2020-2021学年浙江省温州市高一（上）期末数学试卷（b卷）

这是一份2020-2021学年浙江省温州市高一（上）期末数学试卷（b卷），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则A∪B＝（ ）
A．{2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}
2．（5分）下列函数既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）
A．y＝x3B．y＝x2C．y＝xD．
3．（5分）已知函数，则f（x2）的定义域为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C．（﹣1，1）D．（0，1）
4．（5分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，终边与单位圆的交点为，则sin（π﹣α）＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知a＝e0.3，b＝ln0.3，c＝0.3e，则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞b＞aD．b＞c＞a
6．（5分）已知a，b，c是实数，且a≠0，则“∀x∈R，ax2+bx+c＜0”是“b2﹣4ac＜0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5分）某工厂有如图1所示的三种钢板，其中长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，正三角形钢板共有80张．用这些钢板制作如图2所示的甲、乙两种模型的产品，要求正方形钢板全部用完，则制成的甲模型的个数最少有（ ）
A．10个B．15个C．20个D．25个
二、选择题：本题共5小题，每小题5分，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
8．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列等式可能成立的是（ ）
A．a2+b2＝1B．ab＝1C．a2+b2＝D．a2﹣b2＝
9．（5分）已知函数y＝x2﹣2x+2的值域是[1，2]，则其定义域可能是（ ）
A．[0，1]B．[1，2]C．[]D．[﹣1，1]
10．（5分）已知，且tanθ＝m，则下列正确的有（ ）
A．B．tan（π﹣θ）＝m
C．D．
11．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象过两点，则ω的可能取值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝lga（x﹣b），g（x）＝bx﹣a的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知lg23＝a，则4a＝ ．
14．（5分）已知sinθ+csθ＝﹣，则sin2θ＝ ．
15．（5分）某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比．经测算，若在距离码头10km处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元．那么两项费用之和的最小值是 万元．
16．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a（a∈R）有两个不同的实根x1，x2，且满足x1x2＜4，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）化简求值：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
18．（12分）已知a∈R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}．
（Ⅰ）若a＝4，求A∩B，∁RA；
（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）＝sinxcsx﹣．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称轴的方程；
（Ⅱ）若α∈（0，），且f（α）＝，求f（）的值．
20．（12分）已知函数是奇函数．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求不等式f（2x）＜2f（x）的解集．
21．（12分）用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中V为中心室体积（一般成年人的中心室体积近似为600），m0为药物进入人体时的速率，k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中c为停药时的人体血药浓度．
（Ⅰ）求出函数c1（t）的解析式；
（Ⅱ）一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（保留小数点后一位，参考数据lg2≈0.3，lg3≈0.48）
22．（12分）已知函数．
（Ⅰ）用定义证明f（x）在（0，1）内单调递减；
（Ⅱ）证明f（x）存在两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞2．
2020-2021学年浙江省温州市高一（上）期末数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则A∪B＝（ ）
A．{2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}
【解答】解：根据题意，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，
两个集合的全部元素为1、2、3、4，
则A∪B＝{1，2，3，4}；
故选：D．
2．（5分）下列函数既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）
A．y＝x3B．y＝x2C．y＝xD．
【解答】解：A．函数为奇函数，
B．函数为偶函数，
C．函数为奇函数，
D．函数的定义域为[0，+∞），关于原点不对称，
函数为非奇非偶函数．
故选：D．
3．（5分）已知函数，则f（x2）的定义域为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C．（﹣1，1）D．（0，1）
【解答】解：由x2﹣x＞0，得x＞1或x＜0，即f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），
由x2＞1或x2＜0，得x＞1或x＜﹣1，则f（x2）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故选：A．
4．（5分）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，终边与单位圆的交点为，则sin（π﹣α）＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：角α的顶点与原点重合，终边与单位圆的交点为，
则sin（π﹣α）＝sinα＝＝，
故选：A．
5．（5分）已知a＝e0.3，b＝ln0.3，c＝0.3e，则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞b＞aD．b＞c＞a
【解答】解：∵a＝e0.3＞e0＝1，
b＝ln0.3＜ln1＝0，
0＜c＝0.3e＜0.30＝1，
∴a＞c＞b．
故选：B．
6．（5分）已知a，b，c是实数，且a≠0，则“∀x∈R，ax2+bx+c＜0”是“b2﹣4ac＜0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为∀x∈R，ax2+bx+c＜0，所以a＜0且b2﹣4ac＜0，
因为“b2﹣4ac＜0”，“∀x∈R，ax2+bx+c＜0”不一定成立，
所以“∀x∈R，ax2+bx+c＜0”是“b2﹣4ac＜0”的充分不必要条件．
故选：A．
7．（5分）某工厂有如图1所示的三种钢板，其中长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，正三角形钢板共有80张．用这些钢板制作如图2所示的甲、乙两种模型的产品，要求正方形钢板全部用完，则制成的甲模型的个数最少有（ ）
A．10个B．15个C．20个D．25个
【解答】解：因为要求制成的甲模型的个数最少，
所以优先做乙模型，做到没有材料了再考虑做甲模型，
做一个乙模型需要一块正方形钢板，四块正三角形钢板，
又正三角形钢板共有80张，
所以80÷4＝20，
故做20个乙模型，消耗了20块正方形钢板，
又长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，
所以剩余正方形钢板为60﹣20＝40块，
做一个甲模型需要2块正方形钢板和4块长方形钢板，
故40÷2＝20，且20×4＝80＜100，
所以制成的甲模型的个数最少有20个．
故选：C．
二、选择题：本题共5小题，每小题5分，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
8．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列等式可能成立的是（ ）
A．a2+b2＝1B．ab＝1C．a2+b2＝D．a2﹣b2＝
【解答】解：由a＞0，b＞0，a+b＝1，知：
对于A，a2+b2＝a2+（1﹣a）2＝2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1＝1﹣2ab＜1，故A错误；
对于B，，∴ab≤（）2＝，当a＝b时取等号，故B错误；
对于C，当a＝时，a2+b2＝，故C正确；
对于D，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝a﹣b＝a﹣（1﹣a）＝2a﹣1，
由a2﹣b2＝，得2a﹣1＝，解得a＝，b＝，故D正确．
故选：CD．
9．（5分）已知函数y＝x2﹣2x+2的值域是[1，2]，则其定义域可能是（ ）
A．[0，1]B．[1，2]C．[]D．[﹣1，1]
【解答】解：由y＝x2﹣2x+2＝1得x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，得x＝1，
由y＝x2﹣2x+2＝2得x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，
即定义域内必须含有1，且x＝0，x＝2至少含有一个，
设定义域为[a，b]，
若a＝0，则1≤b≤2，则A成立，
若b＝2，则0≤a≤1，则B，C成立，
故选：ABC．
10．（5分）已知，且tanθ＝m，则下列正确的有（ ）
A．B．tan（π﹣θ）＝m
C．D．
【解答】解：已知，且tanθ＝m，
对于A：利用三角函数的定义，所以cs，故A正确；
对于B：tan（π﹣θ）＝﹣tanθ＝﹣m，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：AD．
11．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象过两点，则ω的可能取值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：因为点为f（x）的最大值点，点 是函数的零点，
当ω＝1时，T＝2π，两点相距，成立，
当ω＝2时，T＝π，两点相距，不成立，
当ω＝3时，T＝，两点相距，成立，
当ω＝4时，T＝，两点相距T，不成立，
故选：AC．
12．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝lga（x﹣b），g（x）＝bx﹣a的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A．由对数图象知，a＞1，b＝1，此时g（x）＝1，为常数函数，满足条件．
B．由指数函数图象知0＜b＜1，对数函数图象应该向右平移b个单位，不满足条件．
C．由对数图象知，0＜a＜1，0＜b＜1，g（x）图象有可能对应，
D．由对数图象知，0＜a＜1，0＜b＜1，g（x）为减函数，则g（x）单调性不满足，
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知lg23＝a，则4a＝ 9 ．
【解答】解：∵lg23＝a，∴2a＝3，
∴4a＝（2a）2＝32＝9．
故答案为：9．
14．（5分）已知sinθ+csθ＝﹣，则sin2θ＝ ﹣ ．
【解答】解：因为sinθ+csθ＝﹣，
两边平方，可得sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ＝1+sin2θ＝，
可得sin2θ＝﹣．
故答案为：﹣．
15．（5分）某单位要租地建仓库，已知每月土地费用与仓库到码头的距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到码头的距离成正比．经测算，若在距离码头10km处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元．那么两项费用之和的最小值是 8 万元．
【解答】解：设仓库到车站距离为xkm时，土地费用为y1万元，运输费用为y2万元，费用之和为y万元，
根据题意，则有，
因为在距离码头10km处建仓库，则每月的土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，
则有，解得，
所以，
因为x＞0，
所以，
当且仅当，即x＝5时取等号，
所以仓库应建在离车站5km处，两项费用之和最小为8万元．
故答案为：8．
16．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝a（a∈R）有两个不同的实根x1，x2，且满足x1x2＜4，则实数a的取值范围为 （4，5） ．
【解答】解：作出函数f（x）＝的图象如下图，
若方程f（x）＝a（a∈R）有两个不同的实根x1，x2，则a＞4，
不妨设x1＜x2，则，
即，
解得：1＜x1＜2，
当x1＝1时，f（1）＝5，
所以4＜a＜5．
故答案为：（4，5）．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）化简求值：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【解答】解：（Ⅰ）
＝×××
＝5．
（Ⅱ）
＝lg35（lg315﹣lg35﹣1）+5
＝5．
18．（12分）已知a∈R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}．
（Ⅰ）若a＝4，求A∩B，∁RA；
（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝4时，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
B＝{x|x2﹣5x+4＝0}＝{1，4}．
∴A∩B＝{1}，
∁RA＝{x|x＜﹣1或x＞3}．
（Ⅱ）∵集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x2﹣（a+1）x+a＝0}＝{x|（x﹣a）（x﹣1）＝0}．A∪B＝A，
∴B⊆A，
∴当a＞1时，B＝{1，a}，由B⊆A，得1＜a≤3，
当a＝1时，B＝{1}，满足B⊆A，
当a＜1时，B＝{a，1}，由B⊆A，得﹣1≤a＜1．
综上，实数a的取值范围是[﹣1，3]．
19．（12分）已知函数f（x）＝sinxcsx﹣．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称轴的方程；
（Ⅱ）若α∈（0，），且f（α）＝，求f（）的值．
【解答】解：函数f（x）＝
＝＝sin（2x+），
（Ⅰ）函数的周期为T＝，
令2x+，解得x＝，
故函数的周期为π，对称轴方程为x＝，
（Ⅱ）因为，则2，
又因为f（α）＝sin（2）＝，所以cs（2）＝﹣，
所以f（）＝sin[2（）+]＝sin（2）＝cs（2）＝﹣，
故f（）＝﹣．
20．（12分）已知函数是奇函数．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求不等式f（2x）＜2f（x）的解集．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）＝0，则f（0）＝0﹣+m＝﹣1+m＝0，
得m＝1，经检验可得m＝1成立；
（Ⅱ）f（x）＝x﹣+1＝x+＝x+，
由f（2x）＜2f（x）得2x+＜2x+2×，
即＜2×，
即（2x+1）（22x﹣1）＜2（2x﹣1）（22x+1），
即（2x+1）（2x﹣1）（2x+1）＜2（2x﹣1）（22x+1），
即（2x﹣1）[（2x+1）2﹣2（22x+1）]＜0，
即（2x﹣1）[（2x）2﹣2×（2x）2+2×（2x）﹣1]＜0，
（2x﹣1）[﹣（2x）2+2×（2x）﹣1]＜0，
即（2x﹣1）[（2x）2﹣2×（2x）﹣1]＞0，即（2x﹣1）（2x﹣1）2＞0，
即（2x﹣1）3＞0，即2x﹣1＞0，得2x＞1，得x＞0，
即不等式的解集为（0，+∞）．
21．（12分）用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中V为中心室体积（一般成年人的中心室体积近似为600），m0为药物进入人体时的速率，k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中c为停药时的人体血药浓度．
（Ⅰ）求出函数c1（t）的解析式；
（Ⅱ）一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（保留小数点后一位，参考数据lg2≈0.3，lg3≈0.48）
【解答】解：（Ⅰ）令，则，
由图象可知，图象经过（4，8），（8，12）两点，
则有，解得，
所以；
（Ⅱ）由题意可知，有治疗效果的浓度在4到15之间，
所以浓度在15时为最迟停止注射时间，
故，解得t＝16，
浓度在从15时降到4时为最长间隔时间，
故，即，
两边同时取以2为底的对数，
则有，
即
＝，
所以t＝1.93×4≈7.7，
所以最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．
22．（12分）已知函数．
（Ⅰ）用定义证明f（x）在（0，1）内单调递减；
（Ⅱ）证明f（x）存在两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞2．
【解答】解：（Ⅰ）设0＜x1＜x2＜1，
则f（x1）﹣f（x2）＝﹣x1+﹣2﹣+x2﹣+2＝﹣+x2﹣x1+﹣＝（x1+x2）（x1﹣x2）+（x2﹣x1）+
＝（x2﹣x1）[1+﹣（x1+x2）]
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x2﹣x1＞0，0＜x1x2＜1，0＜x1+x2＜2，＞1，
则1+﹣（x1+x2）＞0，
即f（x1）﹣f（x2）＞0，得f（x1）＞f（x2），即f（x）在（0，1）内单调递减．
（Ⅱ）证明：同理可知当x＞1时，f（x）在（1，+∞）上为增函数，
f（1）＝1﹣1+1﹣2＝﹣1＜0，
f（）＝﹣+2﹣2＝﹣，f（）＝﹣+﹣2＝﹣，
f（2）＝4﹣2+2＝，
必有一个根x1∈（，1），另外一个根x2∈（，2），
则x1+x2＞＝2．
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日期：2022/1/1 11:33:38；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.cm；学号：28144983