苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专题9.3平行四边形的性质(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册《同步考点解读•专题训练》专题9.3平行四边形的性质(知识解读)(原卷版+解析)，共18页。
1. 理解平行四边形的概念．
2. 探索并证明平行四边形的性质定理，并能运用它们进行证明和计算．
3. 了解两条平行线之间距离的意义 ，能度量两条平行线之间的距离．
4. 通过经历平行四边形的性质定理的探索过程，丰富学生的教学活动经验和体验，进一步 培养和发展学生的合情推理能力．
5. 通过平行四边形性质定理的相关问题证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。
【知识点梳理】
知识点1：平行四边形的性质（一）
边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
知识点2：平行四边形的性质（二）
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
知识点3：反证法
（1）反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
（2）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;/至少有两个。
（3）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾.
【典例分析】
【考点1：平行四边形的性质（一）】
【典例1】（2022秋•招远市期末）如图，▱ABCD的周长为30cm，△ABC的周长为27cm，则对角线AC的长为（ ）
A．27cmB．17cmC．12cmD．10cm
【变式1-1】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，那么BC的长度是（ ）
A．9B．12C．15D．18
【变式1-2】（2022春•温州期中）已知平行四边形邻边之比是1：2，周长是18，则较短的边的边长是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【变式1-3】（2022秋•海淀区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【典例2】（2022秋•烟台期末）在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝80°，则∠B的度数是（ ）
A．140°B．120°C．100°D．40°
【变式2-1】（2022春•舒城县校级月考）如图，在▱ABCD中，若∠A＝110°，则∠B的度数为（ ）
A．110°B．70°C．55°D．35°
【变式2-2】（2022春•昭平县期末）平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝110°，则∠B＝（ ）
A．70°B．110°C．125°D．130°
【变式2-3】（2022秋•绿园区校级期末）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝ ．
【典例3】（2022秋•南关区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AD＝AE，∠DFC＝140°，求∠DAE的度数．
【变式3-1】（2022秋•思明区校级月考）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，连接EF，AC交于点O，求证：OE＝OF．
【变式3-2】（2022•濉溪县校级开学）已知：如图，▱ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm，AE平分∠BAD交DC于E．求：EC的长．
【变式3-3】（2022秋•青浦区月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝120°，AD＝2cm，CD＝3cm．求平行四边形ABCD的面积．
【考点2：平行四边形的性质（二）】
【典例4】（2022•南京模拟）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AB＝8，△OCB与△OCD的周长差为3，则AD的长为（ ）
A．11B．8C．5D．3
【变式4-1】（2022•南京模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ）
A．18B．19C．20D．21
【变式4-2】（2021秋•济宁期末）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（ ）
A．24B．26C．28D．30
【考点3：反证法】
【典例5】（2022秋•新华区校级期末）用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”．应先假设（ ）
A．AC＞BCB．AC＜BCC．∠A＝∠BD．AC＝BC
【变式5-1】（2022•南京模拟）用反证法证明命题：“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应假设（ ）
A．没有一个锐角不大于45° B．至多有一个锐角大于45°
C．两个锐角都不大于45° D．两个锐角都小于45°
【变式5-2】（2021秋•长安区期末）用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60°B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60°D．每一个内角都大于60°
【变式5-3】（2021秋•叙州区期末）用反证法证明“在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2.”应先假设（ ）
A．a2+b2＝c2B．a2+b2＞c2
C．a2+b2＜c2D．a2+b2＞c2或a2+b2＜c2
专题9.3 平行四边形的性质（知识解读）
【学习目标】
1. 理解平行四边形的概念．
2. 探索并证明平行四边形的性质定理，并能运用它们进行证明和计算．
3. 了解两条平行线之间距离的意义 ，能度量两条平行线之间的距离．
4. 通过经历平行四边形的性质定理的探索过程，丰富学生的教学活动经验和体验，进一步 培养和发展学生的合情推理能力．
5. 通过平行四边形性质定理的相关问题证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。
【知识点梳理】
知识点1：平行四边形的性质（一）
边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
知识点2：平行四边形的性质（二）
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
知识点3：反证法
（1）反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
（2）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;/至少有两个。
（3）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾
【典例分析】
【考点1：平行四边形的性质（一）】
【典例1】（2022秋•招远市期末）如图，▱ABCD的周长为30cm，△ABC的周长为27cm，则对角线AC的长为（ ）
A．27cmB．17cmC．12cmD．10cm
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵▱ABCD的周长为30cm，△ABC的周长为27cm，
∴AB+BC＝15cm，AB+BC+AC＝27cm，
∴AC＝12cm，
故选：C．
【变式1-1】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，那么BC的长度是（ ）
A．9B．12C．15D．18
【答案】A
【解答】解：∵▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，
设AD为3x，AB为2x，可得：3x+2x＝15，
解得：x＝3，
∴BC＝AD＝9，
故选：A．
【变式1-2】（2022春•温州期中）已知平行四边形邻边之比是1：2，周长是18，则较短的边的边长是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】A
【解答】解：∵平行四边形的周长是18，一组邻边之比是1：2，
∴设两邻边分别为x，2x，
则2（x+2x）＝18，
解得：x＝3，
∴较短的边的边长是3，
故选：A．
【变式1-3】（2022秋•海淀区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝10，AD∥BC．
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝6
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣6＝4，
故选：B．
【典例2】（2022秋•烟台期末）在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝80°，则∠B的度数是（ ）
A．140°B．120°C．100°D．40°
【答案】A
【解答】解：在▱ABCD中有：∠A＝∠C，AD∥BC，
∵∠A+∠C＝80°，
∴∠A＝∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝140°，
故选：A
【变式2-1】（2022春•舒城县校级月考）如图，在▱ABCD中，若∠A＝110°，则∠B的度数为（ ）
A．110°B．70°C．55°D．35°
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝110°，
故选：A．
【变式2-2】（2022春•昭平县期末）平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝110°，则∠B＝（ ）
A．70°B．110°C．125°D．130°
【答案】C
【解答】解：在▱ABCD中，∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝110°，
∴∠A＝∠C＝55°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝125°，
故选：C．
【变式2-3】（2022秋•绿园区校级期末）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝ ．
【答案】75°
【解答】解：如图，过点E作MN∥AB，
∴∠BEN＝∠1＝30°，
由题意得：∠3＝45°，
∴∠FEN＝180°﹣∠3﹣∠BEN＝105°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠2＝180°﹣∠FEN＝75°，
故答案为：75°．
【典例3】（2022秋•南关区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE＝DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AD＝AE，∠DFC＝140°，求∠DAE的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠ABE＝∠CDF，
又∵BE＝DF，
在△ABE与△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）
∴AE＝CF；
（2）由（1）知，△ABE≌△CDF，则∠AEB＝∠DFC＝140°．
∴∠DEA＝40°．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠DEA＝40°．
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝100°．
【变式3-1】（2022秋•思明区校级月考）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，连接EF，AC交于点O，求证：OE＝OF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF．
【变式3-2】（2022•濉溪县校级开学）已知：如图，▱ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm，AE平分∠BAD交DC于E．求：EC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，AB＝CD＝5cm，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD＝3cm，
∴CE＝CD﹣DE＝5﹣3＝2（cm），
即EC的长为2cm．
【变式3-3】（2022秋•青浦区月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝120°，AD＝2cm，CD＝3cm．求平行四边形ABCD的面积．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，则∠DEA＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3cm，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，
∴AE＝AD＝1（cm），
∴DE＝＝＝（cm），
∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝3×＝3（cm2）．
【考点2：平行四边形的性质（二）】
【典例4】（2022•南京模拟）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AB＝8，△OCB与△OCD的周长差为3，则AD的长为（ ）
A．11B．8C．5D．3
【答案】A
【解答】解：△OCB的周长为：BC+OB+OC，
△OCD的周长为：CD+OD+OC，
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴OD＝OB，
∴△OCB与△OCD的周长差为：BC﹣DC，
∴BC﹣DC＝3，且AB＝DC＝8，
∴AD＝BC＝8+3＝11，
故选：A．
【变式4-1】（2022•南京模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ）
A．18B．19C．20D．21
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，
∴OA＝AC＝6，BD＝2OB，
∵AB⊥AC，AB＝8，
∴OB＝＝10，
∴BD＝2OB＝20．
故选：C．
【变式4-2】（2021秋•济宁期末）如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（ ）
A．24B．26C．28D．30
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，AE＝CF，
∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴AB+BC＝×36＝18，
∴四边形ABFE的周长为：
AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝18+6＝24．
故选：A．
【考点3：反证法】
【典例5】（2022秋•新华区校级期末）用反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”．应先假设（ ）
A．AC＞BCB．AC＜BCC．∠A＝∠BD．AC＝BC
【答案】D
【解答】解：反证法证明命题：“在△ABC中，∠A≠∠B，则AC≠BC”，
先假设AC＝BC．
故选：D．
【变式5-1】（2022•南京模拟）用反证法证明命题：“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，应假设（ ）
A．没有一个锐角不大于45°
B．至多有一个锐角大于45°
C．两个锐角都不大于45°
D．两个锐角都小于45°
【答案】A
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°，即没有一个锐角不大于45°．
故选：A．
【变式5-2】（2021秋•长安区期末）用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60°B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60°D．每一个内角都大于60°
【答案】D
【解答】解：反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°时，
应假设这个三角形中每一个内角都大于60°，
故选：D．
【变式5-3】（2021秋•叙州区期末）用反证法证明“在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2.”应先假设（ ）
A．a2+b2＝c2B．a2+b2＞c2
C．a2+b2＜c2D．a2+b2＞c2或a2+b2＜c2
【答案】A
【解答】解：反证法证明“在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，∠C＞∠B＞∠A且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2.”
先假设a2+b2＝c2，
故选：A．