数学-2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）01（考试及解析）

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本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足（为虚数单位），是的共轭复数，则（ ）
A．5B．C．10D．
3．已知复数z在复平面内对应的点为M，在复平面内对应的点为N，i是虚数单位，则“点M在第一象限”是“点N在第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．若数列的首项，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数的部分图象为（ ）
A．B．
C．D．
7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．设是定义在上的周期为3的函数，当时，，则（ ）
A．﹣1B．1C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．某省年美术联考约有名学生参加，现从考试的科目素描满分分中随机抽取了名考生的考试成绩，记录他们的分数后，将数据分成组：，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法不正确的是（ ）
A．由频率分布直方图可知，全省考生的该项科目分数均不高于分
B．用样本估计总体，全省该项科目分数小于分的考生约为人
C．若样本中分数小于的考生有人，则可估计总体中分数在区间内约人
D．用样本估计总体，全省考生该项科目分数的中位数为分
10．已知函数的图象过点和，的最小正周期为T，则（ ）
A．T可能取
B．在上至少有3个零点
C．直线可能是曲线的一个对称轴
D．若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则
11．如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若E是CD的中点，则直线AE与PB所成角为
B．的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
12．下列命题中正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在的展开式中x的系数为______．
14．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有____种．（用数字作答）
15．已知抛物线C：（p>0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，与抛物线C的准线交于点E，若，则p＝________.
16．设，定义的差分运算为.用表示对a进行次差分运算，显然，是一个维数组.称满足的最小正整数的值为的深度.若这样的正整数不存在，则称的深度为.
（1）已知，则的深度为__________.
（2）中深度为的数组个数为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤
17．设数列满足，.求的通项公式.
18．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
(1)求角C的值；
(2)若，求周长的取值范围．
19．如图，在圆锥中，已知底面，，的直径，是的中点，为的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值.
20．已知椭圆上一点与它的左、右两个焦点，的距离之和为，且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C．
①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；
②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．
21．已知函数.
(1)若是奇函数，且有3个零点，求的取值范围；
(2)若在处有极大值，求当时的值域.
22．已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．