2024成都中考数学二轮复习微专题 利用垂线段最短解决最值问题 （含答案）

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如图，已知直线l外一定点A和直线l上一动点B，求A、B之间距离的最小值．通常过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
模型应用
1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ADC＝60°，AB＝6，若点P为AD上的动点，连接OP，则OP的最小值为________．
第1题图
2. 如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接DP，以DP、CP为邻边作▱DPCQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为________．
第2题图
模型二 “胡不归”问题
模型分析
问题：点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，要使kAP＋BP(0＜k＜1)的值最小．
方法：
1．找：找带有系数k的线段AP；
2．构：在点B异侧，构造以线段AP为斜边的直角三角形；
①以定点A为顶点作∠NAP，使sin∠NAP＝k；②过动点P作垂线，构造Rt△APE；
3．转化：化折为直，将kAP转化为PE；
4．求解：使得kAP＋BP＝PE＋BP，利用“垂线段最短”转化为求BF的长．
模型应用
3. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD＋DC的最小值为________．
第3题图
4. 如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10, 对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP＋eq \f(1,2)PB的最小值是________．
第4题图
模型迁移
5. 如图，抛物线y＝ax2＋ax＋c经过点A(1，0)，B(0，－eq \r(3))，C，其对称轴与x轴交于点D.若P为y轴上一点，连接PD，求eq \f(\r(2),2)PB＋eq \r(2)PD的最小值．
第5题图
参考答案
1. eq \f(3\r(3),2) 【解析】根据垂线段最短可知，当OP与AD垂直时，OP取得最小值．∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∴AD＝AB＝6，AC⊥OD.∵∠ADC＝60°，∴∠ADO＝30°，∴AO＝3，DO＝3eq \r(3)，当OP⊥AD时，∵S△ADO＝eq \f(1,2)AO·DO＝eq \f(1,2)AD·OP，∴OP＝eq \f(AO·DO,AD)＝eq \f(3\r(3),2)，∴OP的最小值为eq \f(3\r(3),2).
2. 2eq \r(3) 【解析】∵四边形DPCQ为平行四边形，∴DQ∥AC，∴当PQ⊥DQ时，线段PQ的值最小，最小值即为DQ与AC之间的距离，即点D到AC的距离，如解图，过点D作DE⊥AC于点E，∵AC＝8，∠BAC＝30°，∴∠ACD＝30°，∴CD＝AC·cs30°＝4eq \r(3)，∴DE＝CD·sin30°＝2eq \r(3)，即点D到AC的距离为2eq \r(3)，∴线段PQ的最小值为2eq \r(3).
第2题解图
3. 6 【解析】如解图，作点A关于BC的对称点A′，连接AA′，A′D，过点D作DE⊥AC于点E，在△ABC中，∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝eq \r(3)，AA′＝2eq \r(3)，∠C＝30°，∴在Rt△CDE中，DE＝eq \f(1,2)CD，即2DE＝CD，∵点A与点A′关于BC对称，∴AD＝A′D，∴AD＋DE＝A′D＋DE，∴当A′，D，E三点共线时，AD＋DE有最小值，最小值为A′E的长，此时，在Rt△AA′E中，A′E＝AA′·sin60°＝2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝3，∴AD＋DE的最小值为3，即2AD＋DC＝2(AD＋DE)的最小值为6.
第3题解图
4. eq \f(7\r(3),2) 【解析】如解图，过点P作PQ⊥BC于点Q，过点M作MN⊥BC于点N.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.∵AB＝AC＝10，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵菱形对角线互相垂直，∴∠BOC＝90°，∴∠OBC＝30°，∴PQ＝eq \f(1,2)PB，∴MP＋eq \f(1,2)PB＝MP＋PQ.由两点之间线段最短可知，当M、P、Q三点共线，即点Q与点N重合时，MP＋PQ取得最小值，最小值为MN的长．∵AM＝3，∴CM＝AC－AM＝7.∵∠ACB＝60°，∴MN＝eq \f(\r(3),2)CM＝eq \f(7\r(3),2)，∴MP＋eq \f(1,2)PB的最小值为eq \f(7\r(3),2).
第4题解图
5. 解：如解图，连接AB，过点D作DH⊥AB于点H，交y轴于点P′.
∵eq \f(\r(2),2)PB＋eq \r(2)PD＝eq \r(2)(eq \f(1,2)PB＋PD)，
∴当eq \f(1,2)PB＋PD取得最小值时，eq \r(2)(eq \f(1,2)PB＋PD)有最小值．
∵A(1，0)，B(0，－eq \r(3))，
∴OA＝1，OB＝eq \r(3)，
∴AB＝2，∠ABO＝30°，
∴∠BAO＝60°，P′H＝eq \f(1,2)P′B，
∴eq \f(1,2)P′B＋P′D＝P′H＋P′D，
∴当点P运动到点P′时，即H、P、D三点共线，且DH⊥AB时，eq \f(1,2)PB＋PD有最小值，最小值为DH的长．
∵抛物线的对称轴为直线x＝－eq \f(a,2a)＝－eq \f(1,2)，
∴OD＝eq \f(1,2).
∵在Rt△ADH中，∠ADH＝90°－∠OAB＝30°，AD＝OA＋OD＝eq \f(3,2)，
∴DH＝AD·cs30°＝eq \f(3\r(3),4)，
∴eq \f(1,2)PB＋PD的最小值为eq \f(3\r(3),4)，
∴eq \f(\r(2),2)PB＋eq \r(2)PD的最小值为eq \r(2)×eq \f(3\r(3),4)＝eq \f(3\r(6),4).
第5题解图