新八年级数学讲义第3讲角平分线与垂直平分线-提高班(学生版+解析)

这是一份新八年级数学讲义第3讲角平分线与垂直平分线-提高班(学生版+解析)，共17页。学案主要包含了例题精选，随堂练习等内容，欢迎下载使用。

1 角平分线
角平分线的性质
1.角的平分线的性质定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角的平分线的判定定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形的角平分线
三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.
4.与角平分线有关的辅助线
在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；
在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
【例题精选】
例1(2023秋•苏州期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝6，BC＝4，DE＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
例2 (2023秋•莫旗期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是15，AB＝9，BC＝6，则DE的长为（ ）
A．1B．3C．2D．4
【随堂练习】
1．(2023秋•中山市期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，AB＝6cm，DE＝4cm，S△ABC＝30cm2，则AC的长为（ ）
A．10cmB．9cmC．4.5cmD．3cm
2．(2023秋•东莞市期末）如图，在Rt△ABC中，BD是角平分线，若CD＝4，AB＝12，则△ABD的面积是（ ）
A．48B．24C．16D．12
2 垂直平分线
线段的垂直平分线
定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
【例题精选】
例1(2023秋•肥西县期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝________．
例2如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC＝7cm，ED的长为多少？
【随堂练习】
1．(2023•和平区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，且BE＝DE，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB＝ADB．AC＝BDC．CA平分∠BCDD．△BEC≌△DEC
2．(2023•东城区二模）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6cm，AC＝5cm，则△ACE的周长为________cm．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于（ ）
A．8cmB．9 cmC．10 cmD．11 cm
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．130°B．95°C．90°D．85°
二．解答题
1．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），请直接写出∠EAN的度数．（用含α的代数式表示）
2．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的长度．
3．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂线交BC于E，连接AE，若AE＝4，求BC的长．
4．如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．求证：
（1）AB是∠CAF的角平分线；
（2）∠FAD＝∠E．
第3讲 角平分线和垂直平分线
1 角平分线
角平分线的性质
1.角的平分线的性质定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.角的平分线的判定定理
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3.三角形的角平分线
三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.
4.与角平分线有关的辅助线
在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；
在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.
【例题精选】
例1(2023秋•苏州期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝6，BC＝4，DE＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
分析：作DF⊥BC于F，如图，根据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式，利用S△ABC＝S△ABD+S△BCD进行计算．
【解答】解：作DF⊥BC于F，如图，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD
＝×6×2+×4×2
＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
例2 (2023秋•莫旗期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是15，AB＝9，BC＝6，则DE的长为（ ）
A．1B．3C．2D．4
分析：作DF⊥BC交BC的延长线于F，根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据三角形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：作DF⊥BC交BC的延长线于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
由题意得，×AB×DE+×BC×DF＝15，
即×9×DE+×6×DF＝15，
解得，DE＝2，
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023秋•中山市期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，AB＝6cm，DE＝4cm，S△ABC＝30cm2，则AC的长为（ ）
A．10cmB．9cmC．4.5cmD．3cm
【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝4，
∵AB＝6，
∴S△ABC＝×6×4+AC×4＝30，
解得AC＝9；
故选：B．
2．(2023秋•东莞市期末）如图，在Rt△ABC中，BD是角平分线，若CD＝4，AB＝12，则△ABD的面积是（ ）
A．48B．24C．16D．12
【解答】解：作DE⊥AB于点E，如右图所示，
∵在Rt△ABC中，BD是角平分线，DC⊥BC，DE⊥AB，CD＝4，AB＝12，
∴DC＝DE＝4，
∴△ABD的面积是：＝24，
故选：B．
2 垂直平分线
线段的垂直平分线
定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
【例题精选】
例1(2023秋•肥西县期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝________．
分析：根据线段的垂直平分线得出AD＝BD，AE＝CE，推出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，求出∠BAD+∠CAE的度数即可得到答案．
【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，
∴∠BAD+∠CAE＝85°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，
故答案为：10°
【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
例2如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC＝7cm，ED的长为多少？
分析：根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，
∴ED＝EC＝7cm，
即ED的长为7cm．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【随堂练习】
1．(2023•和平区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，且BE＝DE，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB＝ADB．AC＝BDC．CA平分∠BCDD．△BEC≌△DEC
【解答】解：∵AC⊥BD，BE＝DE，
∴AB＝AD，BC＝CD，故A正确；
∴CA平分∠BCD；故C正确；
在△BEC和△DEC中，
，
∴△BEC≌△DEC（SSS），故D正确；
∵由已知条件无法得到AC＝BD，故B错误．
故选：B．
2．(2023•东城区二模）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6cm，AC＝5cm，则△ACE的周长为________cm．
【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵BC＝6cm，AC＝5cm，
∴EB+EC＝6cm，
∴EA+EC＝6cm，
∴EA+EC+AC＝6+5＝11cm，
即△ACE的周长是11cm，
故答案为：11．
综合练习
一．选择题（共3小题）
1．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于（ ）
A．8cmB．9 cmC．10 cmD．11 cm
【解答】解：∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，
∴AD＝DC，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+B，
∵C△ABD＝16cm，AB＝5cm，
∴BC＝11cm，
故选：D．
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为（ ）
A．130°B．95°C．90°D．85°
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠B＝60°，∠BAD＝70°，
∴∠BDA＝50°，
∴∠DAC＝∠BDA＝25°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝70°+25°＝95°
故选：B．
二．解答题
1．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC、BC于点M、N，连接AE，AN．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），请直接写出∠EAN的度数．（用含α的代数式表示）
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝100°﹣80°＝20°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，
＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝110°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝110°﹣70°＝40°；
（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；
当180°＞α＞90°时，∠EAN＝2α﹣180°．
2．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的长度．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∵∠C＝90°，∠BDC＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝BD，
∴CD＝AD，
∵AC＝6，
∴AD＝4．
3．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，作AC的中垂线交BC于E，连接AE，若AE＝4，求BC的长．
【解答】解：如图，作AM⊥BC于M．
∵AC的中垂线交BC于E，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠AEM＝∠EAC+∠C＝60°，
∵∠AME＝90°，AE＝EC＝4，∠MAE＝30°，
∴EMAE＝2，AM＝2，
∵∠B＝45°，∠AMB＝90°，
∴BM＝AM＝2，
∴BC＝BM+EM+EC＝6+2．
4．如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．求证：
（1）AB是∠CAF的角平分线；
（2）∠FAD＝∠E．
【解答】证明：（1）∵点C是AB的垂直平分线上的点，
∴CB＝CA，
∴∠CBA＝∠CAB，
∵AF∥BC交DE于点F，
∴∠BAF＝∠CBA，
∴∠BAF＝∠CAB．
即 AB是∠CAF的角平分线．
（2）∵点D是AB的垂直平分线上的点，
∴DB＝DA，
∴∠DBA＝∠DAB，
∵∠DBA＝∠E+∠CAB，∠DAB＝∠FAD+∠BAF，∠CAB＝∠BAF，
∴∠E＝∠FAD．