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福建省南平市高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析）
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这是一份福建省南平市高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附解析），文件包含福建省南平市高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题原卷版docx、福建省南平市高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）．
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交集运算求解.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
2. 已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据含有一个量词命题的否定，即可得答案.
【详解】由题意知命题为存在量词命题，
其否定为全称量词命题：，
故选：A
3. 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点分布得，与条件联立解得结果.
【详解】因为的分布列服从两点分布，所以，
因为，所以
故选：C
【点睛】本题考查两点分布，考查基本分析求解能力，属基础题.
4. 已知正整数满足，则（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合数和排列的定义化简后解方程．
【详解】即为，所以，
是正整数且，因此解得，
故选：C．
5. 现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”，然后使用条件概率公式计算即可.
【详解】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”.
由于一共有10名特种兵，而要从中选出4名，故.
而从10名特种兵选出4名时，如果甲和乙被选中，则剩余2个被选中的人可从甲和乙之外的8名特种兵中任意选择2名，
故选取方式有种，从而.
故，A正确.
故选：A.
6. 已知，，，则“”的一个充分而不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数单调性结合充分、必要条件逐项分析判断.
【详解】当时，满足，但不成立，不满足充分性，A选项错误；
由指数函数单调性可知，若，则，反之，若，则，
所以是的充要条件，B选项错误；
当时，满足，但不成立，不满足充分性，C选项错误；
若，则有，反之，不能得到，比如当时，不成立，
所以是的充分不必要条件，D选项正确.
故选：D
7. 五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A. 60B. 80C. 100D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意，五人全排列共有种不同的排法，
其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法，
其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法，
所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为.
故选：B
8. 一玩具制造厂的某一配件由A，B，C三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂A，B，C的次品率分别为0.02，0.01，0.03，提供配件的份额分别为，，，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，若抽到的是次品，则该次品来自制造厂C概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全概率公式先求出抽到的是次品的概率，再结合次品来自制造厂C概率，根据条件概率公式即可求得答案.
【详解】设事件D：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自于A制造厂，
事件：抽到的配件来自于B制造厂，事件：抽到的配件来自于C制造厂，
则，
,
故
，
则抽到的是次品，则该次品来自制造厂C概率为,
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 以下有关直线拟合效果的说法正确的是
A 相关系数越小，表明两个变量相关性越弱
B. 越接近1，表明直线拟合效果越好
C. 通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本点的中心
D. 最小二乘法求回归直线方程，是求使最小的，的值
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据线性回归直线的定义，相关指数，相关系数的定义判断．
【详解】对于A：相关系数的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，越接近于1，相关性越强，故A错误；
对于B：越接近1，表明回归的效果越好，越接近于0，效果越差，故B正确．
对于C：线性回归直线一定经过样本的中心，故C正确；
对于D：最小二乘法求回归直线方程，就是求使最小的的值，故D正确；
故选：BCD．
10. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用赋值法逐项计算判断得解.
【详解】在中，
对于A，令，得，A错误；
对于B，令，得，因此，B正确；
对于C，令，得，则，C正确；
对于D，令，得，则，D错误.
故选：BC
11. 一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（ ）
A. 从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差
C. 从该口袋中任取3个球，设取出球的颜色有X种，则数学期望
D. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望
【答案】ABD
【解析】
【分析】对选项A，的可能取值为0，1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项B，，再由二项分布的方差公式求得；对选项C，X的可能取值为1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项D，Y的可能取值为0，1，2，求出概率，再由公式求得
【详解】对选项A，从该口袋中任取3个球，取出的红球个数的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
则，故A正确；
对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为，则取出的红球次数为，
则方差，故B正确;
对选项C，从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的可能取值为1，2，3，
则，，则，
则，故C错误；
对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y的可能取值为0，1，2，
则，，，
则，故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过______
【答案】0.01
【解析】
【分析】根据与临界值的大小关系确定犯错误的概率的范围.
【详解】因为，结合表格可知，所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过.
故答案为：.
13. 如图所示线路图，机器人从A地经B地走到C地，最近的走法共有________种.（用数字作答）
【答案】20
【解析】
【分析】分两步：第一步先计算从A到B的走法种数，第二步：再计算从B到C走法种数，相乘即可.
【详解】A到B共2种走法，从B到C共种不同走法，由分步乘法原理，知从A地经B地走到C
地，最近的走法共有种.
故答案为：20
【点睛】本题考查分步乘法原理及简单的计数问题的应用，考查学生的逻辑分析能力，是一道中档题.
14. 已知，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式中“”的代换即可求解.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，
即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知关于的二项式的二项系数之和为32，其中．
（1）若，求展开式中系数最大的项；
（2）若展开式中含项系数为40，求展开式中所有有理项的系数之和．
【答案】（1）和
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，解得，求出展开式的通项公式，即可得到展开式中系数最大的项；
（2）利用展开式中含项系数为40，解得，利用的指数为整数，求出展开式中所有有理项，从而得到有理项的系数之和.
【小问1详解】
由于关于的二项式的二项式系数之和为32，所以，解得，
则二项式的展开式的通项公式为：，
当时，，所以当或时，展开式的系数最大，
故系数最大项为和
【小问2详解】
由（1）可得二项式的展开式的通项公式为：，
令，解得：，
因为展开式中含项系数为40，所以，由，得，
所以二项式的展开式的通项公式为：，
当整数，可取0，2，4，
所以展开式中所有有理项为，，，
故展开式中所有有理项的系数之和为.
16. 若，.
（1）若的解集为，求的值；
（2）当时，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）分析可知、是方程的解，利用韦达定理可求得实数的值；
（2）由可得或，对与的大小进行分类讨论，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.
【小问1详解】
解：因为关于的不等式的解集为，则，
所以，、是方程的解，，解得.
【小问2详解】
解：，，由得或.
当时，，原不等式的解为，原不等式的解集为；
当时，，不等式的解为，原不等式的解集为；
当时，原不等式为，不等式的解集为.
综上：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
17. 新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门．
（1）若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：．
【答案】（1）；
（2）①3274人；②不可信.
【解析】
【分析】（1）甲乙必选语文、数学、外语，根据另一门相同的是物理、历史中的一门或者是生物、化学、思想政治、地理中的一门进行分类讨论，先分类后分步即可求得结果；
（2）①根据参考数据求得，再根据总人数进行计算即可；②根据参考数据求得，估计成绩高于410分的人数，即可判断.
【小问1详解】
甲､乙两名学生必选语文､数学､外语．
若另一门相同的为物理､历史中的一门，有种，
在生物､化学､思想政治､地理4门中，甲､乙选择不同的2门，
则有种，共种；
若另一门相同的为生物､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种．
所以甲､乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为．
【小问2详解】
①设此次网络测试的成绩记为，则．
由题知，
则，
所以．
所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人．
②不可信．
，
则，
4000名学生中成绩大于410分的约有人，
这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分．
所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信．
18. 某生产制造企业统计了近10年的年利润（千万元）与每年投入的某种材料费用（十万元）的相关数据，作出如下散点图：
选取函数作为每年该材料费用和年利润的回归模型.若令，则，得到相关数据如表所示：
（1）求出与的回归方程；
（2）计划明年年利润额突破1亿，则该种材料应至少投入多少费用？（结果保留到万元）参考数据：.
【答案】（1）
（2）498万元
【解析】
【分析】（1）由表中数据代入最小二乘法公式计算即可；
（2）按照（1）中所求回归方程，结合参考数据，代入计算即可.
【小问1详解】
因为
由表中数据得，
所以，所以，
所以年该材料费用和年利润额的回归方程为；
【小问2详解】
令，得，
所以（十万），
故下一年应至少投入498万元该材料费用.
19. 每年的 3 月 14 日是“国际圆周率日”，这是为纪念中国古代数学家祖冲之发现圆周率而设立的.2024 年 3月 14日，某班级为纪念这个日子，特举办数学题答题比赛． 已知赛题共 6道(各不相同)，其中 3 道为高考题，另 3 道为竞赛题，参赛者依次不放回地从 6 道赛题中随机抽取一题进行作答，答对则继续，答错(或不答) 或者 6道题都答对即停止并记录答对题数．
（1）举办方进行模拟抽题，设第次为首次抽到竞赛题，求的分布列；
（2）同学数学成绩优异，但没有参加过竞赛培训，高考题答对的概率为，竞赛题答对的概率为．
①求同学停止答题时答对题数为1的概率；
②已知同学停止答题时答对题数为2，求这两题抽到竞赛题题数的均值．
【答案】（1）分布列见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）写出可能取值，并分别求出对应的概率，列出分布列即可；
（2）①设出事件，分析可能情况，并求出概率即可；②写出可能的取值，并计算出各个取值的概率，列出分布列并计算出数学期望.
【小问1详解】
由题意知：可能取，
，，
，.
所以的分布列为：
【小问2详解】①设“同学停止答题时答对题数为”为事件，
“同学第一次抽中高考题，第二次抽中竞赛题并答错”为事件，
“同学第一次抽中竞赛题并答对，第二次还抽中竞赛题并答错”为事件，
则；；
所以.
②由同学停止答题时答对题数为，
设事件“第次选中竞赛题没答对”；“第次选中竞赛题并答对”；
“第次选中高考题”.
答题结束时答对 2 题的概率为
，
易知可能取，
；
；
.
的分布列为：
所以.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，熟练掌握全概率公式与贝叶斯公式求得的分布列，从而得解.0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
31.5
15
15
49.5
X
P
0
1
2
P
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）．
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交集运算求解.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
2. 已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据含有一个量词命题的否定，即可得答案.
【详解】由题意知命题为存在量词命题，
其否定为全称量词命题：，
故选：A
3. 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点分布得，与条件联立解得结果.
【详解】因为的分布列服从两点分布，所以，
因为，所以
故选：C
【点睛】本题考查两点分布，考查基本分析求解能力，属基础题.
4. 已知正整数满足，则（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合数和排列的定义化简后解方程．
【详解】即为，所以，
是正整数且，因此解得，
故选：C．
5. 现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”，然后使用条件概率公式计算即可.
【详解】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”.
由于一共有10名特种兵，而要从中选出4名，故.
而从10名特种兵选出4名时，如果甲和乙被选中，则剩余2个被选中的人可从甲和乙之外的8名特种兵中任意选择2名，
故选取方式有种，从而.
故，A正确.
故选：A.
6. 已知，，，则“”的一个充分而不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数单调性结合充分、必要条件逐项分析判断.
【详解】当时，满足，但不成立，不满足充分性，A选项错误；
由指数函数单调性可知，若，则，反之，若，则，
所以是的充要条件，B选项错误；
当时，满足，但不成立，不满足充分性，C选项错误；
若，则有，反之，不能得到，比如当时，不成立，
所以是的充分不必要条件，D选项正确.
故选：D
7. 五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A. 60B. 80C. 100D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意，五人全排列共有种不同的排法，
其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法，
其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法，
所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为.
故选：B
8. 一玩具制造厂的某一配件由A，B，C三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂A，B，C的次品率分别为0.02，0.01，0.03，提供配件的份额分别为，，，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，若抽到的是次品，则该次品来自制造厂C概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全概率公式先求出抽到的是次品的概率，再结合次品来自制造厂C概率，根据条件概率公式即可求得答案.
【详解】设事件D：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自于A制造厂，
事件：抽到的配件来自于B制造厂，事件：抽到的配件来自于C制造厂，
则，
,
故
，
则抽到的是次品，则该次品来自制造厂C概率为,
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 以下有关直线拟合效果的说法正确的是
A 相关系数越小，表明两个变量相关性越弱
B. 越接近1，表明直线拟合效果越好
C. 通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本点的中心
D. 最小二乘法求回归直线方程，是求使最小的，的值
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据线性回归直线的定义，相关指数，相关系数的定义判断．
【详解】对于A：相关系数的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，越接近于1，相关性越强，故A错误；
对于B：越接近1，表明回归的效果越好，越接近于0，效果越差，故B正确．
对于C：线性回归直线一定经过样本的中心，故C正确；
对于D：最小二乘法求回归直线方程，就是求使最小的的值，故D正确；
故选：BCD．
10. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用赋值法逐项计算判断得解.
【详解】在中，
对于A，令，得，A错误；
对于B，令，得，因此，B正确；
对于C，令，得，则，C正确；
对于D，令，得，则，D错误.
故选：BC
11. 一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（ ）
A. 从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差
C. 从该口袋中任取3个球，设取出球的颜色有X种，则数学期望
D. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望
【答案】ABD
【解析】
【分析】对选项A，的可能取值为0，1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项B，，再由二项分布的方差公式求得；对选项C，X的可能取值为1，2，3，求出概率，再由公式求得；对选项D，Y的可能取值为0，1，2，求出概率，再由公式求得
【详解】对选项A，从该口袋中任取3个球，取出的红球个数的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
则，故A正确；
对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为，则取出的红球次数为，
则方差，故B正确;
对选项C，从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的可能取值为1，2，3，
则，，则，
则，故C错误；
对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y的可能取值为0，1，2，
则，，，
则，故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过______
【答案】0.01
【解析】
【分析】根据与临界值的大小关系确定犯错误的概率的范围.
【详解】因为，结合表格可知，所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过.
故答案为：.
13. 如图所示线路图，机器人从A地经B地走到C地，最近的走法共有________种.（用数字作答）
【答案】20
【解析】
【分析】分两步：第一步先计算从A到B的走法种数，第二步：再计算从B到C走法种数，相乘即可.
【详解】A到B共2种走法，从B到C共种不同走法，由分步乘法原理，知从A地经B地走到C
地，最近的走法共有种.
故答案为：20
【点睛】本题考查分步乘法原理及简单的计数问题的应用，考查学生的逻辑分析能力，是一道中档题.
14. 已知，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式中“”的代换即可求解.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，
即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知关于的二项式的二项系数之和为32，其中．
（1）若，求展开式中系数最大的项；
（2）若展开式中含项系数为40，求展开式中所有有理项的系数之和．
【答案】（1）和
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，解得，求出展开式的通项公式，即可得到展开式中系数最大的项；
（2）利用展开式中含项系数为40，解得，利用的指数为整数，求出展开式中所有有理项，从而得到有理项的系数之和.
【小问1详解】
由于关于的二项式的二项式系数之和为32，所以，解得，
则二项式的展开式的通项公式为：，
当时，，所以当或时，展开式的系数最大，
故系数最大项为和
【小问2详解】
由（1）可得二项式的展开式的通项公式为：，
令，解得：，
因为展开式中含项系数为40，所以，由，得，
所以二项式的展开式的通项公式为：，
当整数，可取0，2，4，
所以展开式中所有有理项为，，，
故展开式中所有有理项的系数之和为.
16. 若，.
（1）若的解集为，求的值；
（2）当时，求关于的不等式的解集.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）分析可知、是方程的解，利用韦达定理可求得实数的值；
（2）由可得或，对与的大小进行分类讨论，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.
【小问1详解】
解：因为关于的不等式的解集为，则，
所以，、是方程的解，，解得.
【小问2详解】
解：，，由得或.
当时，，原不等式的解为，原不等式的解集为；
当时，，不等式的解为，原不等式的解集为；
当时，原不等式为，不等式的解集为.
综上：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
17. 新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门．
（1）若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：．
【答案】（1）；
（2）①3274人；②不可信.
【解析】
【分析】（1）甲乙必选语文、数学、外语，根据另一门相同的是物理、历史中的一门或者是生物、化学、思想政治、地理中的一门进行分类讨论，先分类后分步即可求得结果；
（2）①根据参考数据求得，再根据总人数进行计算即可；②根据参考数据求得，估计成绩高于410分的人数，即可判断.
【小问1详解】
甲､乙两名学生必选语文､数学､外语．
若另一门相同的为物理､历史中的一门，有种，
在生物､化学､思想政治､地理4门中，甲､乙选择不同的2门，
则有种，共种；
若另一门相同的为生物､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种．
所以甲､乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为．
【小问2详解】
①设此次网络测试的成绩记为，则．
由题知，
则，
所以．
所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人．
②不可信．
，
则，
4000名学生中成绩大于410分的约有人，
这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分．
所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信．
18. 某生产制造企业统计了近10年的年利润（千万元）与每年投入的某种材料费用（十万元）的相关数据，作出如下散点图：
选取函数作为每年该材料费用和年利润的回归模型.若令，则，得到相关数据如表所示：
（1）求出与的回归方程；
（2）计划明年年利润额突破1亿，则该种材料应至少投入多少费用？（结果保留到万元）参考数据：.
【答案】（1）
（2）498万元
【解析】
【分析】（1）由表中数据代入最小二乘法公式计算即可；
（2）按照（1）中所求回归方程，结合参考数据，代入计算即可.
【小问1详解】
因为
由表中数据得，
所以，所以，
所以年该材料费用和年利润额的回归方程为；
【小问2详解】
令，得，
所以（十万），
故下一年应至少投入498万元该材料费用.
19. 每年的 3 月 14 日是“国际圆周率日”，这是为纪念中国古代数学家祖冲之发现圆周率而设立的.2024 年 3月 14日，某班级为纪念这个日子，特举办数学题答题比赛． 已知赛题共 6道(各不相同)，其中 3 道为高考题，另 3 道为竞赛题，参赛者依次不放回地从 6 道赛题中随机抽取一题进行作答，答对则继续，答错(或不答) 或者 6道题都答对即停止并记录答对题数．
（1）举办方进行模拟抽题，设第次为首次抽到竞赛题，求的分布列；
（2）同学数学成绩优异，但没有参加过竞赛培训，高考题答对的概率为，竞赛题答对的概率为．
①求同学停止答题时答对题数为1的概率；
②已知同学停止答题时答对题数为2，求这两题抽到竞赛题题数的均值．
【答案】（1）分布列见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）写出可能取值，并分别求出对应的概率，列出分布列即可；
（2）①设出事件，分析可能情况，并求出概率即可；②写出可能的取值，并计算出各个取值的概率，列出分布列并计算出数学期望.
【小问1详解】
由题意知：可能取，
，，
，.
所以的分布列为：
【小问2详解】①设“同学停止答题时答对题数为”为事件，
“同学第一次抽中高考题，第二次抽中竞赛题并答错”为事件，
“同学第一次抽中竞赛题并答对，第二次还抽中竞赛题并答错”为事件，
则；；
所以.
②由同学停止答题时答对题数为，
设事件“第次选中竞赛题没答对”；“第次选中竞赛题并答对”；
“第次选中高考题”.
答题结束时答对 2 题的概率为
，
易知可能取，
；
；
.
的分布列为：
所以.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，熟练掌握全概率公式与贝叶斯公式求得的分布列，从而得解.0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
31.5
15
15
49.5
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1
2
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