重庆市南坪中学校2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份重庆市南坪中学校2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 在数轴上表示不等式 1-x＜0的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
详解：移项得，-x＜-1，
系数化为1得，x>1，
在数轴上表示如下：
．
故选：A．
2. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：A．
3. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
详解：解：A. 从左到右的变形不正确；
B. 从左到右的变形不正确；
C. 从左到右的变形不正确；
D. 从左到右的变形正确．
故选择：D．
4. 如图，在上求一点P，使它到，的距离相等，则P点是（ ）
A. 线段的中点B. 与的垂直平分线的交点
C. 与的平分线的交点D. 与的垂直平分线的交点
答案：C
解析：
详解：解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴P点是与的平分线的交点．
故选：C．
5. 下列四个命题：①直角三角形的两个锐角互余；②全等三角形对应角相等；③如果，那么，；④对顶角相等．其中逆命题是真命题的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：B
解析：
详解：解：A、①的逆命题为：有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，符合题意；
B、②的逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，是假命题，不符合题意；
C、③的逆命题为：如果，，那么，是真命题，符合题意；
D、④的逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
综上：①③的逆命题为真命题，共2个，
故选：B．
6. 若分式的值为0，则的值是（ ）
A. 2或B. 2或0C. 2D.
答案：D
解析：
详解：解：∵分式的值为0，
∴，,
解得：且，
∴．
故选：D．
7. 如图，在△ABC中，，，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形位置，使得点C，A，在一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°
答案：D
解析：
详解：解：∵∠C=90°，∠B=40°，
∴∠CAB=50°，
∵将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C、A、B1在一条直线上，
∴旋转角为∠BAB1=180°-50°=130°，
故选：D．
8. 如图，有三种规格的卡片共25张，其中边长为a的正方形卡片9张，边长为b的正方形卡片4张，长，宽分别为a，b的长方形卡片12张，现使用这25张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：9张边长为a的正方形卡片总面积为，4张边长为b的正方形卡片的总面积为，12张长、宽分别为a、b的长方形卡片的总面积为12ab，则25张卡片的总面积为，而，所以用这25张卡片拼成一个大的正方形的边长为3a+2b．
故选：D．
9. 若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，则满足所有条件的整数a的个数为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
答案：B
解析：
详解：解不等式，得，
解不等式，得，
∵不等式组至少有4个整数解，
∴，
解得，
解关于x的一元一次方程，得，
∵方程有正整数解，
∴，
则，
∴，
其中能使为正整数的a值有1，3，5，15共4个，
故选：B．
10. 如图，等边三角形△ABC的边长为2，点O是△ABC的重心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②BD＋BE＝2；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为3，上述结论中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：D
解析：
详解：解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O是△ABC的中心，
∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°
∴∠BOC＝120°，即∠BOE＋∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE＋∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，且BO＝CO，∠OBD＝∠OCE，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，
所以①正确；
∴BD＋BE＝CE＋BE＝BC＝2，
所以②正确；
∴S△BOD＝S△COE，
∴四边形ODBE的面积＝＝，
所以③正确；
作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，
∴DE＝OE，
∵BD＝CE，
∴△BDE的周长＝BD＋BE＋DE＝CE＋BE＋DE＝BC＋DE＝2＋DE＝2＋OE，
当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，
∴△BDE周长的最小值＝2＋1＝3，
∴④正确．
故选：D．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算______．
答案：
解析：
详解：解：，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，作点A关于原点的对称点，得到点，再将点向上平移3个单位，得到点，则点的坐标是_________．
答案：
解析：
详解：解：∵点A关于原点的对称点，，
∴，
∵将点向上平移3个单位，得到点，
∴，即，
故答案为：．
13. 如图，在中，，，是的中线，则的长为________．
答案：
解析：
详解：解：∵在中，，，是的中线，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 如图，函数和的图象相交于点，则关于 x 的不等式 的解集为______．
答案：
解析：
详解：解：由题意得：
把点A代入可得，
解得：，
∴点A的坐标为，
由图象可得当关于x的不等式时，则需满足在点A的右侧，即的图象在的图象下方，
∴不等式的解集为；
故答案为：．
15. 已知等腰三角形的两边长a，b，满足，那么这个等腰三角形的周长为______．
答案：20
解析：
详解：解：∵，
∴，
∴，
解得：，
当以4为腰时，这个三角形三边长分别为4，4，8，
此时，不能够成三角形，不符合题意；
当以8为腰时，这个三角形三边长分别为4，8，8，
此时，不能够成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为．
故答案为：20
16. 若，则__________．
答案：1
解析：
详解：解：∵
∴
．
故答案为：1．
17. 如图，在中，是上一点，若、分别是、的中点，的面积为6，则的面积为__________．

答案：24
解析：
详解：解：连接．

、分别是、的中点，
，
，
，
，
，
，
故答案为：24．
18. 如果一个四位数的百位数字和千位数字的差恰好是个位数字与十位数字的差的两倍，则这个四位数称作“凤中数”．例如：，∵，∴2456是“凤中数”．若一个“凤中数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，且满足（），记，当是整数时，则满足条件的的最大值为______．
答案：
解析：
详解：解：由“凤中数”的定义可知，
，
，
是整数，一定是整数，
是24的倍数，
是24的倍数，
，
，，
当时，，满足是24的倍数，
可得，，此时，，
；
当时，，满足是24的倍数，
可得，，则，
当时，，，
当时，，不合题意，
当时，，；
当时，则或，满足是24的倍数，
当时，，与矛盾，不合题意，
当时，，，
可得，，；
综上可知，满足条件的最大值为．
故答案为：．
三、解答题：（本大题8个小题，其中19题8分，20至26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19. 因式分解：
（1）
（2）
答案：（1）
（2）
解析：
小问1详解：
解：原式＝
小问2详解：
解：原式＝
20. 先化简，再求值：，其中n是使得一次函数的图像不经过第二象限的整数值．
答案：，
解析：
详解：解：化简：原式=


，
∵一次函数的图像不经过第二象限，
∴；解得：，
∴整数n取1，2，3．
又∵
∴
∴，
当时，原式．
21. 如图，在平面坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度

（1）先将向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，请画出；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到，请画出；
（3）并直接写出点的长度．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）
解析：
小问1详解：
解：如图即为所作；
小问2详解：
解：如图即为所作，
小问3详解：
解：．
22. 如图，在中，，是的角平分线．
（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点作于点．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，点为线段上一点，且，连接．求证：．
证明：（2）∵，
∴，
∵，
∴
∴________①________
又∵是的平分线，
∴________②________
与中，
，
∴（________④________）
∴．
答案：（1）见解析 （2）；；；
解析：
小问1详解：
解：如图，即为所求；
小问2详解：
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵是的平分线，
∴，
在与中，
，
∴
∴．
故答案为：；；；
23. 四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，学校计划组织1000名师生开展以“欢乐嘉年华，挑战致青春”为主题的研学活动．租车公司有A、B两种型号的客车可以租用，已知1辆A型车和1辆B型车可以载乘客75人，3辆A型车和2辆B型车可以载乘客180人．
（1）求一辆A型车和一辆B型车分别可以载多少乘客？
（2）若一辆A型车的租金为320元，一辆B型车的租金为400元．学校计划一共租A、B两种型号的客车25辆，在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过9550元，学校可以选择几种租车方案？最少租车费用是多少？
答案：（1）一辆A型车和一辆B型车分别可以载30人和45人
（2）3种租车方案，最少租车费用为9360元
解析：
小问1详解：
解：设一辆A型车和一辆B型车分别可以载乘客的人数为，
由题意，得：，
解得：；
∴一辆A型车和一辆B型车分别可以载30人和45人．
小问2详解：
解：设租A型号的客车辆，则租用B型号的客车辆，
由题意，得：，
解得：，
∵为整数，
∴可以取：，
∴共有三种方案可以选择，
方案一：租用6辆A型号的客车，租用19辆B型号的客车，
租车费用为：（元）；
方案二：租用7辆A型号的客车，租用18辆B型号的客车，
租车费用为：（元）；
方案三：租用8辆A型号的客车，租用17辆B型号的客车；
租车费用为：（元）；
∵，
∴最少租车费用为9360元．
答：共有3种租车方案，最少租车费用为9360元．
24. 如图，在中，点为上一点，过点作于点于点．连接．
（1）若，求的面积；
（2）若，求证：．
答案：（1）；（2）证明见解析．
解析：
详解：（1）解：
为的角平分线
；
（2）证明：延长到点，使，连接，
在四边形中，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，，
．
25. 城关中学九（6）班的毕业复习资料复印业务原来由宏图复印社承接，其收费y1（元）与复印页数x（页）的关系如下表：
（1）y1与x的函数关系是否满足一次函数关系？
（2）现在另一家复印社明晰复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.10元收费，请写出明晰复印社每月收费y2（元）与复印页数x（页）的函数表达式；
（3）你若是班级的学习委员，在复印资料时，选择哪家复印社比较优惠，说明理由．
答案：（1）y1与x的函数关系满足一次函数关系．（2）y2=0.1x+200．（3）当复印量等于4000时，选择两家均可；当复印量大于4000页时，选择明晰复印社；当复印量小于4000页时，选择宏图复印社．
解析：
详解：解：（1）设y1=kx+b，把（100，15）和（200，30）分别代入，得：
，
解得：．
∴函数的表达式可能为y1=0.15x；
把（400，60）和（1000，150）分别代入，可得等式成立．
∴y1与x的函数关系满足一次函数关系．
（2）由题意得，y2=0.1x+200．
（3）由，解得：
．
即当复印4000页是，两家收费均为600元；
∴此时选择两家都可以．
由0.15x＞0.1x+200，
解得：x＞4000；
∴当复印量大于4000页时，宏图复印社的收费大于明晰复印社，
此时应选择明晰复印社．
同理，当复印量小于4000页时，选择宏图复印社．
综上所述，当复印量等于4000时，选择两家均可；
当复印量大于4000页时，选择明晰复印社．
当复印量小于4000页时，选择宏图复印社．
26. 已知是等边三角形，
（1）如图1，若，点D在线段上，且，连接，求的长；
（2）如图2，点E是延长线上一点，，交的外角平分线于点F，求证：；
（3）如图3，若，动点M从点B出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边，取中点H，连接，请直接写出的最小值及此时的长．
答案：（1）
（2）见详解 （3）的最小值为，此时
解析：
小问1详解：
解：过点D作于点E，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得：；
小问2详解：
证明：在线段上截取一点G，使得，连接，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
小问3详解：
解：连接，如图所示：
∵，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点N在的外角的角平分线上运动，
由垂线段最短可知当时，最短，
∵点H是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．x（页）
100
200
400
1000
…
y1（元）
15
30
60
150
…