2022-2023学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（A卷）（含答案解析）

这是一份2022-2023学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（A卷）（含答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知z∈C，i为虚数单位，若z•i＝1﹣i，则z＝（ ）
A．1﹣iB．﹣1﹣iC．﹣1+iD．i
2．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝2，A＝45°，B＝60°，则a＝（ ）
A．B．2C．D．4
3．（5分）直线a，b互相平行的一个充分条件是（ ）
A．a，b都平行于同一个平面
B．a，b与同一个平面所成角相等
C．a，b都垂直于同一个平面
D．a平行于b所在平面
4．（5分）在四边形ABCD中，已知，则四边形ABCD为（ ）
A．矩形B．菱形
C．正方形D．平行四边形
5．（5分）某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．（5分）下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足AB∥平面MNP的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A＝“第二次摸出的球是红球”，事件B＝“两次摸出的球颜色相同”，事件C＝“第二次摸出的球是黄球”，若，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．P（C）＝1﹣P（A）
C．D．
8．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝6，AD＝8，E为棱AD上一点，且AE＝6，平面A1BE上一动点Q满足，设P是该长方体外接球上一点，则P，Q两点间距离的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）已知复数z，其共轭复数为，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
（多选）10．（5分）国家统计网最新公布的一年城市平均气温显示昆明与郑州年平均气温均为16.9摄氏度，该年月平均气温如表1）所示，并绘制如图所示的折线图，则（ ）
A．昆明月平均气温的极差小于郑州月平均气温的极差
B．昆明月平均气温的标准差大于郑州月平均气温的标准差
C．郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数
D．郑州月平均气温的第一四分位数为10
（多选）11．（5分）平面向量，，满足，，与夹角为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为22
C．的最大值为D．的最大值为1
（多选）12．（5分）如图，在长方形ABCD中，AB＝1，AD＝4，点E，F分别为边BC，AD的中点，将△ABF沿直线BF进行翻折，将△CDE沿直线DE进行翻折的过程中，则（ ）
A．直线AB与直线CD可能垂直
B．直线AF与CE所成角可能为60°
C．直线AF与平面CDE可能垂直
D．平面ABF与平面CDE可能垂直
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件M＝“电路是通路”包含的样本点个数为 ．
14．（5分）已知平面向量，，则在方向上的投影向量的模为 ．
15．（5分）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为 ．
16．（5分）如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足AO＝3OC，AD的中点为E，BE＝3，则筝形ABCD的面积取到最大值时，AB边长为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）关于x的一元二次方程x2+（a+1）x+4＝0（a∈R）有两个根x1，x2，其中．
（1）求a的值；
（2）设x1，x2在复平面内所对应的点分别为A，B，求线段AB的长度．
18．（12分）在菱形ABCD中，，，记，．
（1）用，表示；
（2）若，求csA的值．
19．（12分）如图，正方形ABCD是圆柱OO1的轴截面，EF是圆柱的母线，圆柱OO1的体积为16π．
（1）求圆柱OO1的表面积；
（2）若∠ABF＝30°，求点F到平面BDE的距离．
20．（12分）现行国家标准GB2762﹣2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0mg/kg，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值（mg/kg），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；
（2）用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；
（3）从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率．
21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，已知bcsC﹣ccsB＝2a．
（1）若c＝a，求B的大小；
（2）若c≤2a，过B作AB的垂线交AC于D，求的取值范围．
22．（12分）如图，在矩形ABCD中，，AD＝4，点E是边AD上的动点，沿BE将△ABE翻折至△A'BE，使二面角A'﹣BE﹣C为直二面角．
（1）当AE＝3时，求证：A'B⊥CE；
（2）当线段A'C的长度最小时，求二面角C﹣A'B﹣E的正弦值．
2022-2023学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知z∈C，i为虚数单位，若z•i＝1﹣i，则z＝（ ）
A．1﹣iB．﹣1﹣iC．﹣1+iD．i
【解答】解：．
故选：B．
2．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝2，A＝45°，B＝60°，则a＝（ ）
A．B．2C．D．4
【解答】解：因为b＝2，A＝45°，B＝60°，
由正弦定理可得，，
则．
故选：A．
3．（5分）直线a，b互相平行的一个充分条件是（ ）
A．a，b都平行于同一个平面
B．a，b与同一个平面所成角相等
C．a，b都垂直于同一个平面
D．a平行于b所在平面
【解答】解：当a，b都平行于同一个平面时，两直线可能异面，A错误；
当a，b与同一个平面所成角相等时，直线a，b可能相交，B错误；
当a，b都垂直于同一个平面时，直线a，b一定平行，C正确；
当a平行于b所在平面时，a，b也可能异面，D错误．
故选：C．
4．（5分）在四边形ABCD中，已知，则四边形ABCD为（ ）
A．矩形B．菱形
C．正方形D．平行四边形
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴四边形ABCD为平行四边形．
故选：D．
5．（5分）某同学投掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，已知这组数据的平均数为3，方差为0.4，则点数2出现的次数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：设这五个数为x1，x2，x3，x4，x5，
则．
因为为正整数，
所以这五个数必有3个3，另外两个为2或4．
又x1+x2+x3+x4+x5＝15，所以这五个数为3，3，3，2，4，
点数2出现的次数为1．
故选：B．
6．（5分）下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足AB∥平面MNP的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：对于A：连接MB，NC，由图可知，AB与平面MNP相交，故不满足AB∥平面MNP，故A错误；
对于B：如图所示，G，H，F，E分别是所在棱的中点，连接NH，NG，GF，FM，EM
则平面MNP和平面NGFMPH为同一平面，因为AB∥EM，
因为EM与平面NGFMPH相交，所以不满足AB∥平面MNP，故B错误；
对于C：连接AD，交MN与点O，连接PO，因为O，P分别为AD，BD中点，
所以PO∥AB，由线面平行的判定定理可知，AB∥平面MNP，故C正确；
对于D：D，F，E分别是所在棱的中点，连接DN，NF，FM，ME，PE，DP，AC，
平面DNFMEP与平面MNP为同一平面，
取AC的中点为O，连接MO，由中位线定理可知，AB∥MO，
因为MO与平面MNP相交，所以不满足AB∥平面MNP，故D错误；
故选：C．
7．（5分）在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A＝“第二次摸出的球是红球”，事件B＝“两次摸出的球颜色相同”，事件C＝“第二次摸出的球是黄球”，若，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．P（C）＝1﹣P（A）
C．D．
【解答】解：依题意，事件A，C对立，P（A）+P（C）＝1，故B正确；
设盒子中有m个红球，5﹣m个黄球，
，，故AD正确；
，故C错误．
故选：C．
8．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝6，AD＝8，E为棱AD上一点，且AE＝6，平面A1BE上一动点Q满足，设P是该长方体外接球上一点，则P，Q两点间距离的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设Q（x，y，z），长方体外接球球心记为O，
则O（3，4，3），A（6，8，0），B（0，8，0），E（6，2，0），A1（6，8，6），
∴，
．
∵，
∴（x﹣6）2+（y﹣2）（y﹣8）+z2＝0，①
又动点Q在面A1BE上，所以可设，
则，即，②
将②代入①中整理得2λ2+2μ2+2λμ＝λ+μ，③
在三棱锥A﹣A1BE中，AE＝AB＝AA1＝6且AE，AB，AA1两两互相垂直，
所以三棱锥A﹣A1BE为正三棱锥且底边，
当AQ⊥面A1BE时，||最小，
在正三棱锥A﹣A1BE中，由等体积法有，解得，
又，
先代入②再代入③有，
则，此时λ+μ有最大值，解得．
当点Q与点E重合时，满足最大，此时（λ+μ）min＝0，
则，
点Q到外接球球心距离为，④
将②代入④中整理得，
又2λ2+2μ2+2λμ＝λ+μ，所以，
因为，所以当λ+μ＝0时，，
因为长方体外接球半径为，
所以P，Q两点间距离的最大值为．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）已知复数z，其共轭复数为，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，
对于A，（a+bi）•（a﹣bi）＝a2+b2，，则，故选项A正确；
对于B，z2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，，则，故选项B不正确；
对于C，，故选项C错误；
对于D，，因为，当且仅当b＝0时等号成立，所以，故选项D正确．
故选：AD．
（多选）10．（5分）国家统计网最新公布的一年城市平均气温显示昆明与郑州年平均气温均为16.9摄氏度，该年月平均气温如表1）所示，并绘制如图所示的折线图，则（ ）
A．昆明月平均气温的极差小于郑州月平均气温的极差
B．昆明月平均气温的标准差大于郑州月平均气温的标准差
C．郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数
D．郑州月平均气温的第一四分位数为10
【解答】解：对于A，昆明月平均气温的极差为21.6﹣9.3＝12.3，
郑州月平均气温的极差为28.9﹣2.9＝26＞12.3，故A正确；
对于B，由折线图可知，昆明月平均气温相较于郑州月平均气温更为集中，
所以昆明月平均气温的标准差小于郑州月平均气温的标准差，故B错误；
对于C，昆明的月平均气温按从小到大的顺序排列：
9.3，10.5，12.4，12.4，16.5，16.8，19，20.4，21.2，21.3，21.5，21.6，
则昆明月平均气温的中位数为，
郑州的月平均气温按从小到大的顺序排列：
2.9，5.7，8.7，11.3，11.9，15.2，16.5，23.1，23.6，26.7，28.6，28.9，
则郑州的月平均气温的中位数为，
郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数，故C正确；
对于D，因为，
所以郑州月平均气温的第一四分位数为，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（5分）平面向量，，满足，，与夹角为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为22
C．的最大值为D．的最大值为1
【解答】解：不妨设，
由于，与夹角为，
则或，
设，则或，
所以或，
解得或，
则或，
对于A，，选项A正确；
对于B，当时，设，作点O关于直线对称的点O1，如图，
则；
当时，设，作点O关于直线对称的点O2，如图，
则，选项B错误；
对于C，当时，设，，如图，
则，
由于点C在直线上运动，则无最大值，
同理当，此时时，也无最大值，选项C错误；
对于D，当时，，
则；
当时，，
则，选项D正确．
故选：AD．
（多选）12．（5分）如图，在长方形ABCD中，AB＝1，AD＝4，点E，F分别为边BC，AD的中点，将△ABF沿直线BF进行翻折，将△CDE沿直线DE进行翻折的过程中，则（ ）
A．直线AB与直线CD可能垂直
B．直线AF与CE所成角可能为60°
C．直线AF与平面CDE可能垂直
D．平面ABF与平面CDE可能垂直
【解答】解：如图，将△ABF沿直线BF进行翻折，得到以BF为轴，线段AF绕BF旋转形成的一个圆锥，点A在圆锥的底面圆周上，
同理将△CDE沿直线DE进行翻折的过程中，点C也在相应的圆锥的底面圆周上，
对于A，如图，在长方形ABCD中，AB∥CD，CD旋转形成的圆锥的轴截面张角∠CDC′最大，
由AB＝1，AD＝4，
则CE＝2，，
所以∠EDC＞45°，
则∠CDC′＞90°，
假设△ABF不作旋转，CD在旋转过程中可以与旋转前的初始位置CD垂直，
即CD在旋转过程中可以与AB垂直，故选项A正确．
对于B，由选项A同理可得，
则∠DEC＜30°，轴截面张角∠CEC′＜60°，
则直线AF与CE所成角不可能为60°，故选项B错误；
对于C，若直线AF与平面CDE垂直，则直线AF与CE垂直，
由选项B可知，∠CEC′＜60°，直线AF不可能与CE垂直，
所以直线AF与平面CDE不可能垂直，故选项C错误；
对于D，易知当平面ABF不作旋转，平面CDE旋转到与平面BEDF垂直时，
平面ABF与平面CDE垂直，故选项D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）如图，由A，B两个元件组成并联电路，观察两个元件正常或失效的情况，则事件M＝“电路是通路”包含的样本点个数为 3 ．
【解答】解：设元件正常为1，失效为0，
由A，B两个元件组成并联电路，
则至少有一个元件正常，
故事件M包含的样本点为（1，1），（1，0），（0，1）共3个．
故答案为：3．
14．（5分）已知平面向量，，则在方向上的投影向量的模为 1 ．
【解答】解：在方向上的投影向量的模为．
故答案为：1．
15．（5分）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为 ．
【解答】解：如图所示：将多面体放置于正方体中，连接MC，设MC的中点为E，连接EF，CF，
因为M，C分别为中点，
所以MC∥NF，且，
则四边形MEFN为平行四边形，
所以MN∥EF，
所以直线MN与平面ABCD所成角即为直线EF与平面ABCD所成角，
又MC⊥平面ABCD，
所以直线EF与平面ABCD所成角即为∠EFC，
设正方体的棱长为2，
则，
所以，
即直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为．
故答案为：．
16．（5分）如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足AO＝3OC，AD的中点为E，BE＝3，则筝形ABCD的面积取到最大值时，AB边长为 ．
【解答】解：以点O为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系．
设BD＝2a，AC＝4t（a＞0，t＞0），
则．
因为，所以，
即a2+t2＝4≥2at，当且仅当时，取等号．
筝形ABCD的面积为
即当时，筝形ABCD的面积最大．
此时AB边长为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）关于x的一元二次方程x2+（a+1）x+4＝0（a∈R）有两个根x1，x2，其中．
（1）求a的值；
（2）设x1，x2在复平面内所对应的点分别为A，B，求线段AB的长度．
【解答】解：（1）因为关于x的一元二次方程x2+（a+1）x+4＝0有两个复数根x1，x2，
所以复数x1，x2互为共轭复数，
则，
所以x1+x2＝2＝﹣（a+1），解得a＝﹣3；
（2）因为x1，x2在复平面内所对应的点分别为A，B，
所以，
所以线段AB的长度为．
18．（12分）在菱形ABCD中，，，记，．
（1）用，表示；
（2）若，求csA的值．
【解答】解：（1）如图，∵在菱形ABCD中，，，记，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴csA＝cs，．
19．（12分）如图，正方形ABCD是圆柱OO1的轴截面，EF是圆柱的母线，圆柱OO1的体积为16π．
（1）求圆柱OO1的表面积；
（2）若∠ABF＝30°，求点F到平面BDE的距离．
【解答】解：（1）设圆柱OO1的底面半径为r，则πr2×2r＝16π，解得r＝2．
则圆柱OO1的表面积为2πr2+2πr×2r＝6πr2＝24π．
（2）连接AF，因为AF⊥BF，AF∥DE，所以DE⊥BF，
设点F到平面BDE的距离为h，
易知DE⊥EF，DE⊥EF，EF，BF⊂平面BEF，EF∩BF＝F，
所以DE⊥平面BEF，因为EB⊂平面BEF，所以DE⊥EB，
所以，
EF＝2r，，
因为VD﹣BEF＝VF﹣BDE，所以．
即，解得．
20．（12分）现行国家标准GB2762﹣2012中规定了10大类食品中重金属汞的污染限量值，其中肉食性鱼类及其制品中汞的最大残留量为1.0mg/kg，近日某水产市场进口了一批冰鲜鱼2000条，从中随机抽取了200条鱼作为样本，检测鱼体汞含量与其体重的比值（mg/kg），由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计这200条鱼汞含量的样本平均数；
（2）用样本估计总体的思想，估计进口的这批鱼中共有多少条鱼汞含量超标；
（3）从这批鱼中顾客甲购买了2条，顾客乙购买了1条，甲乙互不影响，求恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率．
【解答】解：（1）由0.4×（0.35+a+0.8+a+0.25+0.1）＝1，解得a＝0.5．
则这200条鱼汞含量的样本平均数为 0.4×（0.2×0.35+0.6×0.5+1.0×0.8+1.4×0.5+1.8×0.25+2.2×0.1）＝1.016．
（2）样本中汞含量在[1.0，2.4]内的频率为1﹣0.4×（0.35+0.5）﹣0.2×0.8＝0.5．
则估计进口的这批鱼中共有0.5×2000＝1000条鱼汞含量超标．
（3）由题意可知，样本中汞含量在[1.0，2.4]内的频率为，
则顾客甲购买的鱼汞含量有超标的概率为，
顾客乙购买的鱼汞含量有超标的概率为，
则恰有一人购买的鱼汞含量有超标的概率为．
21．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，已知bcsC﹣ccsB＝2a．
（1）若c＝a，求B的大小；
（2）若c≤2a，过B作AB的垂线交AC于D，求的取值范围．
【解答】解：（1）∵bcsC﹣ccsB＝2a，
由余弦定理得，
化简得b2﹣c2＝2a2，
又c＝a，则b2﹣a2＝2a2，即，
则，
又B∈（0，π），则；
（2）在Rt△ABD中，BD＝ctanA，
则，
又由（1）得b2﹣c2＝2a2，
则，
∵c≤2a，∴，
又b＜a+c，b2＝c2+2a2，
则c2+2a2＜（a+c）2，即a2＜2ac，
∴，
∴，
令，
∴f（t）在上单调递减，在上单调递增，
∴，
又，则，
∴，即，
故的取值范围为．
22．（12分）如图，在矩形ABCD中，，AD＝4，点E是边AD上的动点，沿BE将△ABE翻折至△A'BE，使二面角A'﹣BE﹣C为直二面角．
（1）当AE＝3时，求证：A'B⊥CE；
（2）当线段A'C的长度最小时，求二面角C﹣A'B﹣E的正弦值．
【解答】解：（1）证明：当AE＝3时，ED＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，
又AB，
在Rt△BAE中，BE2＝BA2+AE2＝（）2+32＝12，
在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2＝（）2+12＝4，
所以BE2+CE2＝BC2，
所以CE⊥BE，
因为二面角A'﹣BE﹣C为直二面角，
所以面A′BE⊥面CBE，
又面A′BE∩面CBE＝BE，
由上知CE⊥BE，CE⊂面CBE，
所以CE⊥面A′BE，
又因为A′B⊂面A′BE，
所以CE⊥A′B．
（2）在图二中过点A′作A′M⊥BE，垂足为M，连接CM，
因为二面角A'﹣BE﹣C为直二面角，
所以面A′BE⊥面CBE，
又面A′BE∩面CBE＝BE，
由上知A′M⊥BE，
所以A′M⊥面BCE，
又因为MC⊂面BCE，
所以A′M⊥MC，
设A′E＝x，则ED＝4﹣x，
BE，
所以A′G，
CG，
所以A′C，
因为0＜x≤4，
所以当x＝4时，A′C长最短，
在矩形ABCD中，过点C作CG⊥BD，垂足为G，再过点G作GH⊥AB，
因为二面角A'﹣BE﹣C为直二面角，
所以面A′BE⊥面CBE，
又面A′BE∩面CBE＝BE，
由上知CG⊥BD，
所以CG⊥面BCE，
由三垂线定理可得CH⊥A′B，
所以二面角C﹣A'B﹣E的平面角为∠CHG，
BD，
CG，
GD，
所以BG＝BD﹣GD，
由△BHG∽△BAD得，，即，
所以HG，
所以tan∠GHC，
所以sin∠GHC．月份
1月
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8月
9月
10月
11月
12月
昆明
9.3
12.4
16.5
19
21.6
21.5
21.3
21.2
20.4
16.8
12.4
10.5
郑州
2.9
8.7
11.9
16.5
23.6
28.9
28.6
26.7
23.1
15.2
11.3
5.7
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