[数学]湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考试题（解析版）

这是一份[数学]湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考试题（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，考试结束后，将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，将答题卡上交．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出得四个选项中，只有一项是符合题目要求得．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题可知，
，
所以有．
故选：D.
2. 已知为虚数单位，若为纯虚数，则实数（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】为纯虚数，
故，所以．
故选：B
3. 根据与之间的一组数据求得两个变量之间的经验回归方程为，已知数据的平均值为1.2，则数据的平均值为（ ）
A. 2.6B. 2.3C. 1.8D. 1.5
【答案】A
【解析】将代入回归直线方程，
可得．
故选：A.
4. 已知为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 8D. 6
【答案】C
【解析】根据题意，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：C
5. 是圆上的动点，则点到直线的距离最大值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】由圆，可知圆心的坐标为，半径为，
由，可得，所以直线恒过定点．
故圆心到直线的最大距离为，圆上的动点到直线的最大距离为．
故选：D.
6. 井字棋起源于古希腊，是一种在格子上进行的连珠游戏，其玩法与五子棋类似．两名玩家分别持不同棋子轮流在九个格子中落子，直到某位玩家的三颗棋子在同一条直线上后游戏结束，该玩家获胜．小明与小红进行井字棋游戏，小明执黑棋先下，小红执白棋．若当棋盘上刚好下满5个棋子时游戏结束，则棋盘上的棋子的分布情况共有几种（ ）
A. 144B. 120C. 96D. 90
【答案】B
【解析】当棋盘中恰好有5颗棋子时游戏结束，则说明赢方的三颗棋子连成了一条直线，共有8种情况．（横三种，纵三种，斜两种），
棋盘上剩余6个空格，其中两个空格要放输方的白棋，共有种．
故此时棋子的分布情况共有种.
故选：
7. 双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线右支上的一点，连接交左支于点．若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】如图所示，
由双曲线的定义可知：，
所以，又有，因为，
即手，
所以则为等边三角形，，
由余弦定理可得：
，解得．
故选：B
8. 已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，设切点坐标为，
则曲线在该点处的切线方程为：，
又在切线上，即，
则方程有两不同解，
令，
易知时，单调递增不合理，故．
当时，，当时，单调递减，时，单调递增，故为极小值；
要使有两解，则，即，
令在上单调递增，
又因为，所以
易知，
又因为为方程的解，故有，
代入可得，故所求取值范围为．故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列前项和为，下列说法正确的有（ ）
A. 等差数列，若，则，其中
B. 等比数列，若，则，其中
C. 若等差数列，则成等差数列
D. 若等比数列，则成等比数列
【答案】AC
【解析】选项A为等差数列下标和的性质，故选项A正确；
当时，成立，当为常数列时，反之不成立，故选项B错误；
选项C中，设d为公差，
为等差数列，故选项C正确；
当时，，此时选项D的表述错误，故选项D错误.
故选：AC.
10. 已知，则下列描述正确的是（ ）
A. B. 除以5所得的余数是1
C. 中最小为D.
【答案】BC
【解析】对于A，当时，，
当时，可得，故，故A不正确；
对于B，，
除最后一项外，其余项都可以被5整除，故余数为1，故B正确；
对于C，二项式系数，可知奇数项小于零，偶数项大于零，
则最小必然在奇数项中产生，，
所以最小的为，故C正确；
对于D，，
则有，故D错误．
故选：BC.
11. 正方体，棱长为2，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，的最小值为
B. 当与面所成角为时，则点的轨迹长度为
C. 当时，的最小值为
D. 当时，过三点的平面与正方体的截面面积的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A，如图1所示，当时，点在上运动，在等边中，
的最小值为边上的高，故最小值为，故A正确；
对于B，如图2所示，当与平面所成角为时，易知，
所以为与平面所成角，所以，
故的轨迹为，故长度为，故B正确；
对于C，如图3，当时，在线段上运动，对于，
将平面与平面展开并绕旋转到同一平面，
如图4所示：此时在三点共线时取最小值，为与的交点，
过点作的垂线，垂足为点，
此时，
故C错误；
对于D，如图5所示，点在正方形的边与中点连线上运动，
将截面补充完整，则截面为面，由对称性可得四边形为平行四边形，
故，其中为到的距离．
当在或处时，此时到的距离最大为；
当在中点或中点时，有最小距离，
故截面面积的取值范围是，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量，且，则_________．
【答案】0.4
【解析】由随机变量服从得，
故答案：0.4
13. 长期用嗓所致的慢性咽喉炎，一直是困扰教师们的职业病．据调查，某校大约有的教师患有慢性咽喉炎，而该校大约有的教师平均每天没有超过两节课，这些人当中只有的教师患有慢性咽喉炎．现从平均每天超过了两节课的教师中任意调查一名教师，则他患有慢性咽喉炎的概率为_________．
【答案】0.6
【解析】设所求的概率为，由全概率公式得，，得．
故答案为：.
14. 已知是正项数列，其前项的和为，且满足表示不超过的最大整数，若恒成立，则的取值范围为_________．
【答案】
【解析】当时，，
解得
当时，，
变形得，所以是公差为等差数列，
所以，所以，所以有；
①当为正整数时，，此时；
②当为正整数时，，此时恒成立；
当时，有最大值，此时恒成立，为正整数，故，
综上的取值范围是．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 如图，已知为圆柱底面圆的直径，为下圆周上的动点，为圆柱母线．
（1）证明：平面平面；
（2）若点到平面的距离为，四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
解：（1）因为为直径，所以，因为为母线，
即平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，
又且，所以为平行四边形，
所以，所以平面，
而平面，所以平面平面.
（2）过点作，交于点，
因为，平面，平面，所以平面，
因为点到平面距离为，所以点到平面的距离为，
又平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
所以到的距离为，即，
因为，，
所以在中，，所以，
在中，，所以，则，
设圆柱的母线长为，则四棱锥体积，解得，
在底面内以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系．
则，，，，
则，
设平面的法向量为，
则，即，
取，
设平面的法向量为，
则，即，
取，
因此，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
16. 已知．且，函数的最小正周期为．
（1）求函数的解析式与单调递增区间；
（2）在锐角中，内角的对边分别是，点在上，且平分，求的周长．
解：（1）由题可得，
因为，所以，
即，
所以，
因为的周期为，
故，
所以.
由，
故单调递增区间为：；
（2）因为且为三角形内角，
即，
故或，
又因为三角形为锐角三角形，故，
因为，如图所示.
所以，
即，
由余弦定理可得，
即，
代入，
可得，
解得或（舍去），
故的周长为．
17. 如图，点在圆上运动且满足轴，垂足为点，点在线段上，且，动点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）已知，过动直线交曲线于两点（点在轴上方）分别为直线与轴的交点，是否存在实数使得？说明理由．
解：（1）设点的坐标为，点，
由题意可知，
则由题可得，即，
点在圆上运动，，
即的轨迹方程为
（2）易知直线的斜率不为0，设方程为，
由，得，
设，则，
直线的方程，得，
直线的方程，得，
由此得，，
又因为，即，
所以，
所以存在实数，使得．
18. 二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量．
（1）证明：（ⅰ）（，且），其中为组合数；
（ⅱ）随机变量的数学期望；
（2）一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量表示事件A发生的次数，试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系．
解：（1）（ⅰ）因为，
且，
所以；
（ⅱ）因为，，
可得
，
令，则.
（2）由题意可知：，
又因为随机变量，所以，
因为，
假设时，其概率最大，
则，解得，
可知，所以其数学期望小于最有可能发生的次数．
19. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，注：阶导数指对一个函数进行次求导，表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，为自然对数的底数，，该公式也称麦克劳林公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
（1）利用泰勒公式求的近似值；（精确到小数点后两位）
（2）设，证明：；
（3）证明：（为奇数）．
解：（1）由泰勒公式知，①
于是有；
（2）由上得，②
由①②得，
，
所以，
即；
（3）当为偶数时，为奇数时，．
故原式可化为，③
由上题可知，
故有，③式．