坐在最左边，则所有的排法共有（ ）
A.240种 B.360种 C.720种 D.1440种
6.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，都是边长为1的正三角形，且平面平面，已知三棱锥的顶点都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知偶函数的定义域为，且当时，，则（ ）
A. B.-1 C.1 D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数的导函数，则的极值点为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.
10.已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.若，且，则
C.点是图象的一个对称中心
D.在区间上不具有单调性
11.已知是抛物线上不同于坐标原点的三点，过的焦点且垂直于轴的直线与交于两点（点在点的下方），则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.若，则直线过定点
C.若的重心是点，则
D.在点处的切线方程为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.运动前热身能有效预防运动损伤，已知在未进行热身和进行过热身的条件下，跑步受伤的概率分别为和.某天小李在体育场随机调查了部分跑步的人，得知其中的人进行了热身，若从这些跑步的人中任选一人，则其跑步受伤的概率为__________.
13.已知直线与轴､轴分别交于点，点为圆的圆心，则的面积为__________.
14.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于两点，若，且，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知数列中，.
（1）证明数列为等差数列，并求；
（2）求的前项和.
16.（15分）
如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
17.（15分）
利用汉字“六书”之义（即象形､指事､会意､形声､转注､假借）造谜，是我国灯谜由来已久的优秀传统.某次猜灯谜的规则如下：有象形､会意､形声三类灯谜题，共进行四轮比赛，每轮比赛中选手先随机选择一类题，再从该类题中随机选择一道回答，答对得分，答错不得分在四轮比赛中，每类题最多选择两次.四轮的总得分不低于7分的进入决赛.假设甲前面的题是否答对对后面的答题情况没有影响，且答对三类题中每道题的概率及得分如下表：
（1）若甲前两轮都选择了会意灯谜题，且只答对了一道题，则他后两轮应该如何选择才能使其进入决赛的概率最大？说明理由.
（2）若甲在四轮答题中，选择了一道象形灯谜题､两道会意灯谜题､一道形声灯谜题，且两道会意灯谜题均答对，记甲四轮答题的总得分为，求的分布列和数学期望.
18.（17分）
已知双曲线的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，在轴上位于右侧有一点，满足.
（1）求的方程；
（2）过点且不与坐标轴垂直的直线与交于两点，以为圆心作圆与直线交于两点，证明：直线的交点恒在直线上.
19.（17分）
已知函数和.
（1）求的图象在点处的切线方程.
（2）已知正数满足.
①若，求证：；
②若，求证：.
2023—2024学年（下）安徽高二6月份阶段性检测
数学·答案
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.答案B
命题意图 本题考查集合的运算.
解析 .
2.答案A
命题意图 本题考查复数的运算.
解析 .
3.答案B
命题意图 本题考查正态分布的性质.
解析 若，则.
4.答案D
命题意图 本题考查等差数列的性质及前项和的计算.
解析 由得即解得
5.答案C
命题意图 本题考查计数原理.
解析 先排5位女生，共有种排法，再排4位男生，共有种排法，所以共有（种）排法.
6.答案B
命题意图 本题考查三角恒等变换.
解析 由，可得，因为，所以.因为，所以.所以.
7.答案C
命题意图 本题考查空间线面位置关系与几何体的外接球的表面积.
解析 如图，取的中点，连接，由题意知.设分别为的外心，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，则的交点即为三棱锥外接球的球心，记为，连接.因为，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为.
8.答案D
命题意图 本题考查抽象函数及函数的周期性.
解析 因为是偶函数，所以，所以，即，又，故，即①，用代替得②.由①②得，故的周期为6，故，又由已知得.因为当时，，所以，故.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.答案AB
命题意图 本题考查导数与函数极值.
解析 ，令，得或-1或1，当时，，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以有极大值点-1，极小值点0.
10.答案BCD
命题意图 本题考查三角函数的图象与性质.
解析 对于A，故A错误；
对于B的最小正周期为，故B正确；
对于C，当时，，所以点是图象的一个对称中心，故C正确；
对于D，当时，，因为函数在处无意义，再结合的图象特征可知在区间上不具有单调性，故D正确.
11.答案BD
命题意图 本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系.
解析 由题可知的焦点为.
对于，由于直线不一定过焦点，所以不一定成立，故A错误；
对于B，若，则，即或（㝒去），当直线与轴垂直时，，则，直线的方程为，当直线不与轴垂直时，直线的方程为，即，也即，故直线经过定点，故B正确；
对于，因为的重心是点，所以，所以，所以，故C错误；
对于D，联立解得或故，由，得，当时，，则在点处的切线斜率为-1，切线方程为，即，故D正确.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案
命题意图 本题考查条件概率.
解析 所求概率.
13.答案
命题意图 本题考查直线与圆的位置关系.
解析 由题可得，所以.因为圆心到直线的距离，所以.
14.答案
命题意图 本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系.
解析 设的半焦距为.由题可知，且.因为，所以，令，则，所以，则，得，所以.因为
，所以，解得，则.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.命题意图 本题考查等差数列的判定､数列的最值､错位相减法.
解析 （1）由条件得，故，
即数列是以2为公差的等差数列.
故，
化简可得.
（2），
，
两式相减可得，
所以.
16.命题意图 本题考查线面平行的证朋及空间向量的应用.
解析 （1）如图，取棱的中点，连接.
因为分别是棱的中点，所以且，
且，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）设，则.
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，所以.
设平面的法向量为，
则
令，得.
易知平面的一个法向量为.
因为，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17.命题意图 本题考查概率的计算及随机变量的分布列和数学期望.
解析 （1）依题意，甲前两轮共得了3分，要进入决赛，至少还需得4分.
因为每类题均最多选择两次，所以甲后两轮的选择有三种方案：
方案一：都选择象形灯谜题，则四轮总得分不低于7分的概率为；
方案二：都选择形声灯谜题，则四轮总得分不低于7分的概率为；
方案三：选择一道象形灯谜题､一道形声灯谜题，则四轮总得分不低于7分的概率为.
因为，
所以甲后两轮应该均选择形声灯谜题.
（2）两道会意灯谜题均答对，则甲得6分.
依题意，的所有可能取值为.
，
，
所以的分布列为
所以.
18.命题意图 本题考查双曲线的方程及直线与双曲线的位置关系.
解析 （1）设的半焦距为，则.
因为，
所以解得
因为，所以，即，解得，
则，
所以的方程为.
（2）由（1）知，点，设直线的方程为.
由可得，
则.
设，则.
由题可设，
则直线的方程为，直线的方程为，
联立两方程，可得
，
解得，即直线的交点恒在直线上.
19.命题意图 本题考查导数的几何意义及利用导数解决不等式问题.
解析 （1）由题可知，
的图象在点处的切线斜率是，
则切线方程是，即.
（2）①由，即，可得.
设，则题设条件等价于.
因为，
所以当时，单调递减，当时，单调递增.
当时，因为，所以，
故由，可得，得证.
②当时，要证，即证.
因为，所以，又在上单调递增，所以只需证.
先证明.
令，则当时，，
所以在上单调递减，所以，
所以，即.
再由，可得，所以，得证.
象形灯谜
会意灯谜
形声灯谜
答对概率
0.6
0.5
0.4
答对得分
2
3
4
6
8
10
12
0.24
0.36
0.16
0.24