[数学]江苏省南通市如皋市2023-2024学年七年级下学期期中试题（解析版）

这是一份[数学]江苏省南通市如皋市2023-2024学年七年级下学期期中试题（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 在实数，，，中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D. 2024
【答案】A
【解析】，
在实数，，，中，属于无理数的是，
故选：A．
2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】∵，
∴点位于第三象限，
故选：C．
3. 若是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】B
【解析】∵是二元一次方程的解，
∴
∴．
故选：B．
4. 如图，与的度数最接近的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
∴与的度数最接近的是，
故选：C．
5. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 同旁内角互补
B. 相等的角是对顶角
C. 如果，那么
D 同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【答案】D
【解析】A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
C、如果，那么，原命题是假命题，不符合题意；
D、同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，原命题是真命题，符合题意；
故选：D．
6. 一个正数的两个平方根分别为 和 ，则 的值为（ ）
A. 6B. C. 3D.
【答案】D
【解析】一个正数的平方根分别是和，
，
．
故选：D．
7. 如图，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
，
，
，
故选：B．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，则的值为（ ）．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】∵点，的坐标分别为，，，
∵将线段平移至，
∴，，
∴，
∴．
故选A．
9. 利用边长为的正方形和两边长为的长方形，构造出如图所示的两个大正方形，则的值为（ ）
A. B. 25C. D. 30
【答案】D
【解析】根据题意得，
整理得，
∴
解得．
故选：D．
10. 当都是实数，且满足，则称点为完美点．已知关于，的方程，点是完美点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解方程组得，
∵点是完美点，
∴点是完美点，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，第 11—12题每小题3分，第 13—18题每小题4分，共30分，不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 计算：=_____．
【答案】
【解析】．
故答案为：
12. 如图，甲处表示2街与5巷的十字街口，乙处表示5街与2巷的十字路口，如果用有序数对表示甲处的位置，那么乙处的位置可以表示为_____________．
【答案】
【解析】由题意得，有序数对的第一个数表示街，第二个数表示巷，
∴乙处的位置可以表示为，
故答案为：．
13. 已知关于，的方程组，用含有的式子表示，可得_____________．
【答案】
【解析】
由①得，
∴将③代入②得，．
故答案为：．
14. 如图，利用一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼得到一个大正方形，则该大正方形的边长等于_________________．
【答案】
【解析】∵大正方形的面积等于两个小正方形的面积，
∴，
∴或（舍去），
故答案为：．
15. 如图，点分别在的两边上，将三角形沿折叠得到三角形，若，则的度数为_________________
【答案】
【解析】由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16. 古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里在数羊的数量．如果乙给甲9只羊，则甲的羊数量为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数量相同．则乙的羊数量为______只．
【答案】45
【解析】设甲放只羊，乙放只羊，
由题意得：，解得：，
即：乙羊数量45只．
故答案为：45．
17. 如图，将长为、宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则图中阴影部分的面积为_________________．
【答案】
【解析】由平移的性质可得，空白部分是一个长方形，且长为，宽为，
∴阴影部分面积为，
故答案为：.
18. 如图，平面直角坐标系中，点 的坐标分别为，是轴上的两个动点，且 为线段上一动点，则的最小值为_________________
【答案】4
【解析】如图所示，把点C向右平移2个单位长度得到点H，连接，
∵，
∴，
∴，
∴可以看做是平移得到的，
∴，
∴，
∴当且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，
∴此时有，
∴，
∴，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解方程组：
（1）
（2）
解：（1）
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：；
（2）
整理得，
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
20. 完成下面的证明：
如图，，垂足分别为 ，且 ．求证：．
证明：（已知）
， （垂直的定义），
．
（同位角相等，两直线平行）．
（ ）
又 （已知），
．
（ ）
证明：（已知）
，（垂直的定义），
．
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同位角相等）
又 （已知），
．
（内错角相等，两直线平行）
故答案为：90；90；；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
21. 已知的算术平方根是3，是的立方根，是的整数部分．
（1）求 的值；
（2）求的平方根，
解：（1）∵的算术平方根是3，是的立方根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的整数部分是3，即；
（2）由（1）得，，，
∴，
∵16的平方根为，
∴的平方根为．
22. 如图，直线和直线相交于点，平分．画的反向延长线，过点在内部画射线，使垂直于直线．
（1）请用三角尺画出图形，判断是否为的角平分线，并说明理由；
（2）若，求的度数．
解：（1）如图所示，即为所求；
是的角平分线，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线；
（2）∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23. 小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为．面积为．
（1）求长方形信封的长和宽；
（2）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断．
解：（1）∵信封的长、宽之比为，
∴设长方形信封的长为，宽为，
由题意得，
∴（负值舍去），
∴长方形信封的长为，宽为；
（2）面积为的正方形贺卡的边长是．
∵，
∴
∴
∴信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
24. 已知平面直角坐标系中，．
（1）在坐标系中描出各点，并画出三角形
（2）求三角形的面积；
（3）若点在轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点的坐标．
解：（1）如图所示，三角形即为所求；
（2）；
（3）由（2）可得，
∴，∴，∴，
∵，
∴点P坐标为或．
25. 某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题：
（1）购买 D种奖品的金额为 元；
（2）求购买的 B，C两种奖品的数量；
（3）为进一步培养学生的环保意识，该校七年级以上面的价格再购进 B，C，D三种奖品共20件，共花费210元，请确定所有可能的购买方案．
解：（1）由表格可得：购买 D种奖品的金额为（元）；
（2）由表格可得：设购买 B种奖品x件，则购买C种奖品件，
∴，
解得：，
∴，
∴购买 B种奖品6件，购买C种奖品12件；
（3）设购买 B种奖品m件，购买 C种奖品n件，则购买D种奖品件，
由题意得：，
∴，
∵m，n为正整数，
∴当时，，，
当时，，，
当时，，，
∴共三种购买方案．
26. 如图，在四边形中，，为边上一点，且 ．

（1）求证：平分；
（2）如图2，为上一动点（不与点 重合），．求证：；
（3）在（2）的条件下，若，过点 作直线 ，作 ，交直线 于点 ，用等式表示与的数量关系，并说明理由．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分；

（2）证明：如图所示，过点E作交于H，
∴，
∵，，
∴，
由（1）可得，
∴，∴，∴；

（3）解：或，理由如下：
如图所示，设直线l与直线 交于H，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，；
综上所述，或．
奖名
单价（元/件）
数量/件
金额/元
A
55
4
220
B
18
C
12
D
9
12
合计
-
32
556