2023-2024学年海南省海口十四中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

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这是一份2023-2024学年海南省海口十四中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−15的绝对值是( )
A. −15B. 15C. 5D. −5
2.数据2060000000科学记数法表示为( )
A. 206×107B. 20.6×108C. 2.06×108D. 2.06×109
3.满足 5A. 3B. 4C. 2和3D. 3和4
4.若⋅(−xy)2=4x2y3，则括号里应填的单项式是( )( )
A. −4yB. 4yC. 4xyD. −2xy
5.如图所示的几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
6.若一个多边形每一个内角都是150°，则这个多边形的边数是( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
7.一家商店将某种服装按成本价每件a元提高50%标价，又以8折优惠卖出，则这种服装每件的售价是( )
A. 0.8a元B. 0.4a元C. 1.2a元D. 1.5a元
8.如图，直线a//b，等边三角形ABC的顶点B在直线b上，若∠1=34°，则∠2等于( )
A. 84°
B. 86°
C. 94°
D. 96°
9.如图，AD是△ABC外接圆的直径．若∠B=64°，则∠DAC等于( )
A. 26°
B. 28°
C. 30°
D. 32°
10.如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，DE与AC交于点F，若AB=6，∠B=60°，则AF的长为( )
A. 3B. 3.5C. 3 3D. 4
11.如图，直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=kx的图象在第一象限相交于点C.若AB=BC，△AOB的面积为3，则k的值为( )
A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
12.如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1小明和小张两人分别站在管的左右两边，各随机选该边的一根绳子，若每边每根绳子被选中的机会相等，则两人选到同根绳子的概率为( )
A. 12B. 13C. 16D. 19
二、填空题：本题共5小题，共22分。
13.化简2a−6a2−6a+9=______．
14.不等式组 2x+1<−1 3−x>1 .的解集为______．
15.如图，正方形ABCD的边长为4，G是BC边上一点．若矩形DEFG的边EF经过点A，GD=5，则FG长为______．
16.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，BC为半圆O的直径，将△ABC沿射线CB方向平移得到△A1B1C1.当A1B1与半圆O相切于点D时，平移的距离的长为______．
17.为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识某校数学兴趣小组设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，将测试成绩分成A、B、C、D四组，绘制了如下统计图表：
问卷测试成绩分组表
(1)本次抽样调查的样本总量是______；
(2)样本中，测试成绩在B组的频数是______，D组的频率是______；
(3)样本中，这次测试成绩的中位数落在______组；
(4)如果该校共有880名学生，请估计成绩在90三、解答题：本题共5小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题12分)
(1)计算：(−1)8+24×(−2)−3− 482 3
(2)解方程：2x−1+x2x2−1=1
19.(本小题10分)
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
20.(本小题10分)
如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=2km.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
(1)填空：∠PAB= ______度，∠PBA= ______度；
(2)求点P到海岸线AB的距离；
(3)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处.此时，从B测得小船在北偏西15°的方向，求点C与点B之间的距离.(2,3小题的结果都保留根号)
21.(本小题15分)
如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点(P与B、D不重合)，∠APE=90°，且点E在BC边上，AE交BD于点F．
(1)求证：①△PAB≌△PCB；②PE=PC；
(2)在点P的运动过程中，APAE的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由；
(3)设DP=x，当x为何值时，AE//PC，并判断此时四边形PAFC的形状．
22.(本小题15分)
如图，对称轴为直线x=1的抛物线经过A(−1,0)、C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B，点D在y轴上，且OB=3OD
(1)求该抛物线的表达式；
(2)设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t
①当0②点Q在直线BC上，若以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
解：|−15|=−(−15)=15．
故选：B．
计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【解答】
解：数据2060000000科学记数法表示为2.06×109，
故选：D．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是无理数的估算有关知识，先估算出 5与 18，然后再进行解答即可．
【解答】
解：∵2< 5<3，4< 18<5， 5∴整数x的值为3和4．
故选D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了积的乘方法则和单项式乘以单项式法则的应用，能熟记法则的内容是解此题的关键．
根据积的乘方法则和单项式乘以单项式法则填上即可．
【解答】
解：4y⋅(−xy)2=4y⋅x2y2=4x2y3，
则括号里应填的单项式是4y，
故选：B．
5.【答案】C
解：从上面可看到是三个左右相邻的长方形，
故选：C．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角是360°这一关键．
设这个多边形的边数为n，根据多边形的外角和是360度，求出n的值即可．
【解答】
解：∵多边形的各个内角都等于150°，
∴每个外角为30°，
设这个多边形的边数为n，则
30°n=360°，
解得n=12．
故选：D．
7.【答案】C
解：根据题意得：a(1+50%)×80%=1.2a。
故选：C。
每件a元提高50%标价的标价是a(1+50%)，然后乘以0.8就是售价。
本题考查了列代数式，理解提高率以及打折的含义是关键。
8.【答案】C
解：∵∠3=∠1=34°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠4=∠A+∠3=94°，
∵直线a//b，
∴∠2=∠4=94°，
故选：C．
根据对顶角的性质和三角形的外角的性质得到∠4，然后根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，注意：两直线平行，内错角相等．
9.【答案】A
解：∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠ADC=∠B=64°，
∴∠DAC=90°−64°=26°．
故选：A．
根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠ADC=∠B=64°，然后利用互余计算∠DAC的度数．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
10.【答案】D
解：
∵在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，
∴AB=BC=AD=AC=6，
∵点E是BC的中点，
∴EC=12BC=3，
在△AFD和△CFE中，
∵∠AFD=∠EFC，∠FAD=∠FCE，
∴△AFD∽△CFE，
∴ECAD=CFAF=12，
∵CF=6−AF，
∴ECAD=6−AFAF=12，
代入整理得3AF=12，得AF=4，
故选：D．
由AB=6，∠B=60°得AB=BC=AD=AC=6，得出EC的长度，再由△AFD∽△CFE得，ECAD=CFAF，即可求AF的长．
此题主要考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形，此题的关键在于灵活运用相似三角形的性质进行解题．
11.【答案】C
解：作CD⊥x轴于D，
设OB=a，(a>0)
∵△AOB的面积为3，
∴12OA⋅OB=3，
∴OA=6a，
∵CD//OB，AB=BC
∴OD=OA=6a，CD=2OB=2a，
∴C(6a,2a)，
∵反比例函数y=kx经过点C，
∴k=6a×2a=12．
故选：C．
设OB=a，根据相似三角形性质即可表示出点C，把点C代入反比例函数即可求得k．
此题主要考查直线和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．
12.【答案】B
解：如图所示：
共有9种等可能的结果数，两人选到同根绳子的结果有3个，
∴两人选到同根绳子的概率为39=13；
故选：B．
画出树状图，得出所有结果和两人选到同根绳子的结果，即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
13.【答案】2a−3
解：原式=2(a−3)(a−3)2=2a−3．
故答案为2a−3．
先将分子与分母分别进行因式分解，再约去它们的公因式即可．
本题考查了约分的定义与方法．约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
14.【答案】x<−1
解：2x+1<−1 ①3−x>1 ②，
由①得：x<−1，
由②得：x<2，
不等式组的解集为x<−1，
故答案为：x<−1．
首先计算出两个不等式的解集，再根据同小取小确定不等式组的解集．
此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
15.【答案】165
解：∵四边形ABCD是正方形，四边形DEFG是矩形，
∴∠E=∠C=90°，∠EDA与∠CDG均为∠ADG的余角，
∴△DEA∽△DCG，
∴FGCD=ADGD，
∵ED=FG，
∴EGCD=ADGD，
由已知GD=5，AD=CD=4，
∴FG4=45，
即FG=165．
故答案为：165．
根据相似三角形的性质得到FGCD=ADGD，可以求出FG，由ED=FG，只要求出EGCD=ADGD，即可，根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查了正方形和矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形判定和性质．
16.【答案】43
解：连结OG，如图，
∵∠BAC=90°，AB=5，AC=3，
∴BC= AB2−AC2=4，
∵Rt△ABC沿射线CB方向平移，当A1B1与半圆O相切于点D，得△A1B1C1，
∴CC1=BB1，A1C1=AC=3，A1B1=AB=5，∠A1C1B1=∠ACB=90°，
∵A1B1与半圆O相切于点D，
∴OD⊥A1B1，
∵BC=4，线段BC为半圆O的直径，
∴OB=OC=2，
∵∠GEO=∠DEF，
∴Rt△B1OD∽Rt△B1A1C1，
∴OB1A1B1=ODA1C1，即OB15=23，解得OB1=103，
∴BB1=OB1−OB=103−2=43；
故答案为：43．
连结OG，如图，根据勾股定理得到BC= AB2−AC2=4，根据平移的性质得到CC1=BB1，A1C1=AC=3，A1B1=AB=5，∠A1C1B1=∠ACB=90°，根据切线的性质得到OD⊥A1B1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平移的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．
17.【答案】(1)200；
(2)72；0.15；
(3)B；
(4)132
【解析】【分析】
本题考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
(1)根据C组的人数和所占的百分比可以求得本次抽样调查的样本总量；
(2)根据(1)中的结果和统计图中的数据可以分别求得测试成绩在B组的频数和D组的频率；
(3)根据统计图中的数据可以得到中位数落在那一组；
(4)根据统计图中的数据可以计算出成绩在90【解答】
解：(1)本次抽样调查的样本总量是：60÷30%=200，
故答案为：200；
(2)样本中，测试成绩在B组的频数是200×36%=72，
在D组的频率是：30÷200=0.15，
故答案为：72，0.15；
(3)样本中，这次测试成绩的中位数落在B组，
故答案为：B；
(4)880×30200=132(人)，
故答案为：132．
18.【答案】解：(1)原式=1+24×(−18)−4 32 2=1−3−2=−4；
(2)方程两边都乘以(x+1)(x−1)，
约去分母，得2(x+1)+x2=x2−1，
整理，得2x=−3．
解得x=−32．
检验：把x=−32代入(x+1)(x−1)，得(−32−1)(−32+1)≠0，
∴x=−32是原方程的解．
【解析】(1)根据幂的运算性质以及二次根式的性质化简即可；
(2)根据解分式方程的步骤解答即可．
本题主要考查了实数的加减运算以及分式方程的解法，解分式方程是需要注意验根．
19.【答案】解：设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元
由题意可得，2x+3y=803x+2y=95．
解得x=25y=10．
答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元．
【解析】设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
20.【答案】30 45
解：(1)如图，过点P作PD⊥AB于点D，垂足为D．
∴BE//PD//AG，∠BDP=∠ADP=90°，
∴∠PBE=∠BPD=45°，∠PAG=∠APD=60°，
∴∠PBA=45°，∠PAB=30°；
故答案为：30；45；
(2)设PD=x km．
在Rt△PBD中，∠PBD=∠BPD=45°，
∴BD=PD=x km．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°−60°=30°，
∴AD= 3PD= 3x km．
∵BD+AD=AB，
∴x+ 3x=2，
解得：x= 3−1，
∴点P到海岸线l的距离为( 3−1)km；
(3)如图，过点B作BF⊥AC于点F．
根据题意得：∠ABC=105°，
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=12AB=1km．
∴∠C=180°−∠BAC−∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴BC= 2BF= 2km，
∴点C与点B之间的距离大约为 2km．
(1)过点P作PD⊥AB于点D，垂足为D.根据平行线的性质得到∠PBE=∠BPD=45°，∠PAG=∠APD=60°，再根据直角三角形的性质计算即可；
(2)设PD=x km，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；
(3)过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF=12AB=1km，再解Rt△BCF，得出BC= 2BF= 2km．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=12∠ABC=45°．
∵PB=PB，
∴△PAB≌△PCB (SAS)．
②由△PAB≌△PCB可知，∠PAB=∠PCB．
∵∠ABE=∠APE=90°，
∴∠PAB+∠PEB=180°，
又∵∠PEC+∠PEB=180°，
∴∠PEC=∠PAB=∠PCB，
∴PE=PC．
(2)在点P的运动过程中，APAE的值不改变．
由△PAB≌△PCB可知，PA=PC．
∵PE=PC，
∴PA=PE，
又∵∠APE=90°，
∴△PAE是等腰直角三角形，∠PAE=∠PEA=45°，
∴APAE= 22．
(3)∵AE//PC，
∴∠CPE=∠PEA=45°，
∴在△PEC中，∠PCE=∠PEC=12(180°−45°)=67.5°．
在△PBC中，
∠BPC=(180°−∠CBP−∠PCE)=(180°−45°−67.5°)=67.5°．
∴∠BPC=∠PCE=67.5°，
∴BP=BC=1，
∴x=BD−BP= 2−1．
∵AE//PC，
∴∠AFP=∠BPC=67.5°，
由△PAB≌△PCB可知，∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，
∴∠AFP=∠BPA，
∴AF=AP=PC，
∴四边形PAFC是菱形．
【解析】(1)根据四边形ABCD是正方形，得出AB=BC，∠ABP=∠CBP°，再根据PB=PB，即可证出△PAB≌△PCB，
②根据∠PAB+∠PEB=180°，∠PEC+∠PEB=180°，得出∠PEC=∠PCB，从而证出PE=PC；
(2)根据PA=PC，PE=PC，得出PA=PE，再根据∠APE=90°，得出∠PAE=∠PEA=45°，即可求出APAE；
(3)先求出∠CPE=∠PEA=45°，从而得出∠PCE，再求出∠BPC即可得出∠BPC=∠PCE，从而证出BP=BC=1，x= 2−1，再根据AE//PC，得出∠AFP=∠BPC=67.5°，由△PAB≌△PCB得出∠BPA=∠BPC=67.5°，PA=PC，从而证出AF=AP=PC，得出答案．
此题考查了四边形综合，用到的知识点是等腰三角形和全等三角形的判定与性质、菱形的判定，关键是综合运用有关性质进行证明和计算，得出有关结论．
22.【答案】解：(1)∵抛物线的对称轴为x=1，A(−1,0)，
∴B(3,0)．
∴设所求抛物线的表达式为 y=a(x+1)(x−3)，
把点C(0,3)代入，得3=a(0+1)(0−3)，
解得a=−1．
∴所求抛物线的表达式为y=−(x+1)(x−3)，即y=−x2+2x+3；
(2)①连结BC．
∵B(3,0)，C(0,3)，
∴直线BC的表达式为y=−x+3，
∵OB=3OD，OB=OC=3，
∴OD=1，CD=2，
过点P作PE//y轴，交BC于点E(如图1)．
设P(t,−t2+2t+3)，则E(t,−t+3)．
∴PE=−t2+2t+3−(−t+3)=−t2+3t．
S四边形CDBP=S△BCD+S△BPC=12CD⋅OB+12PE⋅OB
即S=12×2×3+12(−t2+3t)×3=−32(t−32)²+518，
∵a=−32<0，且0∴当t=32时，S的最大值为518；
②以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，
则PQ//CD，且PQ=CD=2．
∵点P在抛物线上，点Q在直线BC上，
∴点P(t,−t2+2t+3)，点Q(t,−t+3)．
分两种情况讨论：
(Ⅰ) 如图2，当点P在点Q上方时，
∴(−t2+2t+3)−(−t+3)=2.即t2−3t+2=0.解得 t1=1，t2=2．
∴P1(1,4)，P2(2,3)，
(Ⅱ) 如图3，当点P在点Q下方时，
∴(−t+3)−(−t2+2t+3)=2.即t2−3t−2=0．
解得 t3=3+ 172，t4=3− 172，
∴P3(3+ 172,−1− 172)，P4(3− 172,−1+ 172).
综上所述，所有符合条件的点P的坐标分别为：P(1,4)或(2,3)或(3+ 172,−1− 172)或(3− 172,−1+ 172).
【解析】(1)设所求抛物线的表达式为y=a(x+1)(x−3)，把点C(0,3)代入表达式，即可求解；
(2)①设P(t,−t2+2t+3)，则E(t,−t+3)，S四边形CDBP=S△BCD+S△BPC=12CD⋅OB+12PE⋅OB，即可求解；②分点P在点Q上方、下方两种情况讨论即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．组别
分数/分
A
60B
70C
80D
90

2023-2024学年海南省海口十四中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

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