新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第03讲充分条件与必要条件练习(学生版+解析)

这是一份新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第03讲充分条件与必要条件练习(学生版+解析)，共15页。

1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系
【基础知识】
一、 “⇒”及“⇔”的含义
“⇒”是推断符号,p⇒q即如果p成立,那么q一定成立,
“⇔”表示“等价”,如“p ⇔q”指的是“如果p ,那么q”,同时有“如果q,那么p ”,或者说“从p 推出q”,同时可“从q推出p ”.
二、充分条件与必要条件
1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；
2.如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件；
3.如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件；
4.如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件；
5.如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件．
6.充分条件与必要条件的理解
充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.
必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”
7.从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；
(3)若A＝B,则p是q的充要条件；
(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；
(6)若AB且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件．
三、判断充分条件、必要条件的注意点
1.明确条件与结论.
2.判断若p,则q是否成立时注意利用等价命题.
3.可以用反例说明由p推不出q,但不能用特例说明由p可以推出q.
四、充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：
1.p是q的充分条件；
2.p的充分条件是q.
五、充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
2.要注意区间端点值的检验．
六、充要条件的证明策略
1.要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.
2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
【基础知识】
考点一：充分条件与必要条件的判断
例1．(2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期第一次段考)“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
考点二：与充分条件必要条件命题真假的判断
例2．(多选)(2022学年广东省广州市越秀区高一上学期期末)下列四个命题中为真命题的是( )
A．“”是“”的既不充分也不必要条件
B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
C．关于的方程有实数根的充要条件是
D．若集合，则是的充分不必要条件
考点三：根据充分条件与必要条件求参数范围
例3．(2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一上学期期中)设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______.
考点四：充分条件与必要条件的推理
例4．(2022学年安徽省A10联盟高一上学期期中联考)已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是( )
A．是的必要不充分条件B．是的充要条件
C．是的充分不必要条件D．是的充要条件
【真题演练】
1．(2020-2021学年重庆市青木关中学高一上学期12月月考)“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2.(2022学年安徽省蚌埠第三中学高一下学期开学测试)设P：，q：，则p是q成立的( )
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
3.(2022学年辽宁省抚顺市抚顺县高中高一上学期10月月考)下列说法正确的是( )
A．是的充分不必要条件
B．是的充要条件
C．若，则是的充分条件
D．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
4.(多选)(2022学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一上学期期中联考)已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有( )
A．B．C．D．
5.(2022学年湖北省武汉市水果湖高中高一上学期10月月考)若“或”是“”的必要不充分条件，则实数k的值可以是( )
A．B．C．1D．4
6.(2022学年湖北省高一上学期期末调考)若命题p是命题“”的充分不必要条件，则p可以是___________.(写出满足题意的一个即可)
7. (2022学年江西省丰城市第九中学高一上学期第一次月考)给出下列命题：
①已知集合，且，则集合的真子集个数是4；
②“”是“”的必要不充分条件；
③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
④设，则“”是“”的必要不充分条件
其中所有正确命题的序号是__________．
8.(2022学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期末)已知非空集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【过关检测】
1.(2022学年湖南省长沙市望城区金海学校高一上学期期中)“”是“”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2. 使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是( )
A．x＞0B．x＜0或x＞4
C．0＜x＜3D．x＜0
3.(2022学年湖南省益阳市箴言中学高一上学期10月月考)设，则“或”是“”的( )
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
4. (2022学年福建省福州市闽侯县一中学高一上学期月考)在△ABC中，AB2+BC2=AC2是△ABC为直角三角形的( )条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
5．(多选)(2020-2021学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中)p是q的必要条件的是( )
A．B．
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．，q：关于x的方程有唯一解
6.(多选)设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有( )
A．B．
C．D．
7. (多选)已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则( )
A．是的充分条件B．是的必要条件
C．是的必要不充分条件D．是的充要条件
8.下列命题：
①“且”是“”的充要条件；
②当时，“”是“方程有解”的充要条件；
③“或”是“方程”的充要条件．其中正确的序号为______．
9．已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．
10.(2022学年贵州省毕节市金沙县高一10月月考)已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根.
(1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围.
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第03讲 充分条件与必要条件
【学习目标】
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系
【基础知识】
一、 “⇒”及“⇔”的含义
“⇒”是推断符号,p⇒q即如果p成立,那么q一定成立,
“⇔”表示“等价”,如“p ⇔q”指的是“如果p ,那么q”,同时有“如果q,那么p ”,或者说“从p 推出q”,同时可“从q推出p ”.
二、充分条件与必要条件
1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；
2.如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件；
3.如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件；
4.如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件；
5.如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件．
6.充分条件与必要条件的理解
充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.
必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”
7.从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；
(3)若A＝B,则p是q的充要条件；
(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；
(6)若AB且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件．
三、判断充分条件、必要条件的注意点
1.明确条件与结论.
2.判断若p,则q是否成立时注意利用等价命题.
3.可以用反例说明由p推不出q,但不能用特例说明由p可以推出q.
四、充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：
1.p是q的充分条件；
2.p的充分条件是q.
五、充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
2.要注意区间端点值的检验．
六、充要条件的证明策略
1.要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.
2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
【基础知识】
考点一：充分条件与必要条件的判断
例1．(2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期第一次段考)“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
答案:B
解析：三角形的某两条边相等则三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，所以充分性不成立；三角形为等边三角形则其三边相等，能得到三角形的任意两边也是相等的，所以必要性成立.
故选B.
考点二：与充分条件必要条件命题真假的判断
例2．(多选)(2022学年广东省广州市越秀区高一上学期期末)下列四个命题中为真命题的是( )
A．“”是“”的既不充分也不必要条件
B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
C．关于的方程有实数根的充要条件是
D．若集合，则是的充分不必要条件
答案:AC
解析：且，所以A正确；
正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；一元二次方程有实根则，反之亦然，故C正确；
当集合A=B时，应为充要条件，故D不正确.故选AC.
考点三：根据充分条件与必要条件求参数范围
例3．(2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一上学期期中)设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______.
答案:
解析：由已知可得，所以，.
考点四：充分条件与必要条件的推理
例4．(2022学年安徽省A10联盟高一上学期期中联考)已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是( )
A．是的必要不充分条件B．是的充要条件
C．是的充分不必要条件D．是的充要条件
答案:BD
解析：由题意得，，，，，，所以，，，
所以是的充要条件，是的充要条件，是的充要条件，故选BD.
【真题演练】
1．(2020-2021学年重庆市青木关中学高一上学期12月月考)“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案:B
解析：因为，故可得或，若，则不一定有，故充分性不满足；
若，则一定有，故必要性成立，综上所述：“”是“”的必要不充分条件.
故选.
2.(2022学年安徽省蚌埠第三中学高一下学期开学测试)设P：，q：，则p是q成立的( )
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
答案:B
解析：由不能推出，例如，但必有，
所以：是：的必要不充分条件.故选B.
3.(2022学年辽宁省抚顺市抚顺县高中高一上学期10月月考)下列说法正确的是( )
A．是的充分不必要条件
B．是的充要条件
C．若，则是的充分条件
D．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
答案:B
解析：A. 由 ，所以是的必要不充分条件，故A错误；
B. 时，则，反过来也成立，所以是的充要条件，故B正确；
C. ，则p是q的必要条件，故C错误；
D. 矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，所以一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，故D错误.故选B
4.(多选)(2022学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一上学期期中联考)已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有( )
A．B．C．D．
答案:CD
解析：由得，即，故能使成立的充分不必要条件有CD.故选CD.
5.(2022学年湖北省武汉市水果湖高中高一上学期10月月考)若“或”是“”的必要不充分条件，则实数k的值可以是( )
A．B．C．1D．4
答案:ACD
解析：若“或”是“”的必要不充分条件，所以或，
所以或.故选ACD
6.(2022学年湖北省高一上学期期末调考)若命题p是命题“”的充分不必要条件，则p可以是___________.(写出满足题意的一个即可)
答案:，(答案不唯一).
解析：因为当时，一定成立，而当时，可能，可能，
所以是的充分不必要条件，故答案为：(答案不唯一)
7. (2022学年江西省丰城市第九中学高一上学期第一次月考)给出下列命题：
①已知集合，且，则集合的真子集个数是4；
②“”是“”的必要不充分条件；
③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
④设，则“”是“”的必要不充分条件
其中所有正确命题的序号是__________．
答案:③④
解析：①，故真子集个数为个，错误；
②由，可得或，故“”是“”的充分不必要条件，错误；③由开口向上且对称轴为，只需即可保证原方程有一个正根和一个负根，故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，正确；
④当，时，不成立；当时，且，故“”是“”的必要不充分条件，正确.故答案为③④
8.(2022学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期末)已知非空集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
解析： (1)由已知，或，
所以或＝；
(2)“”是“”的充分不必要条件，则，解得，
所以的范围是．
【过关检测】
1.(2022学年湖南省长沙市望城区金海学校高一上学期期中)“”是“”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案:A
解析：由题，将代入，等式成立，所以“”是“”的充分条件；
求解，得到，故“”是“”的不必要条件；故选A
2. 使“0＜x＜4”成立的一个必要不充分条件是( )
A．x＞0B．x＜0或x＞4
C．0＜x＜3D．x＜0
答案:A
解析：设p: 0＜x＜4，所求的命题为q，则原表述可以改写为q是p的必要不充分条件，即q推不出p，但p⇒q.，显然由: 0＜x＜4，能推出x＞0，推不出x＜0或x＞4、0＜x＜3、x＜0，
故选A
3.(2022学年湖南省益阳市箴言中学高一上学期10月月考)设，则“或”是“”的( )
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
答案:B
解析：若“或”则“”为真，等价于若“”则“且”为真，显然该命题为假，
“或”推不出“”，反之，若“”，则“或”为真，等价于若“且”则“”为真，显然成立，“”可推出“或”，
“或”是“”的必要非充分条件，故选B
4. (2022学年福建省福州市闽侯县一中学高一上学期月考)在△ABC中，AB2+BC2=AC2是△ABC为直角三角形的( )条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
答案:A
解析：在△ABC中，若AB2+BC2=AC2，，则，即△ABC为直角三角形，
若△ABC为直角三角形，推不出，所以AB2+BC2=AC2不一定成立，
综上，AB2+BC2=AC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件，故选A
5．(多选)(2020-2021学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中)p是q的必要条件的是( )
A．B．
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．，q：关于x的方程有唯一解
答案:CD
解析：对于A，，，∴p推不出q，q推不出p，p是q既不充分也不必要条件；对于B，；当时，满足但q推不出p，故p是q的充分不必要条件；对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；
反之，若“四边形是正方形”成立“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要条件；
对于D，关于x的方程有唯一解，故p是q的充分必要条件.故选CD.
6.(多选)设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有( )
A．B．
C．D．
答案:BCD
解析：
由图可知，B，C，D都是的充要条件，故选BCD．
7. (多选)已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则( )
A．是的充分条件B．是的必要条件
C．是的必要不充分条件D．是的充要条件
答案:AD
解析：由已知得：；.是的充分条件；是的充分条件；
是的充要条件；是的充要条件.故选AD
8.下列命题：
①“且”是“”的充要条件；
②当时，“”是“方程有解”的充要条件；
③“或”是“方程”的充要条件．其中正确的序号为______．
答案:③
解析：①且时，成立，反之不一定成立，如，，所以“且”是“”的充分不必要条件，故①错误；
②方程有解的充要条件是，故②错误；
③当或时，方程一定成立，
反过来，方程成立时，或，故③正确．
9．已知集合，或，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．
答案:
解析：∵“”是”的必要条件，∴，
当时，，则；
当时，根据题意作出如图所示的数轴，
由图可知或，解得或，
综上可得，实数a的取值范围为．
10.(2022学年贵州省毕节市金沙县高一10月月考)已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根.
(1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围.
解析： (1)假设存在满足条件的实数a，则，即，.
因为，是关于x的方程的两个不同的实数根，所以，
即，解得，即当时，“”是“”的充要条件.
(2)由题意可知，关于x的方程的两根分别为和.
因为“”是“”的必要不充分条件，所以B A .
当，即时，，
则解得；
当，即时，，
则解得.
综上，a的取值范围是或.