九年级数学下册专题12圆中的重要模型之定角定高(探照灯)模型、米勒最大角模型(原卷版+解析)

这是一份九年级数学下册专题12圆中的重要模型之定角定高(探照灯)模型、米勒最大角模型(原卷版+解析)，共66页。试卷主要包含了米勒最大张角模型， 定角定高模型等内容，欢迎下载使用。
近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。
模型1.米勒最大张角（视角）模型
【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。
米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。

【模型证明】
如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。
在三角形AC’D中，
又
【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
例1．（2023·江苏九年级课时练习）如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到点A时，同伴乙已经冲到点B，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？（仅从射门角度大小考虑）
例2．（2023·四川宜宾·校考二模）如图，已知点A、B的坐标分别是、，点C为x轴正半轴上一动点，当最大时，点C的坐标是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023上·江苏泰州·九年级统考期末）如图．在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP= ．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门AB的张角达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点．(1)如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时，，，为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点______；
(2)如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门，于点D，，．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．①用含a的代数式表示DQ的长度并求出的值；
②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为，若此时守门员站在张角内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功．（结果用含a的代数式表示）
例5．（2023·四川宜宾·校考三模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，当面积的最大值时，求出此时点的坐标；(3)点是直线上的一动点，连接，，设外接圆的圆心为，当最大时，求点M的坐标（直接写答案）．

模型2. 定角定高模型（探照灯模型）
定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。。

条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。
结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。
证明思路：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，
过点O作OE⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOE=∠BAC=；∴BC= 2BE=2OBsin=2rsin。
∵OA+OE≥AD（当且仅当点A，O，E三点共线时,等号成立），∴r+rcsa≥h，
.当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin；△ABC的面积最小:ADrsin；
△ABC的周长最小:2rsin+ADrsin。
例1．（2023·贵州贵阳·九年级校考阶段练习）如图，，边、上分别有两个动点C、D，连接，以为直角边作等腰，且，当长保持不变且等于时，则长的最大值为 cm．
例2、（2023·重庆·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝12，点E，F均在AD上，且∠ABE+∠FCD＝90°，则四边形BCFE面积的最大值为 ．
例3．（2023·陕西咸阳·校考二模）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心O到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为_______；
【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值；
【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图③，为基地的大致规划示意图，其中，平分交于点，点为上一点，学校计划将四边形部分修建为农业实践基地，并沿铺设一条人行走道，部分修建为兴趣活动基地．根据规划要求，米，．且农业实践基地部分（四边形）的面积应尽可能小，问四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

例4．（2023·广东·校考一模）问题提出：（1）如图①，已知在边长为10的等边△ABC中，点D在边BC上，BD＝6，连接AD，则△ACD的面积为 ；
问题探究：（2）如图②，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面积；
问题解决：（3）如图③是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与B、C、D重合），且∠EAF＝45°，为了减少对该路段的拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
例5．（2023·重庆·校考三模）问题探究
（1）如图①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，则S△ABC＝ ．
（2）如图②，已知四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，请求出四边形ABCD面积的最大值．
问题解决（3）如图③，某小区有一个四边形花坛ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．为迎接“十四运”，园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型，根据造型设计要求，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°，现需要在△AEF的区域内种植甲种花卉，其余区域种植乙种花卉．已知种植甲种花卉每平方米需200元，乙种花卉每平方米需160元．试求按设计要求，完成花卉种植至少需费用多少元？（结果保留整数，参考数据：≈1.7）
课后专项训练
1．（2023·广东广州·九年级校考期中）如图，已知正方形和直角三角形，，，连接，．若绕点A旋转，当最大时，的面积是（ ）
A．B．6C．8D．10
2．（2022·辽宁沈阳·校考三模）如图是一个矩形足球球场，为球门，于点D，米．某球员沿带球向球门进攻，在Q处准备射门，已知米，米，对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为米；此时门将站在张角内，双臂伸开且垂直于进行防守，中点与距离 米时，刚好能成功防守．
3．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，在正方形中，，M是的中点，点P是上一个动点，当的度数最大时，的长为 ．

4．（2023·四川凉山·校联考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为 ．
5．（2023·广东·一模）已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°。则△ABO的面积最小值为 ．
6．（2023·广西·九年级期中）在四边形ABCD中，点E在BC边上（不与B、C重合）．
（1）如图（1），若四边形ABCD是正方形，AE⊥EF，AE＝EF，连CF．
①求∠BCF的大小；②如图（2），点G是CF的中点，连DG、ED，若DE＝6，求DG的长；
（2）如图（3），若四边形ABCD是矩形，点M在AD边上，∠AEM＝60°，CD＝9，求线段AM的最小值．
7．（2023上·湖北九年级课时练习）如图，某雕塑位于河段上，游客在步道上由点出发沿方向行走．已知，，当观景视角最大时，游客行走的距离是多少米？

8．（2023·广西北海·统考二模）综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．
(1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：．
(2)【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大．当最大时，求点的坐标．

9．（2023·福建厦门·统考二模）一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外角．（1）证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角；
（2）应用（1）的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示．该文物高度为，放置文物的展台高度为，如图2所示．为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的视角最大（视角：文物最高点P、文物最低点Q、参观者的眼睛A所形成的），则分隔参观者与展台的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由．（说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身高；②通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高）
10．（2023·广东·九年级专题练习）1471年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：假定有一个雕塑高AB＝3米，立在一个底座上，底座的高BC＝2.2米，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，这个人的水平视线离地1.7米，问此人应站在离雕塑底座多远处，才能使看雕塑的效果最好，所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点，如图：过A、B两点，作一圆与EF相切于点M，你能说明点M为所求的点吗？并求出此时这个人离雕塑底座的水平距离？
11．（2023·河南三门峡·统考二模）阅读与思考
请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．弥勒是德国著名数学家，他在1471年提出了著名的弥勒定理：
如图1，已知A，B是的边上的定点，当且仅当的外接圆与相切（与相切于点C）时最大，此时．

小明思考后给出如下证明：
证明：如图2，在OM上任取一点，连接，，与相交于点D，连接．
∵点C，D在上，∴（依据①），
又∵是的一个外角，∴，∴，
即当且仅当的外接圆与OM相切（与相切于点C）时最大．
如图3，过切点C作的直径，连接，则，，
∴，，
∴，（依据②）
又∵，……∴
任务：(1)写出小明证明过程中的依据：依据①： ；依据②： ．
(2)请你将小明的证明过程补充完整；(3)结论应用：如图4，已知点A，B的坐标分别是和，C是x轴正半轴上一个动点，当最大时，点C的坐标为______．

12．（2023·福建福州·校考一模）圆周角定理是初中数学中很重要的一个定理，它反映的是圆心角和圆周角的关系，在实际生活中也有很多的应用．
(1)如图，为的一条弦，点在弦所对的优弧上，若，请直接写出的度数．
[应用](2)福州某标志建筑可抽象为线段，很多摄影爱好者喜欢在斜对面的大桥上对其拍照.若摄影师想在对建筑视角为（即）的位置拍摄，请在线段上作出点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）。
[拓展](3)问题：如图，已知建筑物宽为30米，一名摄影师从距点30米的点（点在直线上）出发，沿大桥方向前进，当摄影师到达对建筑物视角最大的最佳拍摄点时，求他前进的距离．
这个问题可以利用圆周角定理进行简化：过点、作，与直线相切于点，此时最大，即点为最佳摄影点．连接并延长交于点，连接，，，求的长．

13．（2023·广西梧州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C，其顶点为D点．(1)求抛物线的解析式．(2)连结，动点Q的坐标为．P为抛物线上的一点，是否存在以B，D，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．(3)连结，当最大时，求出点Q的坐标．

14．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角．如图1，对于线段及线段外一点C，我们称为点C对线段的视角．如图2，在平面直角坐标系中，已知点，．为过D，E两点的圆，F为上异于点D，E的一点．(1)如果为的直径，那么点F对线段的视角______；
(2)如果点F对线段的视角为45度，那么的半径为多少？
(3)点G为x轴正半轴上的一个动点，当点G对线段的视角最大时，求点G的坐标．
15．（2023·广东珠海·统考二模）小辉同学观看2022卡塔尔世界杯时发现，优秀的球员通常都能选择最优的点射门（仅从射门角度大小考虑）．这引起了小辉同学的兴趣，于是他展开了一次有趣的数学探究．
【提出问题】如图所示．球员带球沿直线奔向球门，探究：是否存在一个位置，使得射门角度最大．
【分析问题】因为线段长度不变，我们联想到圆中的弦和圆周角．
如图1，射线与相交，点M，点A，点N分别在圆外、圆上、圆内，连接．
【解决问题】(1)如图1，比较的大小：________（用“