数学-2024届新高三开学摸底考试卷（上海专用）（考试及解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题：本题共12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分。
1．设集合，则__________.
【答案】
【详解】由题意，
在中，解得：，
∴，
故答案为：.
2．复数，则__________．
【答案】2
【详解】，，
故答案为：2．
3．的展开式中的系数是______．
【答案】288
【详解】，考虑展开式中的系数.
而展开式的通项公式为，
令，则，令，则，
故展开式中的系数为：
，
故答案为：.
4．已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为______.
【答案】
【详解】∵，∴，为单位向量，，
又∵，
∴，即，
∴在方向上的投影向量为.
故答案为：.
5．在一次高二数学联考中，某校数学成绩．已知，则从全校学生中任选一名学生，其数学成绩小于100分的概率为________．
【答案】0.75/
【详解】因为，
所以，，
所以.
故答案为：0.75.
6．函数，的值城为______．
【答案】
【详解】，设，
，
为偶函数，不妨取，函数在上单调递增，
故，，故函数值域为.
故答案为：.
7．若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【详解】因为是奇函数，
所以对恒成立，
即对恒成立，
所以，则，故，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简得.
故答案为：
8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，分别为圆柱上､下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若底面圆的半径为，，则圆柱的外接球的表面积与圆锥的侧面积的比值是______.

【答案】
【详解】由圆柱的对称性知，圆柱外接球的球心为的中点，
则外接球的半径为，
所以外接球的表面积为，
又圆锥的母线长为，则侧面积为，
所以.
故答案为：
9．已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为________．
【答案】
【详解】的图象关于点对称，，即，令，可得的最小值为．
故答案为：
10．已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【详解】
如图：与轴焦点为，
当点在圆外，
则表示的两条射线与圆相切与相切时恰有两个公共点，
联立得，
由，
得，
因，所以，
故，
当点在圆上，

如图，此时与有3个或1个交点不符合题意，
当点在圆内，

如图，此时与有2个交点符合题意，
此时，，
得
综上的取值范围为：.
故答案为：.
11．已知等比数列的首项，公比，，且，则的前2023项和为______.
【答案】2
【详解】因为，所以，化为，解得或，
又因为，所以，又因为，所以，得到或，
又，所以，故，
所以，
故答案为：.
12．若函数的图象上存在不同的两点，坐标满足关系：，则称函数与原点关联．给出下列函数：
①； ②； ③； ④．
其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）．
【答案】①②④
【详解】设，则，
由题意可知，即，即，
所以，又，
所以，即共线，亦即三点共线，
也即存在过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，称为西数函数与原点关联.
对于①，易知函数经过原点，且图象关于原点对称，存在点A、B与点O三点共线，故①是与原点关联的函数；
对于②，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图，
所以存在实数k使得直线与函数图象在R上有3个交点，
即存在点A、B与点O三点共线，故②是与原点关联的函数；
对于③，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图，
所以存在实数k使得直线与函数图象在上有1个交点，
即不存在点A、B与点O三点共线，故③不是与原点关联的函数；
对于④，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图，
所以存在实数k使得直线与函数图象在上有2个交点，
即存在点A、B与点O三点共线，故④是与原点关联的函数；
故答案为：①②④.
二、选择题：本题共4小题，13、14题每题4分，15、16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
13．已知两个平面，，及两条直线，．则下列命题错误的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，，则
D．若，是异面直线，，，，，则
【答案】C
【详解】对于A，若，，，，根据面面垂直的性质定理可得，A正确；
对于B，若，，则，又，则，B正确；
对于C，若，，，，则与可以相交或平行，C错误；
对于D，因为，，所以存在直线，，
因为，是异面直线，所以与相交，
因为，，，所以，
又因为，，所以，D正确，
故选：C
14．函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以图象关于原点对称，
所以排除B、D；
因为，且，
所以，所以排除C；
故选：A．
15．下列说法不正确的是（ ）
A．甲、乙、丙三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9，则样本容量为18
B．设一组样本数据，，…，的方差为2，则数据，，.…，的方差为32
C．在一个列联表中，计算得到的值，则的值越接近1，可以判断两个变量相关的把握性越大
D．已知随机变量，且，则
【答案】C
【详解】对于A：设样本容量为，则，故，故A正确.
对于B：设样本数据，，…，的均值为，
则数据，，.…，的均值为，
故数据，，.…，的方差为：
，
故B正确.
对于C：越大，可以判断两个变量相关的把握性越大，越小则把握性越小，故C错误.
对于D：由正态分布的对称性可得：
，
故D正确.
故选：C.
16．在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：､类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由杨辉三角中观察得可得.
推广，得到
即
由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为
故选:B
三、解答题：共14+14+14+18+18=70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，其中，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为，
(2)
【详解】（1）因为，，
则，
，
故，
因为最小正周期为，所以，所以，故，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，.
（2）由（1）及，即，又，
所以，解得，
又为锐角三角形，即，即，
解得；
由正弦定理得，又，则，
所以.
18．如图，已知三棱柱，，，为线段上的动点，．

(1)求证：平面平面；
(2)若，为线段的中点，，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，，，，平面，
所以平面．
又平面，所以，
又，即，而，，平面，
所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
（2）由（1）知平面平面，
又平面平面，，平面，
所以平面，又，
所以平面，所以CA，CB，两两垂直，
以C为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、x轴的正方向，
建立空间直角坐标系如图所示：

因为，所以四边形为矩形，
又因为，所以四边形为正方形.
因为，，所以，
所以，，，.
由D是线段的中点，得，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则 即
取，则，所以，
所以.
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．浙江省是第一批新高考改革省份，取消文理分科，变成必考科目和选考科目．其中必考科目是语文、数学、外语，选考科目由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，从镇海中学高三在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计如表：
(1)从这100名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数相等的概率；
(2)从这100名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数之差的绝对值，求随机变量X的数学期望；
(3)学校还调查了这100位学生的性别情况，研究男女生中纯理科生大概的比例，得到的数据如下表：（定文同时选考物理、化学、生物三科的学生为纯理科生）
请补齐表格，并说明依据小概率值的独立性检验，能否认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关．
参考公式：，其中．
附表：
【答案】(1)
(2)
(3)表格见解析，可以认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关
【详解】（1）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A，
则两人选考物理、化学、生物科目数量（以下用科目数或选考科目数指代）为1的情况数为，
数目为2的为，数目为3的有，则．
（2）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2．
当X为0时，对应概率为（1）中所求概率：；
当X为1时，1人选考科目数为1，另一人为2或1人为2，1人为3：
；
当X为2时，1人为1，1人为3：．
则分布列如图所示：
故X的期望为．
（3）由题意可得：
零假设为：同时选考物理、化学、生物三科与学生性别相互独立，
即同时选考物理、化学、生物与学生性别无关．
，
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即可以认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．
20．已知椭圆C：的左右焦点分别为、，离心率，、分别为椭圆C的左、右顶点，且.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若O为坐标原点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，求面积的最大值；
(3)若椭圆上另有一点M，使得直线与斜率、满足，请分析直线BM是否恒过定点.
【答案】(1)
(2)1
(3)直线MB恒过定点
【详解】（1）由已知可得：，
解得：，，则，则有C：；
（2）由于直线l不能与y轴垂直，故设，
，代入可得
恒成立，设，，
则有，
点O到直线l的距离为
所以
当且仅当：时取最大值；

（3）设直线MB的方程为
，代入可得
，可设、
则有，，
因为，所以，
因为在椭圆上，所以，所以，
代入，且，
可得，
即，即
即
由于，化简得，即直线MB恒过定点.

21．已知关于x方程在区间内有且只有一个解.
(1)求实数a的取值范围；
(2)如果函数，求证：在上存在极值点和零点；
(3)对于（2）中的和，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由得，
令，
当时，，，
若，则，此时无解；
若，，当时，，
则在上单调递增，所以至多有一个零点，
而，，
所以存在，使，即方程有且只有一个解，
综上，实数a的取值范围为.
（2）因为，
所以，
由（1）知，，
显然在上单调递减，
又，，
所以存在，，
在上，，在上，，
可得在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，又，
所以在上存在唯一零点，
当时，当时，，
而当时，，
即当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，即在上有唯一极值点且为极大值点，
又，所以，，
所以在上有唯一零点.
综上，在上存在极值点和零点.
（3）先证明：，
因为由（2）知，所以只需证明，
，
由（2）知，
所以，
设，则，所以单调递增，
所以，即，
所以，得，
令，，
所以在上单调递减，
所以，于是，所以，
于是，又，
所以有，又，
所以有.
选考物理、化学、生物的科目数
1
2
3
人数
20
40
40
性别
纯理科生
非纯理科生
总计
男性
30
女性
5
总计
100
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
P
性别
纯理科生
非纯理科生
总计
男性
30
55
85
女性
10
5
15
总计
40
60
100