江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题

这是一份江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某工厂生产，，种不同型号的产品，产量之比为3：2：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中种型号的产品有18件，则样本容量（ ）
A.40B.60C.80D.100
2．复数，则的虚部为（ ）
A．B．C． D．
3．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ）
①若，则为异面直线 ②若，则
③若，则 ④若，则
⑤若，，则
A．②③⑤B．①②⑤C．④⑤D．①③
4.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时,则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
5.已知，则（ ）
A.B.C.D.
6.已知是单位向量，且，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
7.在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（ ）
A.B.C.D.1
8.锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现点数为奇数”，事件B=“出现点数为3”，事件C=“出现点数为3的倍数”，事件D=“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（ ）
A．B与D互斥B．A与D互为对立事件C．D．
10.在中，内角A、B、C的对边分别为、、， AD为边BC的上的中线，
AD=x，BC=x，以下说法正确的是 ( )
A. 若，则的面积的最大值为 B. 若λ= 6，则AB⋅AC=-x2
C. 若λ=1，则 D. 若，则的取值范围是
11.棱长为2的正方体，，分别是，的中点，则（ ）
A.直线与直线是异面直线
B.过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为
C.在上存在一点，使二面角的大小为
D.点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在2,3,5,7,11,13这6个数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为素数的概率是__．
13.如图，在等腰直角ΔABC中，∠B=90​∘，AC=4，D为AC的中点，将线段AC绕点D旋转得到线段EF.设M为线段AB上的点，则ME⋅MF的最小值为____．
14.在四面体中，，，，，，则四面体的外接球的表面积为 ，四面体的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.复数，且在复平面上对应的点在第一象限．
(1)若，求复数的模；
(2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值．
16.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
(2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
17.如图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面．
(1)证明：；（2）若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值．
18.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.
在中，内角，，的对边分别为，，.
（1）若，且的面积为，设点为的费马点，求的取值范围；
（2）若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.
19.在三棱柱中，，，，, 分别为的中点.
(1)证明：平面∥平面；
(2)证明：平面⊥平面；
(3)若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围．
1.某工厂生产，，种不同型号的产品，产量之比为3：2：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中种型号的产品有18件，则样本容量（ ）B
A.40B.60C.80D.100
2．复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【分析】利用复数的除法运算和乘方运算计算得解.
【详解】，
所以复数.故选：
3．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ）
①若，则为异面直线 ②若，则
③若，则 ④若，则
⑤若，，则
A．②③⑤B．①②⑤C．④⑤D．①③
【答案】A【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可.
【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误；
对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确；
对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确；对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误.
⑤正确，故选：A
4.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时,则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（ ）D
A．B．C．D．
租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况．
都付0元的概率为；……………………………………2分
都付2元的概率为；……………………………………2分
都付4元的概率为．……………………………………2分
所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为．……………………………………1分
5.已知，则（ ）B
A.B.C.D.
6.已知是单位向量，且，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）C
A．B．C．D．
7.在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（ ）D
A.B.C.D.1
8.锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）C
A．B．C．D．
可得，
由于为锐角三角形，则，即，解得，
，因为，则，
因为存在最大值，则，解得．故选：C．
9．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现点数为奇数”，事件B=“出现点数为3”，事件C=“出现点数为3的倍数”，事件D=“出现点数为偶数”，
则以下选项正确的是（ ）ABD
A．B与D互斥B．A与D互为对立事件C．D．
10.在中，角的对边分别为，为边上的中线，，，以下说法正确的是 ( )ACD
A. 若，则的面积的最大值为
B. 若λ= 6，则AB⋅AC=-x2
C. 若λ=1，则35≤csA<1
D. 若，则的取值范围是
解：对于A，∵ AD为边 BC上的中线，∵λ=2，即BC=2AD，|AB+AC|=|AB-AC|，故为直角三角形，则为等腰直角三角形时面积最大，故A正确；
对于B，∵AB+AC=2AD，AC-AB=BC，又AD=x,BC= 6x，
∴4AB⋅AC=(AB+AC)2-(AC-AB)2=(2AD)2-BC2=4x2-6x2=-2x2，∴AB⋅AC=-x22，故B错误；
对于C，若λ=1，AB⋅AC=|AB||AC|cs A=x2-x24=34x2，
由AB+AC=2AD，可得AB2+AC2=4AD2-2AB⋅AC=4x2-32x2=52x2，
∴AB2+AC2=52x2，2AB⋅AC⩽52x2当且仅当AB=AC，∴cs A=34x2|AB||AC|⩾34x254x2=35，A∈(0,π)，
∴35⩽cs A<1，故C正确；
对于D，在△ABC中，，，
AB⋅AC=x2-x2=bccs A=bc⋅b2+c2-a22bc，
所以b2+c2-x2=，∴b2+c2=，
即b2=-c2，
∴tan Btan C=sin Bcs Ccs Bsin C=bc⋅a2+b2-c22aba2+c2-b22ac=a2+b2-c2a2+c2-b2=-1，
又(-1)x∴(-1)2x2∴tan Btan C∈，故D正确．
11.在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，则（ ）.BD
A.直线与直线是异面直线
B.过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为
C.在上存在一点，使二面角的大小为
D.点到平面的距离为
12.在“2，3，5，7，11，13”这6个素数中，任取2个不同的数，则这两个数之和仍为素数的概率是___．
解：从中随机选取两个不同的数的所有基本事件为：
(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)， (3,5)，(3,7)，(3,11)，(3,13)，(5,7)，(5,11)，(5,13)，(7,11)，(7,13)，(11,13)，共15个．
记“两数之和仍为素数为事件A，故A的基本事件有(2,3)，(2,5)，(2,11)，故P(A)=315=15
13.如图，在等腰直角ΔABC中，∠B=90​∘，AC=4，D为AC的中点，将线段AC绕点D旋转得到线段EF.设M为线段AB上的点，则ME⋅MF的最小值为__________．
解：连接AF，FC，CEEA，因为AC=EF，D为AC，EF的中点，
所以四边形AECF为矩形，则∠EAF=90∘，AE⋅AF=0，AE+AF=AC．
设|MA|=t，则ME⋅MF=(MA+AE)⋅(MA+AF)
=|MA|2+AE⋅AF+MA⋅(AE+AF)=|MA|2+MA⋅AC
=t2-2 2t=(t- 2)2-2≥-2，当且仅当t= 2时，取等号所以ME⋅MF的最小值为-2．
14.在四面体中，，，，，，则四面体的外接球的表面积为 ，四面体的体积为 ．
解：在四面体ABCD中，因为BD2=AB2+AD2，所以△ABD为直角三角形，
因为BD2=BC2+CD2，所以△BCD为直角三角形，
取BD的中点O，则OA=OB=OD=OC，所以O为四面体ABCD的外接球的球心，
则BD为四面体ABCD的外接球的直径，
所以四面体ABCD的外接球的表面积为S=4πR2=(2R)2π=17π．
将四面体ABCD补成直三棱柱A1BC-AB1D，
由条件可知，AA12+A1B2=8，且AA1=CD=2，所以A1B=2，
又A1C=AD=3，故四面体ABCD的体积为
VA-BCD=VB-ACD=VB-A1AC=VA-A1BC=13×12×2×3×2=2．
15.复数，且在复平面上对应的点在第一象限．
(1)若，求复数的模；
(2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值．
【详解】（1）
（2），，，
，
16.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
(2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
【详解】（1）由题意可知：，解得，
可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数为，
因为，,
设第25百分位数为，则，则，解得，故第25百分位数为63．
（2）10人中，第四组为8人。第五组为2人，记第四组的人的编号为1到8，第五组的人的编号为9和10，则样本空间共45个样本点，
记两名面试者成绩都在第五组为事件A, 则事件,故
（3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，
且两组频率之比为，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差
．
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．
17.如下图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面．
(1)证明：；（2）若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值．
【详解】（1）连接，∵平面平面，，平面平面，平面，
∴平面，因为平面，所以，
由题意可知，等腰梯形的高为1，故等腰梯形的面积为：，
∴，∴，在中，，．∴，即，
∴为的三等分点，∴．又∵，面，面，
∴平面，∵平面，∴．
（2）,
连接,在梯形中可得,，因此,即，
由三垂线定理可得，平面，因为平面，所以，所以，所以，所以B到平面PCD的距离为，
在中由，，得,
设直线和平面所成角为，则,所以直线和平面所成角得正弦值为．
18.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.
在中，内角，，的对边分别为，，.
（1）若，且的面积为，设点为的费马点，求的取值范围；
（2）若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.
19.解（1）①因为，且，
所以，
所以，
即，
因为，，所以，，所以，
因为，所以；
因为，所以的内角均小于，
所以点在的内部，且，
由，得，
设，，则，
在中，由正弦定理得，即
在中，由正弦定理得，即，
所以
，
因为，所以，所以，
所以的取值范围为；
（2）因为，
即，所以，
在，，中，
分别由余弦定理得：，
，，
三式相加整理得，
，
将代入得：，
因为平分，所以，，
所以，③
又由余弦定理可得：，④
由③-④得：，所以，即，所以常数，使得.
19.在三棱柱中，，，， , 分别为的中点.
(1)证明：平面∥平面；
(2)证明：平面平面；
(3)若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围．
解：（1）三棱柱中，四边形为平行四边形，分别为的中点，所以//，且，
又因为//，且，所以//，且，
所以四边形为平行四边形，所以//，
又由于面,面,所以//面，
在中，//，且，同理//，且，
所以//，又由于面,面,所以//面，
又//面，,平面,所以平面∥平面
（2） 连接DA1 ， DB ，
因为 AB=BC ，所以 AC⊥DB ，又因为 AC//A1C1 ，且 A1C1⊥A1B ，所以 AC⊥A1B ，
因为 A1B ， DB⊂ 平面 OBA1 ，且 A1B∩DB=B ，所以 AC⊥ 平面 DBA1 ，因为 DA1⊂ 平面 DBA1 ，
所以 AC⊥DA1 ，在 ▵ABC 中， AB=BC=2 ， ∠ABC=2π3 ，
由余弦定理求得 AC= AB2+BC2-2AB×BCcs2π3= 22+22-2×2×2×-12=2 3 ，
则 A1C1=AC=2 3 ， BC1= 14 ，
因为 A1C1⊥A1B ，所以 A1C12+A1B2=BC12 ，解得 A1B= 2 ，
在 Rt▵ADA1 ， AA1=2 ， AD= 3 ，可知 A1D=1 ，又DB=1 ，
在 ▵DBA1 中， DA12+DB2=A1B2 ，因此 A1D⊥DB ．
由(1)知， AC⊥DA1 ，且 AC ， DB⊂ 平面 ABC ，且 AC∩DB=D ，所以 A1D⊥ 平面 ABC ，
∵A1D⊂ 平面 A1AC ，因此平面 A1AC⊥ 平面 ABC ．
(3)设，，,
所以到平面的距离为，
在平行四边形中，计算得,
在中可得，
在平行四边形中，计算得,
在中可得，
在中，，
所以到的距离为，
设二面角的平面角为，