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人教版八年级数学上册专题11三角形中的特殊模型-高分线模型、双(三)垂直模型(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册专题11三角形中的特殊模型-高分线模型、双(三)垂直模型(原卷版+解析)，共37页。试卷主要包含了已知，如图所示，在中，，平分等内容，欢迎下载使用。
模型1：高分线模型
条件：AD是高，AE是角平分线 结论：∠DAE=
例1．（2023·辽宁本溪·七年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠B=40°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（ ）
A．20°B．10°C．50°D．60°
例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高
A．1个B．2个C．3个D．4个
例3．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（ ）
A．1B．C．2D．4
例4．（2023春·河北沧州·七年级统考期末）如图，在中，、分别是的高和角平分线．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，且，请直接写出与，关系．
模型2：双垂直模型
结论：①∠A=∠C ；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。
例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考月考）如图，在中，，，的边上的高与边上的高的比值是（ ）
A．B．C．1D．2
例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．
(1)求的度数．(2)若，求的长．
模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)
结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。
例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，于D，求证：．
例2．（2023·云南玉溪·八年级校考期中）如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
(1)求证：CD是△ABC的高；(2)如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．
例3．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
例4．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．
(1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：______，结论：______．（填序号）
证明：
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示）
课后专项训练
1．（2023春·云南文山·七年级校联考期末）如图，AE，AD分别是的高和角平分线，，，则的度数为（ ）
A．40°B．20°C．10°D．30°
2．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在中，平分交于点、平分交于点，与相交于点，是边上的高，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．
4．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在中，，平分，若，，则 ．
5．（2023·江苏八年级校考课时练习）已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角
求证：∠ACD=∠B
证明：∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（ ）
∴∠BCD是∠DCA的余角
∵∠BCD是∠B的余角（已知）
∴∠ACD=∠B（ ）
6．（2023春·河南新乡·七年级校考期末）如图，是直角三角形，，于点D，是的角平分线，过点D作交于点G，求证：．请补全下面的证明过程．
证明：∵（已知），
∴（_____），
∴（直角三角形两锐角互余），
∵（已知），
∴（直角三角形两锐角互余），
∵是的角平分线，，
∴（______），
∴（______），
∵（______），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（______），
∴（______）．
7．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E，交于点F，求证：．
8．（2023春·四川乐山·七年级统考期末）如图，在直角中，，是斜边上的高，，求：
（1）的度数；（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）
解：（1）∵，（已知），
又∵（______），
∴（______）．
（2）∵（______），
∴（等式的性质）．
∵（已知），
∴（垂直定义）．
∴______（等量代换）．
9．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在中，，平分．
(1)求的度数；(2)求的度数；(3)直接写出，，三个角之间的数量关系．
10．（2023·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图，已知的两条高相交于点，，，求的度数．
11．（2022秋·山东威海·七年级校联考期中）如图，是的高，E是上一点，交于F，且有，，试说明．
12．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图所示，在中，已知于D，于E，，，求的大小．
13．如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求、的度数.
14．（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点G，比大，，求的大小．
15．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，已知在中，，于点．
（1）尺规作图：作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）在（1）的条件下，求证：．
__________
又__________
__________
__________
平分
__________
．
16．（2023春·黑龙江·七年级校考期中）如图，中，，平分，，．
(1)求的度数．(2)直接写出图中四对相等的锐角，
17．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，是的角平分线，是的边上的中线．
(1)若的周长为13，，，求的长度；
(2)若，的面积为10，，求点到的距离．
18．（2023·江苏·七年级统考期末）已知：如图，中，在的延长线上取一点，作于点（1）如图①，若于点，那么是的平分线吗？若是，请说明理由．请完成下列证明并在下面的括号内填注依据
解：是，理由如下：
（已知）
（垂直定义）
（ ）
（两直线平行，同位角相等）
（ ）
（已知）
（等量代换）
平分（ ）
（2）如图②，若中的角平分线相交于点．
①求证：
②随着的变化，的大小会发生变化吗﹖如果有变化，请直接写出与的数量关系；如果没有变化，请直接写出的度数．
专题11 三角形中的特殊模型-高分线模型、双（三）垂直模型
近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型
条件：AD是高，AE是角平分线 结论：∠DAE=
例1．（2023·辽宁本溪·七年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠B=40°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（ ）
A．20°B．10°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数是多少；然后根据AE为角平分线，求出∠BAE的度数是多少；最后在Rt△DAC中，求出∠DAC的度数，即可求出∠EAD的度数是多少．
【详解】解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-60°-40°=80°，
∵AE为∠BAC角平分线，∴∠EAC=80°÷2=40°，
∵AD为△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°，即∠EAD的度数是10°，故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形高、中线的定义，解答此题的关键是明确：三角形的内角和是180°．
例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
例3．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【分析】直接利用三角形面积公式求得，再根据中线的性质即可求解．
【详解】解：∵，，即，∴
∵是中线，即点是的中点，∴，故选：C．
【点睛】本题考查三角形面积和中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式求得．
例4．（2023春·河北沧州·七年级统考期末）如图，在中，、分别是的高和角平分线．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，且，请直接写出与，关系．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，求出，根据三角形内角和定理求出，从而可得出答案；
（2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，根据三角形高的定义可知，根据三角形内角和定理求出，从而可得出答案．
【详解】（1）解：，，，
是的平分线，，
是的高，，，，
；
（2）解：，
理由是：，，
是的平分线，，
是的高，，，
．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线定义，三角形的高的含义，三角形的内角和定理的应用，能求出和的度数是解此题的关键．
模型2：双垂直模型
结论：①∠A=∠C ；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。
例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得的度数，再根据三角形的外角即可得．
【详解】解：∵是边上的高，∴，∵，∴，
∵是边上的高，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了余角，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．
例2．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考月考）如图，在中，，，的边上的高与边上的高的比值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据面积相等列出比例求解即可．
【详解】解：∵的边上的高为，边上的高为，，，
∴，即：，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的高，根据面积相等列出等式是解题的关键．
例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．
(1)求的度数．(2)若，求的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答案；
（2）利用等面积法，由代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∵，，，∴．
【点睛】本题考查三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键．
模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)
结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。
例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，于D，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据可得，再根据，即可求证．
【详解】证：∵，∴
又∵，∴
又∵，∴∴
【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质．
例2．（2023·云南玉溪·八年级校考期中）如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
(1)求证：CD是△ABC的高；(2)如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．
【答案】(1)见解析；(2)．
【分析】（1）由等量代换得到∠B＋∠BCD＝90°，求出∠BDC＝90°，可得CD是△ABC的高；
（2）根据可求得CD的长．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝∠1＋∠BCD＝90°，∠1＝∠B，
∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高；
（2）解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∴，
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴CD＝．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高线，三角形的面积计算，关键是利用了面积法求直角三角形斜边上的高．
例3．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出AB，再利用三角形面积求出BD即可．
【详解】解：∵，，，∴根据勾股定理，
∵，∴S△ABC=，即，解得：．故选择D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式是解题关键．
例4．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．
(1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：______，结论：______．（填序号）
证明：
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)①②；③；见解答(2)
【分析】（1）条件：①②，结论：③，由角平分线的性质可得，由和，得出，利用三角形内角和可得结论；
（2）利用（1）的结论和三角形外角性质即可得答案．
【详解】（1）条件：①②，结论：③，
证明：∵是的角平分线，∴，
∵，∴，
∵，
∴，∴是的高．
条件：①③，结论：②，
证明：∵是的高，∴，∴，
∵，，，
∴， ∴是的角平分线；
条件：②③，结论：①，
证明：∵是的角平分线，∴，
∵是的高，∴，
∴，
∵，，
∴； 故答案为：①②；③；
证明：见解答；
（2）∵，∴，
∵是的角平分线，∴，
∵，∴．
【点睛】本题考查命题与定理，掌握角分线的定义，三角形内角和定理，外角性质，掌握三角形外角的性质是解题关键．
课后专项训练
1．（2023春·云南文山·七年级校联考期末）如图，AE，AD分别是的高和角平分线，，，则的度数为（ ）
A．40°B．20°C．10°D．30°
【答案】B
【分析】由题意易得∠BAC=80°，∠AEB=90°，则有∠BAD=∠CAD=40°，然后根据三角形内角和可求解．
【详解】解：∵，，AE⊥BC，∴∠BAC=80°，∠AEB=90°，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=40°，
在△AEB中，∠AEB+∠B+∠BAE=180°，∴∠BAE=60°，
∴∠EAD=∠BAE-∠BAD=60°-40°=20°；故选B．
【点睛】本题主要考查三角形的高线及角平分线、三角形内角和，熟练掌握三角形的高线及角平分线、三角形内角和是解题的关键．
2．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在中，平分交于点、平分交于点，与相交于点，是边上的高，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意证明，得出，三角形内角和定理得出，根据直角三角形的两个锐角互余求得，根据角平分线的定义可得，根据即可求解．
【详解】解：，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
3．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．
【答案】50或25/25或50
【分析】根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴
∵平分
∴
当为直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1，
∵，
∴；
②当时，如图2，
∴，
∵，
∴，
综上，的度数为或．
故答案为：50或25．
【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键．
4．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在中，，平分，若，，则 ．
【答案】/40度
【分析】根据角平分线的定义，得到，求出的度数，再利用垂直的定义和三角形内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题．熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键．
5．（2023·江苏八年级校考课时练习）已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角
求证：∠ACD=∠B
证明：∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（ ）
∴∠BCD是∠DCA的余角
∵∠BCD是∠B的余角（已知）
∴∠ACD=∠B（ ）
【答案】垂直的意义；同角的余角相等．
【分析】先根据垂直的意义可得，从而可得是的余角，再根据同角的余角相等即可得证．
【详解】证明：∵（已知），
∴（垂直的意义），
∴是的余角，
∵是的余角（已知），
∴（同角的余角相等），
故答案为：垂直的意义；同角的余角相等．
【点睛】本题考查了垂直的意义、同角的余角相等，掌握理解同角的余角相等是解题关键．
6．（2023春·河南新乡·七年级校考期末）如图，是直角三角形，，于点D，是的角平分线，过点D作交于点G，求证：．请补全下面的证明过程．
证明：∵（已知），
∴（_____），
∴（直角三角形两锐角互余），
∵（已知），
∴（直角三角形两锐角互余），
∵是的角平分线，，
∴（______），
∴（______），
∵（______），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（______），
∴（______）．
【答案】垂直定义，，角平分线定义，等角的余角相等，对顶角相等，，两直线平行，同位角相等，等量代换．
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，垂直的定义，对顶角相等，角的平分线的意义，两直线平行，同位角相等，等量代换，余角的性质，填写即可．
【详解】证明：∵（已知），
∴（垂直定义），
∴（直角三角形两锐角互余），
∵（已知），
∴（直角三角形两锐角互余），
∵是的角平分线，，
∴（角平分线定义），
∴（等角的余角相等），
∵（对顶角相等），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
故答案为：垂直定义，，角平分线定义，等角的余角相等，对顶角相等，，两直线平行，同位角相等，等量代换．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，垂直的定义，对顶角相等，角的平分线的意义，两直线平行，同位角相等，等量代换，余角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E，交于点F，求证：．
【答案】见解析
【分析】平分可得，再结合可得，进而得到，再结合可得，最后根据等角对等边即可解答．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵。
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的性质以、三角形外角的性质等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
8．（2023春·四川乐山·七年级统考期末）如图，在直角中，，是斜边上的高，，求：
（1）的度数；（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）
解：（1）∵，（已知），
又∵（______），
∴（______）．
（2）∵（______），
∴（等式的性质）．
∵（已知），
∴（垂直定义）．
∴______（等量代换）．
【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；等量代换； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；
【分析】根据三角形的外角定理、等量代换、等式的性质、垂直定义等进行填空即可．
【详解】（1）∵，（已知），
又∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴（等量代换）．
（2）∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴（等式的性质）．
∵（已知），
∴（垂直定义）．
∴（等量代换）．
【点睛】本题考查了三角形的外角定理、等量代换、等式的性质、垂直定义等知识点，解题的关键是熟练相等的性质和定理．
9．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在中，，平分．
(1)求的度数；(2)求的度数；(3)直接写出，，三个角之间的数量关系．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得的度数，再由平分，即可求解；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得，即可求解；
（3）根据，，三个角的度数，即可求解．
【详解】（1）解：在中，．
∴．
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
10．（2023·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图，已知的两条高相交于点，，，求的度数．
【答案】
【分析】根据三角形高线的定义及可知，再利用直角三角形的性质得到，最后利用三角形的内角和即可解答．
【详解】解：∵的两条高相交于点，
∴，
∵，
∴，，
∴在中，，
【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
11．（2022秋·山东威海·七年级校联考期中）如图，是的高，E是上一点，交于F，且有，，试说明．
【答案】见解析
【分析】由是的高得到，再根据可判断，则，由于，可得到，所以，于是得到．
【详解】证明：∵是的高，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理和全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
12．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图所示，在中，已知于D，于E，，，求的大小．
【答案】
【分析】利用垂线的定义，可得出，再求出的度数，在中，结合，可得出的度数，再根据平角定义即可得答案．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及邻补角，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
13．如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求、的度数.
【答案】，
【分析】因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，AE是∠BAC的角平分线，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求．
【详解】解：∵AD⊥BC∴∠ADC＝90°∵∠C＝70°∴∠DAC＝180°−90°−70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°
∵BF是∠ABC的角平分线∴∠ABO＝30°
∴∠BOA＝180°−∠BAO−∠ABO＝180°−25°−30°＝125°．
【点睛】本题考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．
14．（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点G，比大，，求的大小．
【答案】
【分析】根据为的高，得出，得出，根据，得出，，根据，得出，根据为的角平分线，得出，最后根据直角三角形两锐角互余得出答案即可．
【详解】解：∵为的高，
∴，
，
∵比大，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的角平分线，直角三角形性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意求出．
15．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，已知在中，，于点．
（1）尺规作图：作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）在（1）的条件下，求证：．
__________
又__________
__________
__________
平分
__________
．
【答案】（1）见解析；（2）；；；；
【分析】（1）根据题意，作的平分线交于点，交于点；
（2）根据角平分线的定义，可得，根据等角的余角相等证明，即可得证．
【详解】（1）如图所示，
（2）
又
平分
．
故答案为：；；；；．
【点睛】本题考查了作角平分线，等角的余角相等，对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16．（2023春·黑龙江·七年级校考期中）如图，中，，平分，，．
(1)求的度数．(2)直接写出图中四对相等的锐角，
【答案】(1)15°(2)，，，
【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义可得；根据，即可求解；
（2）根据全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义即可得到答案.
【详解】（1）∵，
∴，
∵平分，
∴；
∵，
∴，
而，
∴，
∴；
（2）由（1）可知：，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
17．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，是的角平分线，是的边上的中线．
(1)若的周长为13，，，求的长度；
(2)若，的面积为10，，求点到的距离．
【答案】(1)3(2)4
【分析】（1）首先根据中线的性质得到，然后根据的周长为13，即可求出的长；
（2）首先根据三角形的面积公式求出的长度，然后根据角平分线的性质定理即可求解．
【详解】（1）∵是的边上的中线，
∴，
又∵的周长为13，，，
∴；
（2）∵，的面积为10，，
∴，
∵是的角平分线，
∴点到的距离．
【点睛】本题考查三角形中线的定义和角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握和灵活运用知识点．
18．（2023·江苏·七年级统考期末）已知：如图，中，在的延长线上取一点，作于点（1）如图①，若于点，那么是的平分线吗？若是，请说明理由．请完成下列证明并在下面的括号内填注依据
解：是，理由如下：
（已知）
（垂直定义）
（ ）
（两直线平行，同位角相等）
（ ）
（已知）
（等量代换）
平分（ ）
（2）如图②，若中的角平分线相交于点．
①求证：
②随着的变化，的大小会发生变化吗﹖如果有变化，请直接写出与的数量关系；如果没有变化，请直接写出的度数．
【答案】（1）同位角相等，两直线平行；3，两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；（2）①见详解；②．
【分析】（1）根据题意及平行线的性质可直接进行求解；
（2）①由题意易得∠C+∠GEC=90°，∠CEG+∠EFA=90°，则有∠C=∠EFA，然后问题可求证；②连接CH并延长，由题意易得，然后由三角形外角的性质可得，进而根据角的和差关系可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：
（已知）
（垂直定义）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
∠3（两直线平行，内错角相等）
（已知）
（等量代换）
平分（角平分线的定义）
故答案为同位角相等，两直线平行；3，两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；
（2）①证明：∵，
∴，
∴∠C+∠GEC=90°，∠CEG+∠EFA=90°，
∴∠C=∠EFA，
∵，
∴；
②，理由如下：
连接CH并延长，如图所示：
∵的角平分线相交于点，
∴，
由三角形外角的性质可得，
∵∠FEA+∠EFA=∠BFG+∠FBG=90°，∠EFA=∠BFG，
∴∠FEA=∠FBG，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．
模型1：高分线模型
条件：AD是高，AE是角平分线 结论：∠DAE=
例1．（2023·辽宁本溪·七年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠B=40°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（ ）
A．20°B．10°C．50°D．60°
例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高
A．1个B．2个C．3个D．4个
例3．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（ ）
A．1B．C．2D．4
例4．（2023春·河北沧州·七年级统考期末）如图，在中，、分别是的高和角平分线．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，且，请直接写出与，关系．
模型2：双垂直模型
结论：①∠A=∠C ；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。
例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考月考）如图，在中，，，的边上的高与边上的高的比值是（ ）
A．B．C．1D．2
例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．
(1)求的度数．(2)若，求的长．
模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)
结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。
例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，于D，求证：．
例2．（2023·云南玉溪·八年级校考期中）如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
(1)求证：CD是△ABC的高；(2)如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．
例3．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
例4．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．
(1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：______，结论：______．（填序号）
证明：
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示）
课后专项训练
1．（2023春·云南文山·七年级校联考期末）如图，AE，AD分别是的高和角平分线，，，则的度数为（ ）
A．40°B．20°C．10°D．30°
2．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在中，平分交于点、平分交于点，与相交于点，是边上的高，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．
4．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在中，，平分，若，，则 ．
5．（2023·江苏八年级校考课时练习）已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角
求证：∠ACD=∠B
证明：∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（ ）
∴∠BCD是∠DCA的余角
∵∠BCD是∠B的余角（已知）
∴∠ACD=∠B（ ）
6．（2023春·河南新乡·七年级校考期末）如图，是直角三角形，，于点D，是的角平分线，过点D作交于点G，求证：．请补全下面的证明过程．
证明：∵（已知），
∴（_____），
∴（直角三角形两锐角互余），
∵（已知），
∴（直角三角形两锐角互余），
∵是的角平分线，，
∴（______），
∴（______），
∵（______），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（______），
∴（______）．
7．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E，交于点F，求证：．
8．（2023春·四川乐山·七年级统考期末）如图，在直角中，，是斜边上的高，，求：
（1）的度数；（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）
解：（1）∵，（已知），
又∵（______），
∴（______）．
（2）∵（______），
∴（等式的性质）．
∵（已知），
∴（垂直定义）．
∴______（等量代换）．
9．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在中，，平分．
(1)求的度数；(2)求的度数；(3)直接写出，，三个角之间的数量关系．
10．（2023·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图，已知的两条高相交于点，，，求的度数．
11．（2022秋·山东威海·七年级校联考期中）如图，是的高，E是上一点，交于F，且有，，试说明．
12．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图所示，在中，已知于D，于E，，，求的大小．
13．如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求、的度数.
14．（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点G，比大，，求的大小．
15．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，已知在中，，于点．
（1）尺规作图：作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）在（1）的条件下，求证：．
__________
又__________
__________
__________
平分
__________
．
16．（2023春·黑龙江·七年级校考期中）如图，中，，平分，，．
(1)求的度数．(2)直接写出图中四对相等的锐角，
17．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，是的角平分线，是的边上的中线．
(1)若的周长为13，，，求的长度；
(2)若，的面积为10，，求点到的距离．
18．（2023·江苏·七年级统考期末）已知：如图，中，在的延长线上取一点，作于点（1）如图①，若于点，那么是的平分线吗？若是，请说明理由．请完成下列证明并在下面的括号内填注依据
解：是，理由如下：
（已知）
（垂直定义）
（ ）
（两直线平行，同位角相等）
（ ）
（已知）
（等量代换）
平分（ ）
（2）如图②，若中的角平分线相交于点．
①求证：
②随着的变化，的大小会发生变化吗﹖如果有变化，请直接写出与的数量关系；如果没有变化，请直接写出的度数．
专题11 三角形中的特殊模型-高分线模型、双（三）垂直模型
近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型
条件：AD是高，AE是角平分线 结论：∠DAE=
例1．（2023·辽宁本溪·七年级统考期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠B=40°，∠C=60°，则∠EAD的度数为（ ）
A．20°B．10°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数是多少；然后根据AE为角平分线，求出∠BAE的度数是多少；最后在Rt△DAC中，求出∠DAC的度数，即可求出∠EAD的度数是多少．
【详解】解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-60°-40°=80°，
∵AE为∠BAC角平分线，∴∠EAC=80°÷2=40°，
∵AD为△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°，即∠EAD的度数是10°，故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形高、中线的定义，解答此题的关键是明确：三角形的内角和是180°．
例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（ ）
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；
②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；
③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
例3．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【分析】直接利用三角形面积公式求得，再根据中线的性质即可求解．
【详解】解：∵，，即，∴
∵是中线，即点是的中点，∴，故选：C．
【点睛】本题考查三角形面积和中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式求得．
例4．（2023春·河北沧州·七年级统考期末）如图，在中，、分别是的高和角平分线．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，且，请直接写出与，关系．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，求出，根据三角形内角和定理求出，从而可得出答案；
（2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，根据三角形高的定义可知，根据三角形内角和定理求出，从而可得出答案．
【详解】（1）解：，，，
是的平分线，，
是的高，，，，
；
（2）解：，
理由是：，，
是的平分线，，
是的高，，，
．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线定义，三角形的高的含义，三角形的内角和定理的应用，能求出和的度数是解此题的关键．
模型2：双垂直模型
结论：①∠A=∠C ；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。
例1．（2023·陕西咸阳·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得的度数，再根据三角形的外角即可得．
【详解】解：∵是边上的高，∴，∵，∴，
∵是边上的高，∴，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了余角，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．
例2．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考月考）如图，在中，，，的边上的高与边上的高的比值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据面积相等列出比例求解即可．
【详解】解：∵的边上的高为，边上的高为，，，
∴，即：，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的高，根据面积相等列出等式是解题的关键．
例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．
(1)求的度数．(2)若，求的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答案；
（2）利用等面积法，由代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∵，，，∴．
【点睛】本题考查三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键．
模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)
结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。
例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，于D，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据可得，再根据，即可求证．
【详解】证：∵，∴
又∵，∴
又∵，∴∴
【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质．
例2．（2023·云南玉溪·八年级校考期中）如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．
(1)求证：CD是△ABC的高；(2)如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长．
【答案】(1)见解析；(2)．
【分析】（1）由等量代换得到∠B＋∠BCD＝90°，求出∠BDC＝90°，可得CD是△ABC的高；
（2）根据可求得CD的长．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝∠1＋∠BCD＝90°，∠1＝∠B，
∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高；
（2）解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∴，
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴CD＝．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高线，三角形的面积计算，关键是利用了面积法求直角三角形斜边上的高．
例3．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出AB，再利用三角形面积求出BD即可．
【详解】解：∵，，，∴根据勾股定理，
∵，∴S△ABC=，即，解得：．故选择D．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式是解题关键．
例4．（2023春·江苏泰州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，、分别在边、上，、相交于点．
(1)给出下列信息：①；②是的角平分线；③是的高．请你用其中的两个事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；
条件：______，结论：______．（填序号）
证明：
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)①②；③；见解答(2)
【分析】（1）条件：①②，结论：③，由角平分线的性质可得，由和，得出，利用三角形内角和可得结论；
（2）利用（1）的结论和三角形外角性质即可得答案．
【详解】（1）条件：①②，结论：③，
证明：∵是的角平分线，∴，
∵，∴，
∵，
∴，∴是的高．
条件：①③，结论：②，
证明：∵是的高，∴，∴，
∵，，，
∴， ∴是的角平分线；
条件：②③，结论：①，
证明：∵是的角平分线，∴，
∵是的高，∴，
∴，
∵，，
∴； 故答案为：①②；③；
证明：见解答；
（2）∵，∴，
∵是的角平分线，∴，
∵，∴．
【点睛】本题考查命题与定理，掌握角分线的定义，三角形内角和定理，外角性质，掌握三角形外角的性质是解题关键．
课后专项训练
1．（2023春·云南文山·七年级校联考期末）如图，AE，AD分别是的高和角平分线，，，则的度数为（ ）
A．40°B．20°C．10°D．30°
【答案】B
【分析】由题意易得∠BAC=80°，∠AEB=90°，则有∠BAD=∠CAD=40°，然后根据三角形内角和可求解．
【详解】解：∵，，AE⊥BC，∴∠BAC=80°，∠AEB=90°，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=40°，
在△AEB中，∠AEB+∠B+∠BAE=180°，∴∠BAE=60°，
∴∠EAD=∠BAE-∠BAD=60°-40°=20°；故选B．
【点睛】本题主要考查三角形的高线及角平分线、三角形内角和，熟练掌握三角形的高线及角平分线、三角形内角和是解题的关键．
2．（2023·绵阳市八年级月考）如图，在中，平分交于点、平分交于点，与相交于点，是边上的高，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意证明，得出，三角形内角和定理得出，根据直角三角形的两个锐角互余求得，根据角平分线的定义可得，根据即可求解．
【详解】解：，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
3．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．
【答案】50或25/25或50
【分析】根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴
∵平分
∴
当为直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1，
∵，
∴；
②当时，如图2，
∴，
∵，
∴，
综上，的度数为或．
故答案为：50或25．
【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键．
4．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在中，，平分，若，，则 ．
【答案】/40度
【分析】根据角平分线的定义，得到，求出的度数，再利用垂直的定义和三角形内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题．熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键．
5．（2023·江苏八年级校考课时练习）已知：如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角
求证：∠ACD=∠B
证明：∵AC⊥BC（已知）
∴∠ACB=90°（ ）
∴∠BCD是∠DCA的余角
∵∠BCD是∠B的余角（已知）
∴∠ACD=∠B（ ）
【答案】垂直的意义；同角的余角相等．
【分析】先根据垂直的意义可得，从而可得是的余角，再根据同角的余角相等即可得证．
【详解】证明：∵（已知），
∴（垂直的意义），
∴是的余角，
∵是的余角（已知），
∴（同角的余角相等），
故答案为：垂直的意义；同角的余角相等．
【点睛】本题考查了垂直的意义、同角的余角相等，掌握理解同角的余角相等是解题关键．
6．（2023春·河南新乡·七年级校考期末）如图，是直角三角形，，于点D，是的角平分线，过点D作交于点G，求证：．请补全下面的证明过程．
证明：∵（已知），
∴（_____），
∴（直角三角形两锐角互余），
∵（已知），
∴（直角三角形两锐角互余），
∵是的角平分线，，
∴（______），
∴（______），
∵（______），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（______），
∴（______）．
【答案】垂直定义，，角平分线定义，等角的余角相等，对顶角相等，，两直线平行，同位角相等，等量代换．
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，垂直的定义，对顶角相等，角的平分线的意义，两直线平行，同位角相等，等量代换，余角的性质，填写即可．
【详解】证明：∵（已知），
∴（垂直定义），
∴（直角三角形两锐角互余），
∵（已知），
∴（直角三角形两锐角互余），
∵是的角平分线，，
∴（角平分线定义），
∴（等角的余角相等），
∵（对顶角相等），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
故答案为：垂直定义，，角平分线定义，等角的余角相等，对顶角相等，，两直线平行，同位角相等，等量代换．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，垂直的定义，对顶角相等，角的平分线的意义，两直线平行，同位角相等，等量代换，余角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在中，，于点D，平分交于点E，交于点F，求证：．
【答案】见解析
【分析】平分可得，再结合可得，进而得到，再结合可得，最后根据等角对等边即可解答．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵。
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的性质以、三角形外角的性质等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键．
8．（2023春·四川乐山·七年级统考期末）如图，在直角中，，是斜边上的高，，求：
（1）的度数；（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）
解：（1）∵，（已知），
又∵（______），
∴（______）．
（2）∵（______），
∴（等式的性质）．
∵（已知），
∴（垂直定义）．
∴______（等量代换）．
【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；等量代换； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；
【分析】根据三角形的外角定理、等量代换、等式的性质、垂直定义等进行填空即可．
【详解】（1）∵，（已知），
又∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴（等量代换）．
（2）∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴（等式的性质）．
∵（已知），
∴（垂直定义）．
∴（等量代换）．
【点睛】本题考查了三角形的外角定理、等量代换、等式的性质、垂直定义等知识点，解题的关键是熟练相等的性质和定理．
9．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在中，，平分．
(1)求的度数；(2)求的度数；(3)直接写出，，三个角之间的数量关系．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得的度数，再由平分，即可求解；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得，即可求解；
（3）根据，，三个角的度数，即可求解．
【详解】（1）解：在中，．
∴．
∵平分，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
10．（2023·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图，已知的两条高相交于点，，，求的度数．
【答案】
【分析】根据三角形高线的定义及可知，再利用直角三角形的性质得到，最后利用三角形的内角和即可解答．
【详解】解：∵的两条高相交于点，
∴，
∵，
∴，，
∴在中，，
【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
11．（2022秋·山东威海·七年级校联考期中）如图，是的高，E是上一点，交于F，且有，，试说明．
【答案】见解析
【分析】由是的高得到，再根据可判断，则，由于，可得到，所以，于是得到．
【详解】证明：∵是的高，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理和全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
12．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图所示，在中，已知于D，于E，，，求的大小．
【答案】
【分析】利用垂线的定义，可得出，再求出的度数，在中，结合，可得出的度数，再根据平角定义即可得答案．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及邻补角，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
13．如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求、的度数.
【答案】，
【分析】因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，所以∠DAC度数可求；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，AE是∠BAC的角平分线，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求．
【详解】解：∵AD⊥BC∴∠ADC＝90°∵∠C＝70°∴∠DAC＝180°−90°−70°＝20°；
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°
∵BF是∠ABC的角平分线∴∠ABO＝30°
∴∠BOA＝180°−∠BAO−∠ABO＝180°−25°−30°＝125°．
【点睛】本题考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．
14．（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点G，比大，，求的大小．
【答案】
【分析】根据为的高，得出，得出，根据，得出，，根据，得出，根据为的角平分线，得出，最后根据直角三角形两锐角互余得出答案即可．
【详解】解：∵为的高，
∴，
，
∵比大，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的角平分线，直角三角形性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意求出．
15．（2023秋·山东·八年级专题练习）如图，已知在中，，于点．
（1）尺规作图：作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）在（1）的条件下，求证：．
__________
又__________
__________
__________
平分
__________
．
【答案】（1）见解析；（2）；；；；
【分析】（1）根据题意，作的平分线交于点，交于点；
（2）根据角平分线的定义，可得，根据等角的余角相等证明，即可得证．
【详解】（1）如图所示，
（2）
又
平分
．
故答案为：；；；；．
【点睛】本题考查了作角平分线，等角的余角相等，对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16．（2023春·黑龙江·七年级校考期中）如图，中，，平分，，．
(1)求的度数．(2)直接写出图中四对相等的锐角，
【答案】(1)15°(2)，，，
【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义可得；根据，即可求解；
（2）根据全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义即可得到答案.
【详解】（1）∵，
∴，
∵平分，
∴；
∵，
∴，
而，
∴，
∴；
（2）由（1）可知：，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
17．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，是的角平分线，是的边上的中线．
(1)若的周长为13，，，求的长度；
(2)若，的面积为10，，求点到的距离．
【答案】(1)3(2)4
【分析】（1）首先根据中线的性质得到，然后根据的周长为13，即可求出的长；
（2）首先根据三角形的面积公式求出的长度，然后根据角平分线的性质定理即可求解．
【详解】（1）∵是的边上的中线，
∴，
又∵的周长为13，，，
∴；
（2）∵，的面积为10，，
∴，
∵是的角平分线，
∴点到的距离．
【点睛】本题考查三角形中线的定义和角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握和灵活运用知识点．
18．（2023·江苏·七年级统考期末）已知：如图，中，在的延长线上取一点，作于点（1）如图①，若于点，那么是的平分线吗？若是，请说明理由．请完成下列证明并在下面的括号内填注依据
解：是，理由如下：
（已知）
（垂直定义）
（ ）
（两直线平行，同位角相等）
（ ）
（已知）
（等量代换）
平分（ ）
（2）如图②，若中的角平分线相交于点．
①求证：
②随着的变化，的大小会发生变化吗﹖如果有变化，请直接写出与的数量关系；如果没有变化，请直接写出的度数．
【答案】（1）同位角相等，两直线平行；3，两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；（2）①见详解；②．
【分析】（1）根据题意及平行线的性质可直接进行求解；
（2）①由题意易得∠C+∠GEC=90°，∠CEG+∠EFA=90°，则有∠C=∠EFA，然后问题可求证；②连接CH并延长，由题意易得，然后由三角形外角的性质可得，进而根据角的和差关系可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：
（已知）
（垂直定义）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
∠3（两直线平行，内错角相等）
（已知）
（等量代换）
平分（角平分线的定义）
故答案为同位角相等，两直线平行；3，两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；
（2）①证明：∵，
∴，
∴∠C+∠GEC=90°，∠CEG+∠EFA=90°，
∴∠C=∠EFA，
∵，
∴；
②，理由如下：
连接CH并延长，如图所示：
∵的角平分线相交于点，
∴，
由三角形外角的性质可得，
∵∠FEA+∠EFA=∠BFG+∠FBG=90°，∠EFA=∠BFG，
∴∠FEA=∠FBG，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键．
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