圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型（解析版）

这是一份圆中的重要模型之定角定高（探照灯）模型、米勒最大角模型（解析版），共54页。试卷主要包含了米勒最大张角模型， 定角定高模型，71+10×4等内容，欢迎下载使用。
近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。
模型1.米勒最大张角（视角）模型
【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。
米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。

【模型证明】
如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。
在三角形AC’D中，
又
【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
例1．（2023·广东珠海·九年级统考期末）如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门PQ，仅从射门角度大小考虑，小明将球传给哪位球员射门较好（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，得出，根据三角形外角的性质得出，得出最大，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴最大，∴小明将球传给丁球员射门较好，故选：D．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
例2．（2023·山东日照·校考三模）在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（-1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使最大，则P点的坐标为 ．
【答案】（1，0）
【分析】作△MNP的外接圆E，则∠MPN为弦MN所对的圆周角，推出当圆E和x轴相切时，∠MPN最大，设E（x，y），则P（x，0），根据圆半径相等得到关于x和y的方程，解之即可．
【详解】解：∵点P在x轴正半轴上，作△MNP的外接圆E，则∠MPN为弦MN所对的圆周角，
∴当圆E的半径最小时，∠MPN最大，∴当圆E和x轴相切时，∠MPN最大，
设E（x，y），则P（x，0），又M（1，4），N（-1，2），根据EM=EN=PE，
则，由化简可得：x+y=3，
由化简可得：，
将y=3-x代入中，解得：x=1或x=-7（舍），∴P（1，0），故答案为：（1，0）．
【点睛】本题考查了圆的性质，切线的性质，圆周角，根据夹角转化为圆的半径最小是解题的关键，有一定难度．
例3．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，在正方形ABCD中，AB=4，M是AD的中点，点P是CD上一个动点，当∠APM的度数最大时，CP的长为 ．

【答案】4−22
【分析】过点A、M作⊙O与CD相切于点P′,记AM的中点为N,PM与⊙O交于点Q,连接AP′,MP′,OM,OP′,AQ,则∠AP′M=∠AQM>∠APM，证明四边形OP′DN是矩形, 再求出圆的半径，利用勾股定理和矩形的性质即可求解．
【详解】：过点A、M作⊙O与CD相切于点P′,记AM的中点为N,PM与⊙O交于点Q,连接AP′,MP′,OM,OP′,AQ,

则∠AP′M=∠AQM>∠APM，
∵四边形ABCD是正方形，AB=4，∴∠ADP′=90°，AD=CD=AB=4，
∵M是AD的中点，∴AM=DM=12AD=2，
∵过点A、M作⊙O与CD相切于点P′，∴∠OP′D=90°，
∵AM的中点为N,∴ON⊥AM，AN=NM=12AM=1，
∴∠OND=90°，∴四边形OP′DN是矩形, ∴OM=OP′=DN=DM+MN=3,
在Rt△MON中,ON=OM2−MN2=22，
∴DP′=ON=22,∴当点P运动到点P′时，∠APM最大，
此时CP=4−22，故答案为：4−22
【点睛】本题考查了最大张角问题，涉及到了切线的性质、垂径定理、圆周角定理、正方形的性质、勾股定理解三角形、矩形的判定与性质等内容，解题关键是理解当P点在与BC相切且经过D点和M点的圆上且位于切点处时张角最大．
例4．（2023·广东深圳·统考二模）课本呈现：如图1，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角（）有关．当球员在，处射门时，则有张角．某数学小组由此得到启发，探究当球员在球门同侧的直线射门时的最大张角．
问题探究：（1）如图2，小明探究发现，若过、两点的动圆与直线相交于点、，当球员在处射门时，则有．
小明证明过程如下：设直线交圆于点，连接，则
∵___________
∴___________
∴
（2）如图3，小红继续探究发现，若过、两点的动圆与直线相切于点，当球员在处射门时，则有，你同意吗？请你说明理由．
问题应用：如图4，若，米，是中点，球员在射线上的点射门时的最大张角为，则的长度为___________米．

问题迁移：如图5，在射门游戏中球门，是球场边线，，是直角，．若球员沿带球前进，记足球所在的位置为点，求的最大度数．（参考数据：，，，，．）
【答案】（1）；（2）同意，理由见解析；问题应用：10；问题迁移：
【分析】（1）根据等量代换，按步骤进行作答即可；
（2）如图3，记直线交过、两点的动圆于点G，连接，解答过程同（1）；
问题应用：由（2）可知，与切点连线的夹角是最大的张角，如图4，为过、两点的动圆的圆心，为动圆与的切点，则，，证明，则，证明三点共线，则，，，根据，计算求解即可；
问题迁移：如图5，作线段的垂直平分线交于，交于点P，由（2）可知，点P即为所求，则四边形为矩形，记动圆的圆心为O，设，则，在中，由勾股定理得，，即，求得，则，根据，即，计算求解即可．
【详解】（1）解：设直线交圆于点，连接，则，
∵，∴，∴；
（2）解：同意，理由如下，
如图3，记直线交过、两点的动圆于点G，连接，则，
∵，∴， ∴；
问题应用：解：由（2）可知，与切点连线的夹角是最大的张角，如图4，为过、两点的动圆的圆心，为动圆与的切点，
∴，，∵，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴三点共线，
∴，，，∴，故答案为：10；
问题迁移：如图5，作线段的垂直平分线交于，交于点P，由（2）可知，点P即为所求，则四边形为矩形，
记动圆的圆心为O，设，则，
在中，由勾股定理得，，即，
解得，∴，∵，
∴，∴的最大度数为．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，切线的性质，余弦、正切，勾股定理，作垂线，矩形的判定与性质等知识．解题的关键在灵活运用知识进行求解．
例5．（2023上·北京东城·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，给出如下定义：
对于及外一点P，M，N是上两点，当最大，称为点P关于的“视角”．
直线l与相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于的“视角”．
(1)如图，的半径为1，①已知点，直接写出点A关于的“视角”；
已知直线，直接写出直线关于的“视角”；
②若点B关于的“视角”为，直接写出一个符合条件的B点坐标；
(2)的半径为1，①点C的坐标为，直线经过点，若直线关于的“视角”为，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线关于的“视角"大于，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
【答案】(1)①，；②（答案不唯一）(2)①②
【分析】（1）①过作的切线，切点分别为、，可证四边形是正方形，可得关于的“视角”是，直线与轴交于点，过点作的切线，切点为、，由，即可求解；②由①得，关于的“视角”为，可得，由对称性可得、、都可以，取其一为答案，即可求解．
（2）①可求，可得点在以为圆心，为半径的圆上，点是直线上与圆心的距离最短的点，直线以为圆心，为半径的圆的一条切线，作轴于点，可求，由，可求，从而可求
，即可求解；②如图，当与直线相切时，切点为，连接，可求，，从而可求，直线关于的“视角”是时，作于，、是的切线，、是切点，，即可求解．
【详解】（1）解：①如图，过作的切线，切点分别为、，
，的半径为，四边形是正方形，关于的“视角”是，
直线与轴交于点，过点作的切线，切点为、，，，
在中：，，
同理可求：，，
直线关于的“视角”为；故答案：，．
②由①得，关于的“视角”为，，
由对称性可得、、都可以．
（2）解：①如图，
直线经过点，
，，，
点关于的“视角”为，点在以为圆心，为半径的圆上，
直线关于的“视角”为，点是直线上与圆心的距离最短的点，，
直线以为圆心，为半径的圆的一条切线，
如图，作轴于点，，，，
在中：，
，，，
解得：，
，解得：；
②如图，当与直线相切时，切点为，连接，，

当时，，解得：，当时，，，，
在中：，，
在中：，，解得：，，
如图，直线关于的“视角”是时，作于，、是的切线，、是切点，，，，解得：，
在中，，，解得：，
；．
【点睛】本题考查了新定义“视角”，切线的性质，特殊角的三角函数，理解新定义：（1）圆外一点关于圆的视角就是：“过圆外一点向圆引两条切线，这两条切线的夹角就是这个点关于这个圆的视角”；（2）当直线和圆相离时，这条直线关于这个圆的视角就是“过圆心向这条直线作垂线，垂足关于这个圆的视角就是这条直线关于这个圆的视角”是解题的关键．
模型2. 定角定高模型（探照灯模型）
定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型。。

条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。
结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。
证明思路：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，
过点O作OE⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOE=∠BAC=；∴BC= 2BE=2OBsin=2rsin。
∵OA+OE≥AD（当且仅当点A，O，E三点共线时,等号成立），∴r+rcsa≥h，
.当取等号时r有最小值，此时BC的长最小:2rsin；△ABC的面积最小:ADrsin；
△ABC的周长最小:2rsin+ADrsin。
例1．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，已知四边形中，，连接、交于点，，．若，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】作的外接圆，连接，，过点作于点，勾股定理求得，根据三角形三边关系，求得的最大值，进而求得的最大值，即可求解．
【详解】解：如图所示，作的外接圆，连接，，过点作于点，
∵，．∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，，
∴∴
∵∴，∴的最大值为,
∵，∴的最大值为,故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，正确的添加辅助线是解题的关键．
例2、（2023·山东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一点，且∠BEC=45°，则四边形ABCD面积的最小值为 。

【解析】如图，过点E作EF⊥BC于点F，作三角形BEC的外接圆，
连接OB，OC，OE，过点O作OG⊥BC于点G，则EF=2，（AD与BC之间的距离为2），
BG=CG=BC，OB=OC=OE，∠ BOC=2∠BEC，
∵∠BEC= 45°，∴∠BOC= 90°，∠OBC=∠OCB=45°，
设OB=OC=OE=r，则OG= BG=r，BC=2BG=r，
∵OE+OG≥EF,，∴ r+r≥2，解得r≥4-4，即BC≥4-4，
当G，O，E三点共线，即EF与EG重合时，BC有最小值，最小值为4-4，
∴SABCD最小=BC最小×EF=(4-4)×2=8-8，四边形ABCD面积的最小值为8-8。
例3．（2023·陕西咸阳·校考二模）【问题提出】（1）如图①，为的一条弦，圆心O到弦的距离为4，若的半径为7，则上的点到弦的距离最大值为_______；
【问题探究】（2）如图②，在中，为边上的高，若，求面积的最小值；
【问题解决】（3）“双减”是党中央、国务院作出的重大决策部署，实施一年多来，工作进展平稳，取得了阶段性成效，为了进一步落实双减政策，丰富学生的课余生活，某校拟建立一块综合实践基地，如图③，为基地的大致规划示意图，其中，平分交于点，点为上一点，学校计划将四边形部分修建为农业实践基地，并沿铺设一条人行走道，部分修建为兴趣活动基地．根据规划要求，米，．且农业实践基地部分（四边形）的面积应尽可能小，问四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）11；（2）；（3）四边形的面积存在最小值，最小值为平方米
【分析】（1）根据圆的性质直接可得答案；
（2）作的外接圆，连接，过点O作于点，设，则，根据垂线段最短可得R的最小值，从而得出的最小值，进而得出答案；
（3）过点作于点于点，则，在上截取，连接，利用证明，则，要使四边形的面积最小，只需的面积最小，由（2）同理求出面积的最小值即可．
【详解】解：（1）∵圆心O到弦的距离为4，若的半径为7，
∴上的点到弦的距离最大值为，故答案为：11；
（2）作的外接圆，连接，过点O作于点，如图．

．
设，则，由，得，即，
∴，，
．即面积的最小值为
（3）过点作于点于点，∵平分，∴．
又，．
米，，，
为等腰直角三角形，∴米，
（平方米），平方米．
在上截取，连接，如图．
，，
，
要使四边形的面积最小，只需的面积最小．
，，
作的外接圆，如图，连接，作于点，
则，∴．
设，则．
由，得，解得，米，
（平方米），
（平方米）．
即四边形的面积存在最小值，最小值为平方米．
【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，交平分线的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，将四边形面积最小问题转化为三角形面积最小是解题的关键．
例4．（2022·陕西西安·校考模拟预测）【问题提出】（1）如图1，是等腰直角三角形，，可得到 ，点D，E分别在边，上，且，把绕点A旋转时，则的值是 ；
【问题探究】（2）如图2，O为矩形对角线的交点，点M为边上任一点，且与边交于点N，若，，求四边形面积的最大值；
【问题解决】（3）如图3，是西安市纺渭路的一部分，因燃气管道抢修，需在米，米的矩形平面开挖一个的工作面，其中E、F分别在直线、直线上，且，为缓解该路段对市民正常生活和出行影响，经勘测发现的面积越小越好，求出的面积最小值．

【答案】（1），；（2）；（3）8
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质易得，结合旋转的性质，证，即可求得；
（2）过点作于点，作于点，证，设，分点在线段上和点在线段上两种情况讨论，分别求出关于的一次函数解析式，根据一次函数性质即可求解；（3）将绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，根据矩形的判定和性质可得和的比值，然后根据三角形外接圆性质得，，最后根据三角形面积公式可得答案．
【详解】（1）是等腰直角三角形，，
，，；
，，也是等腰直角三角形，
，，，
，，，
，故答案为：，；
（2）如图，过点作于点，作于点，
四边形是矩形，O为矩形对角线的交点，，，
，，，，
，，
，，，
当点在线段上时，点在线段上，设，则，
，
当时，取得最大值，最大值为6，
当点在线段上时，点在线段上，设，则，
，
当时，取得最大值，最大值为，
，四边形面积的最大值；

（3）四边形是矩形，，，
如图，将绕点顺时针旋转并把边长缩小为原来的，得到，
，，，
过点作于点，于点，
，四边形是矩形，且，
，设的外接圆半径为，，，
由题意得，即，，
，的面积最小值为，
的面积最小值为．

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
例5．（2023·重庆·校考三模）问题探究
（1）如图①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，则S△ABC＝ ．
（2）如图②，已知四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，请求出四边形ABCD面积的最大值．
问题解决（3）如图③，某小区有一个四边形花坛ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．为迎接“十四运”，园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型，根据造型设计要求，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°，现需要在△AEF的区域内种植甲种花卉，其余区域种植乙种花卉．已知种植甲种花卉每平方米需200元，乙种花卉每平方米需160元．试求按设计要求，完成花卉种植至少需费用多少元？（结果保留整数，参考数据：≈1.7）
【答案】（1）；（2）16；（3）．
【分析】（1）过点A作于点D，根据等腰三角形的性质求出，利用正弦求出，再根据三角形面积公式即可求解； （2）因为， 四点共圆，所以当BD是直径时，四边形ABCD的面积最大，此时，由勾股定理可得 ，因为四边形 ，所以，当 时，四边形ABCD是正方形，由不难求出，进而求得四边形ABCD的最大面积；（3） 因为甲种花卉贵，所以若费用最少，则甲种花卉种植面积最小，最小时，将绕A顺时针旋转到，可证得三点共线，通过证明，得，过点A作过点A作于K，求得，作的外接圆，连接 ，过点作于点N，通过过得 面积的最小值为， 再通过求求得乙种花卉的种植面积为 ，最后根据甲乙两种花卉每平方米的价格求出至少种植两种花卉的费.
【详解】解：（1）如图①，过点作于点D，
，是等腰三角形，，
，，故答案为：
（2），四点共圆，
当为直径时，最大，此时 ，，
，由勾股定理， ，
时，四边形是正方形，最大，，
， 的最大值=，
（3）如图③
甲种花卉贵，若费用最少，则甲种花卉种植面积最小，最小时，将绕A顺时针旋转到，由旋转可得
三点共线，

，，
过点A作过点A作于K，，
作的外接圆，连接 ，过点作于点N，
设
在中，，，
， ，，
，面积的最小值为
且
，
乙种花卉的种植面积为
种四花卉花费：元，种乙花卉花费：元，
至少花费元．
【点睛】本题是一道四边形的综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数，正方形的性质和判定，直径所对的圆周角是直角，三角形和四边形的面积问题等知识，利用四点共圆及图形的旋转变换是解决本题的关键．
课后专项训练
1．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，正方形ABCD中，，E，F分别是边AB，AD上的动点，，连接DE，CF交于点P，过点P作，且，若的度数最大时，则AE长为（ ）

A．2B．3C．D．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质可得，求得，得到点在以为直径的半圆上运动，过作，并且点在的右侧，，连接，，推出四边形是菱形，于是得到点在以为圆心，半径为3的半圆上运动，当与相切时，最大；证明，即可得，由相似三角形的性质，即可求出的长，即的长．
【详解】解：∵四边形是正方形，，，，
在和中，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴点在以为直径的半圆上运动，
取的中点，过作，并且点在的右侧，，
连接，，过作，与的延长线于点，

∵，，∴，
∴，，∴四边形是平行四边形，
∵，∴，∴，∴四边形是菱形，
∴点在以为圆心，半径为3的半圆上运动，当与相切时，最大；
∵，且，
∴四边形是正方形，∴；
设，∵，，
∴平分，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，即，
∵，∴，∴，即，
∴，∴．故选：A ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正方形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，动点运动轨迹的判断，圆与直线的位置关系等知识，解题的关键是根据圆的定义判断当与圆相切时最大．
2．（2022下·江苏南通·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点A1,0，B7,0．点C是y轴正半轴上一动点，则当∠ACB的度数最大时，点C的坐标为 ．
【答案】0,7
【分析】依题意，经过A、B、C三点的圆的圆心一定在第一象限，设圆心为E，过E作EC⊥x轴交于C，过E作EG⊥x轴交于G，得出四边形COGE为矩形，在y轴上任意取一点M，连接AM、BM，MB与圆E的交点为N，连接AN，当y轴与圆E相切时，∠ACB的度数最大，勾股定理得出EG=7，则OC=7，即可求解．
【详解】解：∵点C在y轴正半轴上运动，∴经过A、B、C三点的圆的圆心一定在第一象限，
设圆心为E，过E作EC⊥x轴交于C，过E作EG⊥x轴交于G，
∴四边形COGE为矩形，∴CE=OG，OC=EG，
在y轴上任意取一点M，连接AM、BM，MB与圆E的交点为N，连接AN，
∴∠ACB=∠ANB，∵∠ANB>∠AMB，∴∠ACB>∠AMB，
∴当y轴与圆E相切时，∠ACB的度数最大，
∵A1,0，B7,0，∴G4,0，∴OG=CE=4，AG=3，∴AE=4，
∴EG=7，∴OC=7，∴C0,7；故答案为：0,7．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，得出当y轴与圆E相切时，∠ACB的度数最大是解题的关键．
3．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 米．

【答案】203
【分析】先证OB是⊙F的切线，切点为E，当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F，

∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，
∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝3EF＝203m，∴EF＝MF，
又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切线，切点为E，
∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，
此时OP＝203m，故答案为：203．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，切线的判定，直角三角形的性质，证明OB是⊙F的切线是解题的关键．
4．（2023·四川成都·校联考二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE的最小面积与最大面积之比等于 ．
【答案】
【分析】根据勾股定理得到AC＝4，当AD⊥BC时，△ADE的面积最小，根据三角形的面积 公式得到AD＝，根据相似三角形的性质得到AE＝，当D与C重合时，△ADE的面积最大，根据相似三角形的性质得到AE＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，
当AD⊥BC时，△ADE的面积最小，∴AD＝，
∵△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AE＝，
∴△ADE的最小面积；当D与C重合时，△ADE的面积最大，
∵△ADE∽△ABC，，，∴AE＝，
∴△ADE的最大面积＝，
∴△ADE的最小面积与最大面积之比＝，故答案为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的面积公式，正确的理解题意是解题的关键．
5．（2023·浙江·九年级统考期末）如图1，直线a与圆相切于A，B是直线a上另一点，C、D在圆上，那么∠CBD(8400 - 1200)= 840000+ 120000 ,
∴完成景观树和花卉的种植至少需费用（景观树每平方米的费用×景观树面积+花卉每平方米的费用×花卉面积）（ 840000+ 120000）元。
9.（2023·山东·九年级校考阶段练习）如图，是某座城市延康大道的一部分，因自来水抢修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD区域内开挖一个△AEF的工作面，其中E、F分别在BC、CD边上（不与B、C、D重合），且∠EAF＝45°，为了减少对该路段的拥堵影响，要求△AEF面积最小，那么是否存在一个面积最小的△AEF？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】定角旋转，求面积最小，考虑将AF顺时针旋转90°交BC所在直线于G，构造定角定高模型，通过三角函数，等积转化，将求△AEF和△AEG的面积用相同的边表示，既将求S△AEF的最小值转化为求S△AEF’的最小值。
【解答】把△ADF绕点A顺时针旋转90°并缩小为，得到△ABG，
则AG＝AF，∠EAG＝∠EAF＝45°，过点E作EM⊥AG于M，EN⊥AF于N，
∵∠EAG＝∠EAF，EM⊥AG，EN⊥AF，∴EM＝EN，
设△AGE的外接圆圆心为O，连接OA、OG、OE，过得O作OH⊥GE于H，
则∠GOE＝2∠EAG＝90°，设△AGE的外接圆的半径为R，
则GE＝R，OH＝R，由题意得，OA+OH≥AB，即R+R≥4，解得，R≥8﹣，
∴△AGE的面积≥××（8﹣）×4＝16﹣16，
∴△AGE的面积的最小值为16-16，∴△AEF的面积的最小值为﹣24．
10．（2023·陕西西安·校考二模）如图，已知四边形ABCD中，∠BCD＝60°，连接AC、BD交于点E，BE＝2ED＝4．若CE＝2AE，求AC的最大值
【答案】
【分析】本题首先作△BCD的外接圆⊙O，连接OB，OD，OC，OE，过点O作OH⊥BD于H，解直角三角形求出OE，OC，继而求出EC，AE的最大值即可求解本题．
【详解】作△BCD的外接圆⊙O，连接OB，OD，OC，OE，过点O作OH⊥BD于H，如下图所示：
∵BE＝2ED＝4，∴DE＝2，BD＝4+2＝6，
∵，∴∠BOD＝2∠BCD＝120°，
∵OB＝OD=OC，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，
又∵OH⊥BD，∴BH＝HD＝3，∴OH＝，OB＝2OH＝，
∴HE＝BE﹣BH＝4﹣3＝1，∴OE＝＝＝2，
∵，∴，∴EC的最大值为，
∵EC＝2AE，∴AE的最大值为，∴AC的最大值为．
【点睛】本题考查圆的综合，解题关键在于辅助线的构造以及最值问题的转化，同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系需熟记于心，求解边长时勾股定理较为常用，几何题目出现60°等特殊角度时，常构建特殊的直角三角形，利用三边关系以简化运算．
11．（2023上·广西南宁·九年级校联考阶段练习）【提出问题】我们知道，点和圆有三种位置关系（如图1）．已知在⊙O中，点A、B、C分别是圆外、圆上、圆内的点，点D、E是上不与点B重合的任意两点，分别连接AD、AE、BD、BE、CD、CE，如何比较、、的大小关系．
【解决问题】小邕利用已学知识判断和的大小关系，步骤如下：
解：，理由如下：
如图2，延长DC与相交于点F，连接EF，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，
∵是△CFE的外角，∴∠DFE+∠CEF=∠DCE，
∴∠DFE