[数学][期末]江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期学业质量期末调研试卷(解析版)

这是一份[数学][期末]江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期学业质量期末调研试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为虚数单位，已知复数，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】，则.
故选：B.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
.
故选：A.
3. 某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（ ）
A. 极差为10B. 中位数为7.5
C. 平均数为8.5D. 标准差为
【答案】D
【解析】某射击运动员射击6次，命中的环数从小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，
对A，极差为，故A错误；
对B，中位数为，故B错误；
对C，平均数为，故C错误；
对D，标准差，
故D正确.
故选：D.
4. 某科研单位对ChatGPT的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第百分位数为（ ）
A. 78.5B. 82.5C. 85D. 87.5
【答案】B
【解析】因为，
，
所以第百分位数位于，设为，
则，解得.
故选：B.
5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由正弦定理，则，
又，所以，所以，
所以.
故选：C.
6. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
【答案】D
【解析】对于A：若，，则或，又，则或与相交，
故A错误；
对于B：若，，则或，又，则或与相交，
故B错误；
对于C：若，，则，又，则与平行或异面，故C错误；
对于D：若，，则或，
若，则在平面内存在直线，使得，又，则，
又，所以；
若，又，所以；
综上可得，由，，，可得，故D正确.
故选：D.
7. 在中，已知，则的形状一定为（ ）
A. 等腰三角形B. 锐角三角形
C. 直角三角形D. 钝角三角形
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，由正弦定理可得，
所以为直角三角形.
故选：C
8. 长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N，则下列说法正确的是（ ）
A. M与N互斥B.
C. M与N相互独立D.
【答案】B
【解析】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共种，
事件M：“三人都没选择《子归》篇”共有：，所以，
事件N：“至少有两人选择的篇目一样”共有种，所以，
，所以M与N不互斥，A错误，D错误；
事件MN共有种，所以，B正确；
因为，所以C错误.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B.
C. 的图象关于直线对称D. 在区间上单调递增
【答案】BD
【解析】因为
，
所以的最小正周期，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；
当，则，又在上单调递增，
所以在区间上单调递增，故D正确.
故选：BD.
10. 已知复数，，，则下列说法正确的有（ ）
A B. 若，则
C. 若，则D. 若且，则
【答案】ACD
【解析】由题意，设
A项，
，
，
∴，A正确；
B项，当时，若两复数是虚数，不能比较大小，B错误；
C项，，
，
，
当时，，，
∴，任取，或，任取，
即至少有一个为0，
∴（其中至少有两项为0），C正确；
D项，∵，∴，
∵，∴，即，D正确.
故选：ACD.
11. 如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G，H分别为AB，，，的中点，则（ ）
A. 平面
B. 平面
C. 点，到平面的距离相等
D. 平面截该正方体所得截面的面积为
【答案】ACD
【解析】如图，取的中点，的中点，的中点，
连接、、、、、、、、、，
则，，，所以，
所以、、、四点共面，
又，所以、、、四点共面，
同理可证，所以、、、四点共面，
正六边形为平面截该正方体所得截面，
又，所以，
故D正确；
因为平面，平面，所以，则，
同理可证，又，平面，
所以平面，即平面，故A正确；
因为，平面，平面，
所以平面，即平面，
又，平面，
平面平面，所以不平行平面，故B错误；
设为正方体的中心，即为的中点，根据正方体的性质可知，
即交平面于点，所以点，到平面的距离相等，
即点，到平面的距离相等，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设向量，，，若，则实数λ的值为___________.
【答案】
【解析】由题意，，，，∴
∵，∴，解得：.
故答案为：.
13. 在直角三角形ABC中，已知CH为斜边AB上的高，，，现将沿着CH折起，使得点B到达点，且平面平面ACH，则三棱锥的外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】直角三角形ABC中，，，则斜边，，
CH为斜边AB上的高，则，，，
平面平面，平面平面，
，平面，则平面，
又，所以两两垂直，
，，，
则三棱锥的外接球半径，
所以三棱锥的外接球表面积为.
故答案为：.
14. 在中，已知，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】因为，
所以，
即，所以，
所以，又，所以，则，
所以
，
取为锐角，其中，，因为，所以，
所以当时取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，，E，F，G分别为线段AD，BC，PB的中点.
（1）求证：平面PBC；
（2）求证：平面AFG.
解：（1）底面为矩形，所以，
底面，底面，则，
，平面，则平面，
平面，所以，
又，为中点，则，
平面，，
所以平面.
（2）连接交于点，连接，
由四边形为矩形，分别为中点，所以，
则，即中点，
又因为为中点，有，平面，平面，
所以平面.
16. 一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.
（1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间；
（2）分别求事件A，B，C发生的概率；
（3）求事件A，B，C中至少有一个发生的概率.
解：（1）样本空间
，
共有12个基本事件.
（2）事件A的基本事件为：共6个基本事件，
所以，
事件B的基本事件为：共3个基本事件，所以，
事件C的基本事件为：共4个基本事件，所以.
（3）事件A，B，C中至少有一个发生的基本事件为：
共9个基本事件，
所以.
17. 如图，在平面四边形ABCD中，已知AC与BD交于点E，且E是线段BD的中点，是边长为1的等边三角形.
（1）若，求线段AE的长；
（2）若且，求.
解：（1）因为为等边三角形，所以，
又，所以，
在中，，
所以，
由正弦定理得，.
（2），，
在中，由余弦定理，，
在中，由余弦定理，，
两式相加得，
因为，所以设，，则，
在中，，由余弦定理得，，
得，化简得，
由，解得或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意，
所以，，，
在中，，，可得，
在中，由余弦定理，，
所以.
18. 如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记.
（1）若，求线段EF的长；
（2）若，设，求实数和的值；
（3）若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值.
解：（1）若，则，，
所以，
两边平方可得
，
所以.
（2）若，则，所以，
①，
②，
由①②可得.
（3），
，
设，
又，
又，所以①，
由，可得，所以，所以，
所以，
由，可得，，
所以，
又三点共线，所以②，
联立①②解，
所以，所以，
，
，
所以
，
又，
所以，同理可得，所以.
19. 如图，在四棱柱中，已知侧面为矩形，，，，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值.
解：（1）因为，，所以，
又平面，平面，所以平面，
，，可得，
又，，
所以是等边三角形，所以，，
又，所以，
又平面，平面，平面，
又，又平面，
所以平面平面.
（2）由侧面为矩形，可得，
连接，可得是等边三角形，所以，
所以，又，，
由余弦定理可得，所以，
所以，所以，所以，所以，
又， 平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（3）延长交于，可得是等边三角形，
过作于，
由（1）可知平面，所以三棱锥的体积即为三棱锥的体积，
又三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
由（2）可知平面平面ABCD，且两平面的交线为，所以平面，
所以，
解得，过作于，连接，
平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，，
所以为平面与平面所成二面角的平面角，
若，则点在线段上，且为中点，
又，由勾股定理可得，
所以，所以，所以由勾股定理可得，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为；
若，则点在线段延长线上，此时，
.